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专题 4.4 对数函数
1 对数函数
(1)对数函数的概念
函数y=log x(a>0 , a ≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞).
a
解释
函数y=log x中系数为1，底数是不为1正实数的常数，真数为变量x.
a
(2)图像与性质
a>1 0<a<1
图像
定义域 (0 , +∞)
值域 R
过定点 (1 , 0)
奇偶性 非奇非偶
单调性 在(0 , +∞)上是增函数 在(0 , +∞)上是减函数
在第一象限内，α越大图象越靠低；
变化对图像
的影响 在第四象限内，α越大图象越靠高．
可与指数函数就函数的定义域、值域、单调性等函数性质进行比较学习.
3 对数型函数模型
形如y=k·log x(k 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸.𝐸𝐸𝐸𝐸4 R，且k≠0；a>0，且
a
a≠1)的函数称为对数型函数．
4 反函数
指数函数y=ax (a>0,且a≠1)与对数函数y=log x(a>0 , a ≠1)互为反函数.
a
它们的图象关于直线y=x对称，定义域与值域相反.
比如 y=2x与y=log x互为反函数.
2一、单选题
1．函数 的单调递减区间是
A． B． C． D．
【来源】宁夏石嘴山市平罗中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】∵x2+2x﹣3＞0，
∴x＞1或x＜﹣3；
又∵y＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在[﹣1，+∞）上是增函数；
且y＝log x在（0，+∞）上是增函数；
2
∴函数y＝log （x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）；故选A．
2
2．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】贵州省黔西南州2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试题
【答案】C
【解析】 ， .故选：C.
3．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】方法一 :
由 得 ，
则 ，解得 或 .
方法二 :根据题意，函数 ，其定义域为 ，
有 ，即函数 为偶函数，
设 ，则 ，
在区间 上， 为增函数且 ， 在区间 上为增函数，
则 在 上为增函数，
，
解得 或 ，故选：D．
4．已知图中曲线 分别是函数 ， ， ，
的图像，则 的大小关系是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由对数的性质 有： ， ， ，
结合图像有：
，故A，C，D错误.故选：B.
5．已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省成都外国语学校2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题
【答案】D
【解析】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以 故选：D
6．函数 的大致图像可以为（ ）
A． B．C． D．
【来源】云南省曲靖市第二中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】C
【解析】依题意，函数 的定义域为 ， ，
即 为奇函数，选项B，D不满足；
当 时， 单调递增，即 ，恒有 ，选项A不满足，
C满足.故选：C
7．已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】C
【解析】作出函数 的图象，如图：
由题意可知， ，且由图象可知， ，
所以即 ，
所以 ，即 ， ，即 ，
故选：C
8．已知函数 是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递减.若实数 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】江西省抚州市临川第一中学暨临川第一中学实验学校2021－2022学年高一上
学期期末数学试题
【答案】D
【解析】∵ 是定义域为 上的偶函数，且在区间 上单调递减
∴函数 在区间 上是单调递增函数，
∴不等式 ，
可化为 ，即 ，
则 ，又函数在区间 上是单调递增函数，
∴ ，即 ，
解得 .故选：D
9．已知函数 ， ，对于任意 ，存在
有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【来源】江西省景德镇市第一中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】对于任意 ，存在 有 等价于
.
由 ，函数 单调递增，可得
， ，对称轴为 ，
时， ，
，解得 .故选：B
10．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–
26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
【来源】第11讲 对数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019
必修第一册）
【答案】A两颗星的星等与亮度满足 ,令 ,
.故选A.
11．函数 是定义在R上的偶函数，且在 单调递增，若 ， ，，则（ ）
A． B．
C． D．
【来源】四川省巴中市2021-2022学年高一下学期期末数学试（文）题
【答案】C
【解析】由偶函数知 ，又 ，
， ，
显然 ，又在 单调递增，则 .
故选：C.
12．已知函数 ，若不等式 恒成立，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为函数 满足 ，且定义域为R，
所以函数 为偶函数，且当 时，函数 单调递增，
故 可以变为 ，即 ，
当 时， ；
当 时，可得 ．
又 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，解得 .故选：B．
13．已知函数 若 存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【来源】贵州省威宁县2021-2022学年高一上学期高中素质教育期末测试数学试题
【答案】D
【解析】∵函数
∴当 时， 的范围是 ；当 时， ，
，
由题意 存在最小值，则 ，
解得 .
故选：D．
14．定义在R上的偶函数 满足对任意 ，有 ，且当
时， ，若函数 在 上至少有3个零
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】福建省龙岩第一中学2021-2022学年高一上学期第三次月考数学试题
【答案】C
【解析】∵ ，且 是定义域为 的偶函数，
令 可得 ，
又 ，∴ ，则有 ，
∴ 是最小正周期为2的偶函数.
