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◎◎◎◎◎◎高考真题◎◎◎◎◎◎
1．（2020•新课标Ⅱ）若 为第四象限角，则（ ）
α
A．cos2 ＞0 B．cos2 ＜0 C．sin2 ＞0 D．sin2 ＜0
α α α α
【答案】D
π
【解析】 为第四象限角，则- +2k ＜ ＜2k ，k Z，
2
α π α π ∈
则﹣ +4k ＜2 ＜4k ，∴2 是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2 ＜0，故选：D．
π π α π α α
π
2．（2020•新课标Ⅲ）已知2tan ﹣tan（ + ）＝7，则tan ＝（ ）
4
θ θ θ
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
π tanθ+1
【解析】由2tan ﹣tan（ + ）＝7，得2tan - =7，
4 1-tanθ
θ θ θ
即2tan ﹣2tan2 ﹣tan ﹣1＝7﹣7tan ，得2tan2 ﹣8tan +8＝0，
θ θ θ θ θ θ
即tan2 ﹣4tan +4＝0，即（tan ﹣2）2＝0，则tan ＝2，故选：D．
θ θ θ θ
π π
3．（2020•新课标Ⅲ）已知sin +sin（ + ）＝1，则sin（ + ）＝（ ）
3 6
θ θ θ
1 ❑√3 2 ❑√2
A． B． C． D．
2 3 3 2
【答案】B
π 1 ❑√3
【解析】∵sin +sin（θ+ ）＝1，∴sin + sin + cos ＝1，
3 2 2
θ θ θ θ
3 ❑√3 1 ❑√3
即 sin + cos ＝1，得❑√3（ cos + sin ）＝1，
2 2 2 2
θ θ θ θ
π π ❑√3
即❑√3sin（θ+ ）＝1，得sin（θ+ ）= 故选：B．
6 6 34．（2020•新课标Ⅰ）已知 （0， ），且3cos2 ﹣8cos ＝5，则sin ＝（ ）
α∈ π α α α
❑√5 2 1 ❑√5
A． B． C． D．
3 3 3 9
【答案】A
【解析】由3cos2 ﹣8cos ＝5，得3（2cos2 ﹣1）﹣8cos ﹣5＝0，
α α α α
2
即3cos2 ﹣4cos ﹣4＝0，解得cos ＝2（舍去），或cosα=- ．
3
α α α
π √ 2 ❑√5
∵ （0， ），∴ （ ， ），则sin =❑√1-cos2α=❑1-(- ) 2= ．故选：A．
2 3 3
α∈ π α∈ π α
π
5．（2020•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝cos（ x+ ）在[﹣ ， ]的图象大致如图，则f（x）的最小
6
ω π π
正周期为（ ）
10π 7π 4π 3π
A． B． C． D．
9 6 3 2
【答案】C
4π 13π 4π 10π
【解析】由图象可得最小正周期小于 ﹣（- ）= ，大于2×（π- ）= ，排除A，
9 9 9 9
π
D；
4π 4π π
由图象可得f（- ）＝cos（- + ）＝0，
9 9 6
ω
4π π π
即为- + =k + ，k Z，（*）
9 6 2
ω π ∈2π 12
= = 4π 12 π π
若选B，即有 7π 7 ，由- × + =k + ，可得k不为整数，排除B；
9 7 6 2
6
ω π
2π 3
= = 4π 3 π π
若选C，即有 4π 2，由- × + =k + ，可得k＝﹣1，成立．故选C．
9 2 6 2
3
ω π
π
6．（2019•新课标Ⅱ）已知 （0， ），2sin2 ＝cos2 +1，则sin ＝（ ）
2
α∈ α α α
1 ❑√5 ❑√3 2❑√5
A． B． C． D．
5 5 3 5
【答案】B
【解析】∵2sin2 ＝cos2 +1，∴可得：4sin cos ＝2cos2 ，
α α α α α
π
∵ （0， ），sin ＞0，cos ＞0，∴cos ＝2sin ，
2
α∈ α α α α
❑√5
∵sin2 +cos2 ＝sin2 +（2sin ）2＝5sin2 ＝1，∴解得：sin = ．故选：B．
5
α α α α α α
π π π
7．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以 为最小正周期且在区间（ ， ）单调递增的是（ ）
2 4 2
A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x|
【答案】A
【解析】f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f（x）＝cos|x|的周期为2 ，可排除C选项；
π
π π π
f（x）＝|sin2x|在 处取得最大值，不可能在区间（ ， ）单调递增，可排除B．故选：A．
4 4 2
8．（2019•北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，
大小为 ，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
βA．4 +4cos B．4 +4sin C．2 +2cos D．2 +2sin
β β β β β β β β
【答案】B
