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专题 1.1 集合
一、集合的概念和表示
【思维导图】
【考点总结】
一、集合的含义
1、元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表
示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2、元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集
不属于 a A a不属于集合A
合A
∉
3、常用数集及表示符号
非负整数集
数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(自然数集)
符号 N N*或N Z Q R
＋
二、集合的表示
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法
叫做列举法；
②形式：A＝{a，a，a，…，a}．
1 2 3 n
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再
画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
二、集合间的基本关系
【思维导图】【考点总结】
一、子集的相关概念
(1)Venn图
①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，
这种表示集合的方法叫做图示法．
②适用范围：元素个数较少的集合．
③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，
A B(或
就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B
B A)
⊆
的子集
⊇
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)，此时，集合
A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
⊆ ⊆
③真子集的概念
定义 符号表示 图形表示如果集合A B，但存在元素x∈B，且
真子集 A B(或B A)
x A，称集合A是集合B的真子集
⊆
④空集 ∉
定义：不含任何元素的集合叫做空集．
用符号表示为：∅.
规定：空集是任何集合的子集．
二、集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
⊆
①若A B，且B C，则A C；
②若A⊆ B且B ⊆C，则A⊆ C.
③若A B且A≠B，则A B.
三、集合的基本运算
【思维导图】
【考点总结】
一、并集、交集
1、并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与
B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．2、交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的
交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
二、补集及综合应用
补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集
合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
对于一个集合A，由全集U中 不属于集合 A 的所有元素
文字语言
组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 ∁U A
符号语言 A＝ { x | x ∈ U 且 x A }
U
∁ ∉
图形语言
【常用结论】
1．三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A⇔B.⊆
(3)补集的性质：A∪ ∅(
U
A)＝U；A∩(
U
A)＝∅；∁U (
U
A)＝A；⇔∁U (A⊆∩B)＝
( U A)∪( U B)；∁U (A∪B)＝∁( U A)∩( U B)．∁ ∁
2．集合基本关系的四个结论
∁ ∁ ∁ ∁
(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A A.空集只有一个子集，即它本身．
(3)集合的子集和真子集具有传递性：若⊆A B，B C，则A C；若A B且B C，
则A C. ⊆ ⊆ ⊆
(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有
2n－2个非空真子集．1．若全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】云南省红河州2021-2022学年高一下学期学业质量监测数学试题
【答案】D
【解析】由题得 ，又 ，所以 .
故选：D.
2．设 都是 的子集，如果
叫做集合 的长度，则集合 的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【来源】1.3 集合的基本运算
【答案】D
【解析】由题意 ，即 ， ，即 ，
由于 的长度是 ， 的长度是 ， ， ，
所以 长度不小于 ．
则首先有 或 ，
当 时， ， 的长度为 ，
当 时， ，则 ， 的长度是 ．
故选：D．
3．已知集合 正奇数 和集合 若 则 中的
运算“⊕”是（ ）A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法
【来源】1.2 集合间的关系
【答案】C
【解析】若 ，则 ， ， ，因此排除ABD．
故选：C．
4．下面有四个命题：
（1）集合 中最小的数是 ； （2） 是自然数；
（3） 是不大于 的自然数组成的集合；（4） ，则 不小于 ．
其中正确的命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【来源】1.1 集合的含义与表示
【答案】A
【解析】对于（1），集合 中最小的数是0，故错误，
对于（2），0是自然数，故正确，
对于（3），不大于3的自然数还包括0，故错误，
对于（4），当 ，则 ，故错误，
故选：A
5．已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】由题意， ， ，因为
表示所有偶数， 能表示所有整数，故
故选：B
6．以实数 为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．A．0 B．1 C．2 D．3
【来源】1.1 集合的含义与表示
【答案】C
【解析】解：当 时， ，此时集合中共有2个元素；
当 时， ，此时集合中共有1个元素；
当 时， ， ，此时集合中共有2个元素；
综上所述，以实数 为元素所组成的集合最多含有2个元素.
故选：C.
7．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】云南省楚雄州2021-2022学年高一下学期期末教育学业质量监测数学试题
【答案】A
由已知得 ， ，则 .
故选：A.
8．设集合 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖南省五市十校教研教改共同体2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】因为 ，
，
，
所以 .
故选：B9．已知集合 则 的关系为
（ ）
A． B． C． D．
【来源】2.1.2 集合间的基本关系 （分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接
【答案】C
【解析】解：因为 ， ，
所以 .
故选：C．
10．集合 ， ，
之间的关系是（ ）
A． 真包含于 真包含于 B． 真包含于
C． 真包含于 D． 真包含于
【来源】2.1.2 集合间的基本关系 （分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接
【答案】C
【解析】解： ， ，
，
， ，
，
真包含于 ，
故选：C．
11．已知 则集合 的子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
【来源】2.1.2 集合间的基本关系 （分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接
【答案】B
【解析】解：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以集合 ，所以集合 的子集个数为 个．
故选：B．
12．设 是两个集合，有下列四个结论：
①若 ，则对任意 ，有 ；
②若 ，则集合 中的元素个数多于集合 中的元素个数；
③若 ，则 ；
④若 ，则一定存在 ，有 ．
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【来源】1.2 集合间的关系
【答案】D
【解析】解：对于①，不一定，比如 ，故①错误；
②若 ，不一定，比如 ，故②错误；
③若 ，则 ，但 不成立，故③错误；
④若 ，则一定存在 ，有 ，故④正确．
所以正确结论的个数为 个，
故选：D.
13．设全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省新乡市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】
，集合 ，所以 ，全集 ， ．
故选：B
14．若全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】云南省昆明市2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试题
【答案】C
【解析】由题意， ，故
故选：C
15．以下六个写法中：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【来源】2.1.2 集合间的基本关系（培优讲义）-2022年初升高数学无忧衔接
【答案】B
【解析】对于①：是集合与集合的关系，应该是 ， ①不对；
对于②：空集是任何集合的子集， ， ②对；
对于③： 是一个集合，是集合与集合的关系， ， ③不对；
对于④：根据集合的无序性可知 ， ④对；
对于⑤： 是空集，表示没有任何元素，应该是 ， ⑤不对；
正确的是：②④．
故选：B．
16．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【来源】安徽省池州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
17．集合 ， ，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，
则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】河南省安阳市滑县2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，则 ， ，
选项A中阴影部分表示的集合为 ，即 ，故A错误；
选项B中阴影部分表示的集合由属于A但不属于B的元素构成，即 ，故
B正确；
选项C中阴影部分表示的集合由属于B但不属于A的元素构成，即 ，有1
个元素，故C错误；
选项D中阴影部分表示的集合由属于 但不属于 的元素构成，即 ，故
D错误．
故选：B．
18．如图，已知集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，则Venn图中阴影部分表示的
集合为（ ）A．{-5，0，3} B．{-5，1，3}
C．{0，3} D．{1，3}
【来源】云南省寻甸一中、昆明西联学校阳宗海学校2021-2022学年高一下学期期中
联考数学试题
【答案】A
因为集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，
Venn图中阴影部分表示的集合为∁BA={-5，0，3}．
故选：A.
19．设全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的
集合是（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省攀枝花市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】解：由 图中阴影部分可知对应集合为
全集 ，2，3，4， ，集合 ， ， ，3， ，
= ， = ．
故选： ．20．设全集 ，集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【来源】内蒙古赤峰市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（理）试题
【答案】C
【解析】
【分析】 , , 而
.
故选：C.