当 时， ，开口向下，顶点为 的抛物线.∵函数 在 上至少有三个零点，
令 ，则 的图象和 的图象至少有3个交点.
∵ ，当 时， 的图象和 的图象只有1个交点，故 ，
要使函数 在 上至少有三个零点，如图：
则有 ，可得 ，
即 ，∴ ，又 ，∴ .故选：C
二、多选题
15．已知函数 ，（ ）
A．该函数的定义域
B．当 时，该函数的单增区间是
C．当 时，该函数的单增区间是
D．该函数的值域为R
【来源】湖南省岳阳市第四中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题
【答案】ABCD
【解析】A选项， ，解得： 或 ，故函数的定义域
，A正确；
B选项，当 时，由于 单调递增，故 位于 轴上方的单调递增区间即为该函数的单增区间，故该函数的单增区间是 ，B正确；
C选项，当 时，由于 单调递减，故 位于 轴上方的单调
递减区间即为该函数的单增区间，故该函数的单增区间是 ，C正确；
D选项， 能取到 的任何值，故该函数的值域为R，D正确.
故选：ABCD
16．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数 单调递增区间为
C．当 时，方程 有三个不等实根
D．当且仅当 时，方程 有两个不等实根
【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】AC
【解析】A： ，所以 ，故A正确；
B：作出函数 的图象，如图，由图象可知，函数 在 和 上单调递增，
但不连续，所以不能用“ ”的符号，故B错误；
C：由图象可知，当 时，函数 与 的图象有3个交点，方程
有3个不等的实根，故C正确；
D：由图象可知，当 或 时，函数 与 的图象有2个交点，方
程 有2个不等的实根，故D错误；
故选：AC.17．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
B．若函数 的值域为 ，则实数
C．若函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围是
D．若 ，则不等式 的解集为
【来源】重庆市第八中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】ABC
【解析】A选项：因为 的定义域为 ，所以 恒成立，则
，解得： ，故正确；
B选项：因为 的值域为 ，所以 ，所以 ，
解得 ，故正确；
C选项：因为函数 在区间 上为增函数，由复合函数的单调性可知：
，解得 ，故正确；D选项：当 时， ，由 ，可得 ，解
得： ，故错误；
故选：ABC.
18．已知函数 ，则下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
A．在 上单调递减 B． 上单调递减
C． 的图象关于直线 对称 D． 的值域为
【来源】江西省宜春市铜鼓中学2021-2022学年高一下学期开学考数学试题
【答案】BC
【解析】对于函数 ，有 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，且 .
对于AB选项，内层函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由于外层函数 为增函数，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
A错B对；
对于C选项， ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，C对；
对于D选项，当 时， ，故
，D错.故选：BC.
19．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白
两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐
美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．对于圆O，其“太极函数”有1个
B．函数 是圆O的一个“太极函数”
C．函数 不是圆O的“太极函数”
D．函数 是圆O的一个“太极函数”
【来源】山东省东营市广饶县第一中学2021-2022学年高一下学期开学考试数学试题
【答案】BD
【解析】：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；
对于B选项，由于函数 ，当 时， ，
当 时， ，故 为奇函数，故根据对称
性可知函数 为圆O的一个“太极函数”，故正确；
对于C选项，函数定义域为 ， ，也是奇函数，故为圆O的
一个“太极函数”，故错误；
对于D选项， 函数定义域为 ，
，故为奇函数，故
函数 是圆O的一个“太极函数”，故正确.故选：BD
三、填空题
20．函数 ( 且 )的图象恒过定点_________
【来源】山西省长治市第四中学校2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】
【解析】解：因为函数 ( 且 )，
令 ，解得 ，所以 ，即函数 恒过点 ；
故答案为：
21．函数 的定义域是__________．
【来源】云南省昆明市2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试题
【答案】
【解析】对于函数 ，由 ，即 ，解得
.因此，函数 的定义域为 .故答案为： .
22．函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为______．
【来源】中原名校2021-2022学年高一上学期12月第三次大联考数学试题
【答案】
【解析】解：由题可知，函数 的值域为 ，
令 ，由题意可知 为函数 的值域的子集.
①当 时， ，此时 ，
函数 的值域为 ，合乎题意；
②当 时，若 为函数 的值域的子集，
则 ，解得 .综上所述，实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
23．设函数 ，则 的单调递增区间为_________．
【来源】河北省唐县第一中学2021-2022学年高一下学期5月月考数学试题
【答案】
【解析】记 ，
因为 为减函数，所以当 单调递增时， 单调递减，
由 得 或 ，
又当 时， 单调递减.