【解析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2 ，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，
β
即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cos ，AB＝2•2sin ＝4sin ，
β β β
1 1
扇形 AOB 的面积为 •2 •4＝4 ，△ABQ 的面积为 （2+2cos ）•4sin ＝4sin +4sin cos ＝
2 2
β β β β β β β
4sin +2sin2 ，
β β
1
S△AOQ +S△BOQ ＝4sin +2sin2 - •2•2sin2 ＝4sin ，即有阴影区域的面积的最大值为4 +4sin ．
2
β β β β β β
故选：B．
9．（2020•海南）如图是函数y＝sin（ x+ ）的部分图象，则sin（ x+ ）＝（ ）
ω φ ω φπ π
A．sin（x+ ） B．sin（ -2x）
3 3
π 5π
C．cos（2x+ ） D．cos（ -2x）
6 6
【答案】BC
2π π 2π
【解析】由图象知函数的周期T＝2×（ - ）＝ ，即 = ，即 ＝2，
3 6 ω
π π ω
π 2π
由五点对应法得2× + ＝ ，得 = ，
6 3
φ π φ
2π π 2π π π π
则f（x）＝sin（2x+ ）＝cos（ -2x- ）＝cos（﹣2x- ）＝cos（2x+ ）＝sin（ -2x
3 2 3 6 6 2
π π
- ）＝sin（ -2x）故选：BC．
6 3
π
10．（2020•北京）若函数f（x）＝sin（x+ ）+cosx的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．
2
φ φ
π
【答案】
2
【解析】f（x）＝sin（x+ ）+cosx＝sinxcos +cosxsin +cosx＝sinxcos +（1+sin ）cosx
φ φ φ φ φ
=❑√cos2φ+(1+sinφ) 2 sin （ x+ ） ， 其 中 cos = cosφ ， sin
❑√cos2φ+(1+sinφ) 2
θ θ θ1+sinφ
，
=
❑√cos2φ+(1+sinφ) 2
所以f（x）最大值为 2，所以cos2 +（1+sin ）2＝4，
❑√cos2φ+(1+sinφ) 2=
φ φ
π
即2+2sin ＝4，所以sin ＝1，所以 = +2k ，k Z时 均满足题意，
2
φ φ φ π ∈ φ
π π
故可选k＝0时， = ．故答案为： ．
2 2
φ
2 1
11．（2020•新课标Ⅱ）若sinx=- ，则cos2x＝ ．
3 9
1
【答案】
9
2 2 1 1
【解析】∵sinx=- ，∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（- ）2= ．故答案为： ．
3 3 9 9
3 π 1
12．（2020•浙江）已知tan ＝2，则cos2 ＝ - ，tan（ - ）＝ ．
5 4 3
θ θ θ
3 1
【答案】- ；
5 3
【解析】tan ＝2，
θ
则cos2 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 1-4 3．
= = = =-
cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 1+4 5
θ
π
tanθ-tan
π 4 2-1 1 3 1
tan（ - ）= = = ．故答案为：- ； ．
4 π 1+2×1 3 5 3
1+tanθtan
θ 4
π π
13．（2020•江苏）将函数y＝3sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y
4 6
5π
轴最近的对称轴的方程是 x=- ．
245π
【答案】x=-
24
π π
【解析】：因为函数y＝3sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度可得
4 6
π π π π
g（x）＝f（x- ）＝3sin（2x- + ）＝3sin（2x- ），
6 3 4 12
π π
则y＝g（x）的对称轴为2x- = +k ，k Z，
12 2
π ∈
7π kπ 7π 5π
即x= + ，k Z，当k＝0时，x= ，当k＝﹣1时，x=- ，
24 2 24 24
∈
5π
所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=- ，
24
5π
故答案为：x=- ，
24
3π
14．（2019•新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x+ ）﹣3cosx的最小值为 ﹣ 4 ．
2
【答案】﹣4
3π
【解析】∵f（x）＝sin（2x+ ）﹣3cosx，＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1，
2
3
令t＝cosx，则﹣1≤t≤1，令g（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向下，对称轴t=- ，在[﹣1，1]上先增后
4
减，故当t＝1即cosx＝1时，函数有最小值﹣4．故答案为：﹣4
