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专题 8.2 一元线性回归模型及其应用
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重点 一元线性回归模型。
难点 一元线性回归计算。
例1-1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（ ）。
A、预报变量在x轴上，解释变量在y轴上
B、解释变量在x轴上，预报变量在y轴上
C、可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上
D、可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上
例1-2．若散点图中所有样本点都在一条直线上，解释变量与预报变量的相关系数为（ ）。
A、−1
B、−1或1
C、0
D、1
例1-3．若变量x、y之间是线性相关关系，则由数据表得到的回归直线必过定点（ ）。
x 1 2 4 5
y 8 6 10 12
(2，6)
A、
(2.5，9)
B、
(3，9)
C、
(4，10)
D、
y^=b^ x+a^ b^
例1-4．两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中， 的系数 满足（ ）。
b^ >0
A、
b^ <0
B、
b^ =0
C、
b^ =1
D、
例1-5．在一组样本数据 (x 1 ，y 1 ) 、 (x 2 ，y 2 ) 、…、 (x n ，y n ) （n≥2且 x 2、 x 3、…、 x n不全相等）的散点
1
y= x+1
图中，若所有样本点 (x i ，y i ) （i=1、2、…、n），都在直线 2 上，则这组样本数据的样本相关
系数为（ ）.
A、−1B、0
1
2
C、
D、1
例1-6．最小二乘法的原理是（ ）。
n
∑[y−(a+bx)]
i i
A、使得i=1 最小
n
∑[y −(a+bx)2]
i i
B、使得i=1 最小
n
∑[y2−(a+bx)2]
i i
C、使得i=1 最小
n
∑[y −(a+bx)]2
i i
D、使得i=1 最小
例1-7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x （cm） 174 176 176 176 178
儿子身高y （cm
175 175 176 177 177
）
则y对x的线性回归方程为（ ）。
y=x−1
A、
y=x+1
B、
1
y=88+ x
2
C、
y=176
D、
例1-8．设 (x 1 ，y 1 ) 、 (x 2 ，y 2 ) 、…、 (x n ，y n ) 是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小
二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）。
A、x和y的相关系数为直线l的斜率
B、x和y的相关系数在0到1之间
C、当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
(x，y)
D、直线l过点
[多选] 例1-9．下列说法正确的是（ ）。
A、在回归直线方程 y^=−0.85x+2.3 中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量 y^ 平均减少2.3个
单位
B、两个具有线性相关关系的变量，当相关指数R2 的值越接近于0，则这两个变量的相关性就越强
C、若两个变量的相关指数
R2 =0.88
，则说明预报变量的差异有
88%
是由解释变量引起的
D、在回归直线方程
y^=−0.85x+2.3
中，相对于样本点
(1，1.2) 的残差为−0.25例1-10．研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：
水深x/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10
流速
1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21
y/(m⋅s−1
)
（1）求y对x的回归直线方程；
（2）预测水深为1.95
m时水的流速是多少？1993 2002 GDP
例1-11． 年到 年中国的国内生产总值（ ）的数据如下：
年份 GDP
1993 34634.4
1994 46759.4
1995 58478.1
1996 67884.6
1997 74462.6
1998 78345.2
1999 82067.5
2000 89468.1
2001 97314.8
2002 104790.6
GDP
（1）作 和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么。
GDP
（2）建立年份为解释变量， 为预报变量的回归模型，并计算残差。
2003 GDP GDP
（3）根据你得到的模型，预报 年的 ，并查阅资料，看看你的预报与实际 的误差是多少。
GDP
（4）你认为这个模型能较好地刻画 和年份的关系吗？请说明理由。kg kg
1-12．某农场对单位面积化肥用量x（ ）和水稻相应产量Y （ ）的关系作了统计，得到数据如下：
x 15 20 25 30 35 40 45
y 330 345 365 405 445 450 455
如果x与Y 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为
32kg
时水稻
的产量大约是多少？（精确到0.01kg
）10
1-13．假设美国 家最大的工业公司提供了以下数据：
x x
公司 销售总额经 1/百万美元 利润 2/百万美元
通用汽车 126974 4224
福特 96933 3835
埃克森 86656 3510
IBM 63438 3758
通用电气 55264 3939
美孚 50976 1809
菲利普·莫利斯 39069 2946
克莱斯勒 36156 359
杜邦 35209 2480
德士古 32416 2413
（1）作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；
（2）建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；
（3）你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由。