故 ．
故答案为： .
24．若不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围为____.
【来源】甘肃省张掖市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】
【解析】： 变形为： ，即
在 上恒成立．
令 ，
若 ，此时 在 上单调递减，
，而当 时， ，显然不合题
意；当 时，画出两个函数的图象，
要想满足 在 上恒成立，只需 ，即
，解得： ．
综上：实数a的取值范围是 .故答案为：
25．已知 为奇函数， ，若对 ､ ，
恒成立，则b的取值范围为___________.
【来源】河南省信阳市信阳高级中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学（文
科）试题
【答案】
【解析】 的定义域为 ， 为奇函数，所以 ，
所以 ，
， ，
所以 的值域为 .对于函数 ， 的定义域为 ，所以 恒成立，
所以 恒成立，所以 ，此时 ， ，
所以 的值域为 ，由于对 ､ ， 恒成立，
所以 ，所以 的取值范围是 . 故答案为：四、解答题
26．已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性，并进行证明；
(2)若实数 满足 ，求实数 的取值范围.
【来源】云南省德宏州2021-2022学年高一上学期期末统一监测数学试题
【答案】(1) 为奇函数，证明见解析(2)
【解析】(1) 为奇函数，证明如下：
定义域为 ， ，
为定义在 上的奇函数.
(2) ，
又 在 上单调递增， 在 上单调递增；
由（1）知： ，
， ，
，即 ，
，解得： ，即实数 的取值范围为 .
27．已知函数 ．
(1)求函数f（x）的值域；(2)若 ，且 ，求实数m的取值范围．
【来源】云南省保山市2021-2022学年高一下学期期末质量监测数学试题
【答案】(1) (2)
【解析】(1)因为 定义域为 ，
则
设 ，
令 ，
所以 值域为
(2)设 ， 因为 所以
即 ，即 ，所以
则 的两根为
整理得
因为 解得 再由韦达定理可得:
则
解得 综上，
28．已知函数 是 上的偶函数，且当 时， .
(1)求 的值；
(2)求函数 的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
(3)若 ，求实数 的取值范围.
【来源】云南省寻甸一中、昆明西联学校阳宗海学校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题
【答案】(1) (2)答案见解析(3)
【解析】(1)因为 是 上的偶函数，所以 .
(2)当 时，则 ，则 ，
故当 时， ，
故 ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(3)若 ，即 ，即
因为 在 单调递减，所以 ，
故 或 ，解得： 或 ，即 .
29．已知函数 的图象关于原点对称，其中 为常数．
(1)求 的值；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)函数 的图象关于原点对称，则函数 为奇
函数，有 ，
即 ，解得 ，当 时，不满足题意，所以 ；
(2)由 ，得 ，即 ，
令 ，易知 在 上单调递减，则 的最大值为 .又因为当 时， 恒成立，
即 在 恒成立，所以 .
30．已知函数
(1)若m＝1，求函数f（x）的定义域;
(2)若函数f（x）在区间 上是增函数，求实数m的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)若m＝1，则
要使函数有意义，需 ，解得x∈
∴若m＝1，函数f（x）的定义域为 ．
(2)若函数 在区间 上是增函数，
则 在区间 上是减函数且 在区间 上
恒成立，∴ ，且 ，即 且 .
31．已知函数 ），当点M（x，y）在函数g（x）的图象上运动
时，对应的点 在f（x）的图象上运动，则称g（x）是f（x）的相关函数．
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若对任意的 ，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；(3)设函数 ， ，当 时，求|F（x）|的最大值．
【来源】湖北省恩施州高中教育联盟2021-2022学年高一下学期期中数学试题
【答案】(1) (2)（0，1](3)
【解析】(1)解：依题意得
则 ，
所以 ，
所以原不等式的解集为 ．
(2)由题意得 ，所以 ，
所以f（x）的相关函数为 ．
依题意，对任意的 ，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，
即当 时， 恒成立①．
由 ，对任意的 总成立， ，结合题设条件有 ，
在此条件下，①等价于当 时， 恒成立，
即 ，即 ．
设 ，
要使当 时， 恒成立，
只需 ，即 成立，
解得 ，即a的取值范围是（0，1]．
(3)由（2）可得当 时，在区间（0，1）上， ，即 ．
设 ，则 ．
令 ，则 ，
所以 ，
因为 （当且仅当 时，等号成立），
可得 ，当 时，等号成立，
满足 ，则t的最大值为 ，
所以|F（x）|的最大值是 ．
