专题26分类加法计数原理与分步乘法计数原理（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修3_05.专项训练

专题26 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、单选题 1．（2020·湖北省高二期中）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方 案有（ ） A．12种 B．9种 C．8种 D．6种 【答案】C 【解析】 每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配方案总数为 23 8 种. 故选：C 2．（2020·山东省高二期中）现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委 组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（ ） A．60 B．45 C．30 D．12 【答案】D 【解析】 因为三个年级共有12名学生， 由分类加法计数原理可得： 从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，共有12种不同的选法. 故选：D. 3．（2020·广东省湛江二十一中高二开学考试）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5 本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ） A．21种 B．315种 C．153种 D．143种 【答案】D 【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种， 选一本数学书一本英语书有5×7=35种， 选一本语文书一本英语书有9×5=45种， ∴共有63+45+35=143种选法. 故选D. 4．（2020·浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ） 25 52 24 A．10种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】D 【解析】 24 共分4步：一层到二层 2种，二层到三层 2种，三层到四层 2种，四层到五层 2种，一共 =16种. 故选 D． 5．（2020·天津大钟庄高中高二月考）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某 学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著 《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著， 则不同的借阅方案种数为（ ） 45 54 C·4 A4 A． B． C． 5 D． 5 【答案】A 【解析】 对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共 45 有 种可能，答案为A. M N 6．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二开学考试（理））如图，某城市中， 、 两地有整齐的 道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ） A．10 B．13 C．15 D．25 【答案】C 【解析】 因为只能向东或向北两个方向 向北走的路有5条，向东走的路有3条 走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果3515 根据分步计数原理知共有 种结果，选C 7．（2020·吉林省长春市实验中学高二期中（理））某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第 二个号码只能从字母B､C､D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主 第一个号码(从左到右)只想在数字3､5､6､8､9中选择，其他号码只想在1､3､6､9中选择，则他的车牌号码 可选的所有可能情况有（ ） A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 【答案】D 【解析】 根据题意，车主第一个号码在数字3､5､6､8､9中选择，共5种选法， 第二个号码只能从字母B､C､D中选择，有3种选法， 剩下的3个号码在1､3､6､9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法， 则共有5×3×64=960种， 故选：D. 0,1,2,3,5 8．（2020·江苏省高二期中）由 组成的无重复数字的五位偶数共有（ ） 36 42 48 120 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【解析】 n 432124 分两类：一、若五位数的个位数是 0 ，则有 1 种情形； 2 0 1,3,5 3 3216 二、若五位数的个位数是 ，由于 不排首位，因此只有 有 种情形，中间的三个位置有 n 3618 种情形，依据分步计数原理可得 2 种情形． nn n 241842 由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为 1 2 ，应选答案B ． 9．（2020·北京十二中高二月考（理））将数字1，1，2，2，3，3排成三行两列，要求每行的数字互不相 同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】A 【解析】由题意，可按分步原理计数， 第一步，第一行第一个位置可从1，2，3三数字中任意选一个，有三种选法， 第二步，第一行第二个位置可从余下两数字中选一个，有二种选法， 第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的数字同，故其有两种选法， 第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个数字同也不能第二行第一个数字同，故它只能有一 种填法， 第五步，第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同，故其只有一种填法， 第六步，此时只余下一个数字，故第三行第二列只有一种填法， 由分步原理知，总的排列方法有3×2×2×1×1×1＝12种. 故选：A． 10．（2020·江西省高三三模（理））在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记 数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示 1~9的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如， 137 7 6 6 0 可以用 根小木棍表示“ ”，则用 根小木棍（要求用完 根）能表示不含“ ”且没有重复数字 的三位数的个数是（ ） 12 18 24 27 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 数字7、2、1组成6个，数字7、6、1组成6个，数字6、3、1组成6个，数字3、2、1组成6个，共 24个符合要求的三位数. 故选:C. 11．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代 数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图： 如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ） 46 A． B．44 C．42 40 D． 【答案】B 【解析】 按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下 (5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0), (2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4), 2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为： 2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2， 根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：22242444442242244. 故选B. 12．（2018·浙江省高三三模）三位数中，如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列，则称 为“等差三位数”，例如：147，642，777，420等等.等差三位数的总个数为（ ） A．32 B．36 C．40 D．