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章末检测（五) 三角函数 能力卷
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1．（2019·广东省高一月考）角 弧度，则 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】角 弧度， ，∴α在第三象限，故选:C.
2．（2020·北京高三二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体
系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步
=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( )
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
【答案】B
【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S lr 45 270（平方米）.故选：
B.
3．（2020·辽宁省沈阳铁路实验中学高一期中）如果角 的终边过点 ，那
么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意得 ，它与原点的距离为2，∴ .故选：C.
4．（2020·湖南省高一月考）设 ，则 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以 为圆心作单位圆，与 轴正半轴交于点 ，作 交单位圆第一象限于点 ，
做 轴，作 轴交 的延长线于点 ，如下图所示：
由三角函数线的定义知， ， ， ，因为 ，
∴ ∴ 故选：C
5．（2019·陕西省高三月考（理））定义运算： ，将函数的图像向左平移 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则 的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，将函数 化为
再向左平移 （ ）个单位即为:
又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即 时函数值为最大或
最小值,即 或 ,所以 ,即
,又 ,所以 的最小值是 .
6．（2020·高唐县第一中学高一月考）已知 ， ，则 的
值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ， ，
联立方程组，可得 ，
又由 .故选：B.
7．（2020·四川省高三三模（理））设函数 与函数
的对称轴完全相同，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，求函数 的对称轴，令 ，
解得 函数 ，
令 ，解得 ，因为函数 与函数 的对称轴完全相
同，所以 ，故选：C.
8．（2019·云南省东川明月中学高一期中）函数 ，若对
于任意的 有 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
， ，
最小值
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（2020·全国高一课时练习）（多选题）已知 ，则下列式子成立的是（
）A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】∵ ， ，
整理得 ，
∴ ，
即 ，
即 ，∴C、D正确.故选：CD
10．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列命题中，真命题的是（ ）
A． 的图象与 的图象关于 轴对称
B． 的图象与 的图象相同
C． 的图象与 的图象关于 轴对称
D． 的图象与 的图象相同
【答案】BD
【解析】对于A， 是偶函数，而 为奇函数，故 与 的图象不关
于 轴对称，故A错误；对于B， ，即其图象相同，故B正确；
对于C，当 时， ，即两图象相同，故C错误；
对于D， ，故这两个函数图象相同，故D正确，故选BD.
11．（2020·全国高一课时练习）定义：角 与 都是任意角，若满足 ，则称 与 “广
义互余”.已知 ，则下列角 中，可能与角 “广义互余”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】∵ ，∴ ，若 ，则 .
A中， ，故A符合条件；
B中， ，故B不符合条件；
C中， ，即 ，
又 ，所以 ，故C符合条件；D中， ，即 ，
又 ，所以 ，故D不符合条件.故选：AC.
12．（2020·山东省高一期末）对于函数 ，下列四个结论正确的是（
）
A． 是以 为周期的函数
B．当且仅当 时， 取得最小值-1
C． 图象的对称轴为直线
D．当且仅当 时，
【答案】CD
【解析】函数 的最小正周期为 ，画出 在一个周期内的图象，
可得当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
可得 的对称轴方程为 ， ，当 或 ， 时， 取得最小值 ；
当且仅当 时， ，
的最大值为 ，可得 ，综上可得，正确的有 ．故选： ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2020·上海高一课时练习）函数 的值域是_________.
【答案】
【解析】根据题意知： ， ，
当 在第一象限时， ；
当 在第二象限时， ；当 在第三象限时， ；
当 在第四象限时， ；
综上所述：值域为 .
14．（2020·上海高一课时练习）若函数 的最小值为1，则实数
__________.
【答案】5
【解析】 ，其中 ，且 终边过点
．所以 ，解得 ．
15．（2020·江苏省高三其他）已知函数 （ ），且
（ ），则 ______.
【答案】
【解析】解法一：∵函数 （ ）， .
，（ ），不妨假设 ，则 ， ，
，
， ， .
再根据
，
，或 ，则 （舍去）或 ，
解法二：∵函数 （ ）， .
（ ），
则由正弦函数的图象的对称性可得： ，即 ，
16．（2020·浙江省高三二模）已知函数 的图像关于点
对称，关于直线 对称，最小正周期 ，则 ______， 的单调递减区间是______.
【答案】
【解析】由于 的最小正周期 ， ，所以 .
由于 图像关于点 对称，关于直线 对称，
所以 ，
两式相加得 ，
由于 ， ，所以 .
则 ，结合 可得 ，
所以 .
所以 的最小正周期为 .
由 ，解得 ，所以 的减区间为.
故答案为：（1） ；（2）
五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考（理））已知
.
(1)求 的值
(2)求 的值.
【解析】（1）∵ .
∴ ，即
，
（2）由（1）知 ＜0，又∴
∴
18．（2019·瓦房店市实验高级中学高一月考）函数 的
一段图象如图所示
（1）求 的解析式；
（2）求 的单调增区间，并指出 的最大值及取到最大值时 的集合；
（3）把 的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．
【解析】（1）由函数的图象可得 ，解得 ．
再根据五点法作图可得 ，由 ，则令
（2）令 ，求得 ，故函数的增区间为[
函数的最大值为3，此时， ，即 ，即 的最大值为
3，及取到最大值时 的集合为 .
（3）设把 的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数
为偶函数．
则由 ，求得 ，
把函数 的图象向左平移 个单位，
可得 的图象．
19．（2020·北京高三二模）已知函数 ，
，求 在 的值域.
从①若 的最小值为 ；② 两条相邻对称轴之间的距离为 ；③若 的最小值为 ，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
【解析】由于
.
所以①②③都可以得到 的半周期为 ，则 .
所以 .由于 ， ，
所以 ，即 的值域为 .
20．（2020·广东省高一月考）已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）若 ，求 的值.
【解析】（1）
，
∴ .（2）∵ ， ， ，
∴ .
21．（2020·安徽省六安一中高一期末（理））已知函数 ，
其中 .
（1）求使得 的 的取值范围；
（2）若函数 ，且对任意的 ，当 时，均有
成立，求正实数 的最大值.
【解析】（1）由题意得，
令 ，得
即 ，故 的取值范围为
（2）由题意得，
令即 故 在区间 上为增函数
由 ， 得出， ，
则函数 包含原点的单调递增区间为 即
故正实数 的最大值为 .
22．（2019·江苏省高二期末（文））某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案
如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆
心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总
费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．
（1）设 ，将展板所需总费用表示成 的函数；
（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
【解析】（1）过点O作 ，垂足为H，则 ， ，正方形ABCD的中心在展板圆心， 铜条长为相等，每根铜条长 ，
， 展板所需总费用为 ．
（2）
，当 时等号成立.
上述设计方案是不会超出班级预算．