45 【答案】D 【解析】 由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为0的“等差三位数”，则只要各位数字不为零即可， 有9个； 若百位数字、十位数字个位数字构成公差为1的“等差三位数”，则百位数字不大于7，有7个； 若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”，则百位数字不大于5，有5个； 若百位数字十位数字个位数字构成公差为3的“等差三位数”，则百位数字不大于3，有3个；若百位数字、 十位数字、个位数字构成公差为4的“等差三位数”，则百位数字只能为1，有1个； 若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为1的“等差三位数，则百位数字不小于2，有8个； 若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”，则百位数字不小于4，有6个； 3 若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为 的“等差三位数”，则百位数字不小于6，有4个； 若百位数字、十位数字个位数字构成公差为4的“等差三位数”，则百位数字不小于8有2个. 97531864245 综上所述，“等差三位数”的总数为 个， 故选：D. 二、填空题 13．（2020·四川省泸县第二中学高二期中（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成， A B C D E 且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是 ， ， ， ， 这5个字母中的1个，数字是1，2， 3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】 对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有 5945 个不同的编号.14．（2020·汪清县汪清第六中学高二期中（理））现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色， 要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为__________. 【答案】48 【解析】 根据题意，设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D， 对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法， 对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法， 对于区域C，与区域A,B相邻，有2种 颜色可选， 有2种涂色方法， 对于区域D，与区域B,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法， 432248 则不同的涂色方法有 种. 故答案为：48． 15．（2018·浙江省高三月考）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每格子染一种颜色，并 且从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为________． 【答案】20 【解析】 从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有： 全染黑色，有1种方法； 第一个格子染黑色，另外5个格子中有1个格子染白色，剩余的都染黑色，有5种方法；第一个格子染黑 色，另外5个格子中有2个格子染白色，剩余的都染黑色，有9种方法；第一个格子染黑色，另外5个格 黑子中有3个格子染白色，剩余的都染黑色，有5种方法． 所以从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法数为159520． 故答案为：20． 16．（2020·山东省高二期中）用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是 ________；可以组成有重复数字的三位数的个数为________. 【答案】100 180【解析】 5 百位的数字可以选择的种数为 种，十位，个位可以选的种数分别为5种，4种 则可组成无重复数字的三位数的种数为554=100； 566180 可组成有重复数字的三位数的种数为 . 故答案为：(1).100；(2). 180 三、解答题 17．小明同学要从教学楼的一层到四层，已知从第一层到第二层有4个扶梯可走，从第二层到第三层有3 个扶梯可走，从第三层到第四层有2个扶梯可走，那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法？ 【答案】24 【解析】 第1步，从第一层到第二层有4种不同的走法； 第2步，从第二层到第三层有3种不同的走法； 第3步，从第三层到第四层有2种不同的走法； 根据分步乘法计数原理，小明同学从教学楼的第一层到第四层的不同走法有43224种． 18．（2020·唐山市第十一中学高二期中）某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代 会． （1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？ （2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？ 【答案】（1）48；（2）560. 【解析】 （1）选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类： 第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法； 第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法． 根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法． （2）完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成： 第1步，选1名男生代表，有28种不同方法； 第2步，选1名女生代表，有20种不同方法． 根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法． M 3,2,1,0,1,2 19．（2020·宜昌市人文艺术高中（宜昌市第二中学）高二月考）已知集合 ，若a，b，c∈M，则： y ax2 bxc （1） 可以表示多少个不同的二次函数？ y ax2 bxc （2） 可以表示多少个图象开口向上的二次函数？ 【答案】（1）180；（2）72. 【解析】 （1）因为a不能取0，所以有5种取法，b有6种取法，c有6种取法， y ax2 bxc 566180 所以 可以表示 个不同的二次函数. y ax2 bxc （2） 的图象开口向上时，a不能取小于等于0的数，所以有2种取法，b有6种取法，c 有6种取法， y ax2 bxc 26672 所以 可以表示 个图象开口向上的二次函数 20．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期中（理））一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信， 各封信内容均不相同. （1）从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？ 49 【答案】（1）9，（2）20，（3） 【解析】 （1）任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，是分类问题 从第一个口袋中取一封信有5种情况，从第二个口袋中取一封信有4种情况 则共有549种 （2）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能完成这件事，是分步问题 应分两个步骤完成，第一步，从第一个口袋中取一封信有5种情况， 第二步，从第二个口袋中取一封信有4种情况 由分步乘法计数原理，共有5420种 （3）第一封信投入邮筒有4种可能 第二封信投入邮筒有4种可能 第九封信投入邮筒有4种可能 49 由分步乘法计数原理可知，共有 种不同的投法 21．（2020·南京市中华中学高二月考）现有3名医生，5名护士、2名麻醉师． （1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？ （2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）10；（2）30 【解析】 （1）分三类：第一类：选出的是医生，共有3种选法； 第二类：选出的是护士，共有5种选法； 第三类：选出的是麻醉师，共有2种选法； 根据分类加法计数原理，共有3+5+2=10种选法. （2）分三步：第一步：选出1名医生，共有3种选法； 第二步：选出1名护士，共有5种选法； 第三步：选出1名麻醉师，共有2种选法； 35230 根据分步乘法计数原理，共有 种选法. 22．（2020·武汉市钢城第四中学高二期中）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组 成． （1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）15；（2）120；（3）74 【解析】 （1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N=5+6+4=15种； （2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N=5×6×4=120种； （3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年 级”， 再各类分步选择：N=5×6+6×4+4×5=74种．；