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专题 8.1 成对数据的统计相关性
姓名： 班级：
重点 变量的相关关系。
难点 样本相关系数。
例1-1．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学
习成绩；③某人每日吸烟量和身体健康情况；④圆的半径与面积；⑤汽车的重量和每千米耗油量。其中两
个变量成正相关的是（ ）。
A、①③
B、②④
C、②⑤
D、④⑤
【答案】C
【解析】由变量的相关关系的概念知，②⑤是正相关，①③是负相关，④为函数关系，故选C。
例1-2．观察下列各图形，其中两个变量x、y具有相关关系的图是（ ）。
A、①②
B、①④
C、③④
D、②③
【答案】C
【解析】由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近，
∴③④中的两个变量具有相关关系，故选C。
例1-3．两个变量相关性越强，相关系数R（ ）。
A、越接近于−1
B、越接近于0
C、越接近于1
D、绝对值越接近1
【答案】D
|r|→1 |r|→0
【解析】 ，两个变量的线性相关性越强， ，线性相关性越弱，故选D。
例1-4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）。r 0时，数据为正相关，
|r| r 0
D、 （ ）
【答案】B
【解析】散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D，故选B。
[多选] 例1-9．某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从 2011 年
到 2019 年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额 y看成以年份序号x（
2011 年作为第1年）的函数。运用 excel 软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果
如下图，则下列说法错误的是（ ）。
A、销售额y与年份序号x呈正相关关系
B、根据三次多项式函数可以预测 2020 年“双11”当天的销售额约为 8454 亿元
C、销售额y与年份序号x线性相关不显著
D、三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
【答案】BC
【解析】对于A，散点从左下到右上分布，
∴销售额y与年份序号x呈正相关关系，对，
对于B，令x=10
，由三次多项式函数得
y=2684.54
，∴ 2020 年“双11”当天的销售额约为 2684.54 亿元，错，
对于C，∵相关系数 r2 =0.936 ，非常接近1，故销售额y与年份序号x线性相关显著，错，
对于D，用三次多项式回归曲线拟合的相关指数
R2 =0.999
，
而回归直线拟合的相关指数
R2 =0.936
，相关指数越大，拟合效果越好，对。
故选BC。
例1-10．相关指数R2
= 。
n
∑(y −y^)2
i
R2=1−i=1
n
∑(y −y)2
【答案】 i 。
i=1
例1-11．某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作
小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植。
经考察已知树苗经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树在市场上出售，但每株售价y（单位：百
元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树的相关数据进行统计，得
到结果如下表：
直径x 10 15 20 25 30
单株售价y 4 8 10 16 27
根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明。
n n
∑(x −x)(y −y) ∑x⋅y −n⋅x⋅y
i i i i
r= i=1 = i=1
√ n n √ n √ n
∑(x −x)2⋅∑(y −y)2 ∑x2−n⋅x2⋅ ∑ y2−n⋅y2
i i i i
附：相关系数 i=1 i=1 i=1 i=1 ，
5 5
∑(x
i
−x)2=250 ∑(y
i
−y)2=320
|r|>0.75
i=1 ，i=1 ，一般认为， 为高度线性相关。
x=20 y=13
【解析】 、 ，
(−10)×(−9)+(−5)×(−5)+0×(−3)+5×3+10×14 27
r= = ≈0.95>0.75
√250×√320 20√2
，
∴可用线性回归模型拟合y与x的关系。
例1-12．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千
克）之间的对应数据的散点图，如图所示。
依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明
（若r>0.75
，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）。n n
∑(x −x)(y −y) ∑x⋅y −n⋅x⋅y
i i i i
r= i=1 = i=1
√ n n √ n √ n
∑(x −x)2⋅∑(y −y)2 ∑x2−n⋅x2⋅ ∑ y2−n⋅y2
i i i i
附：相关系数公式 i=1 i=1 i=1 i=1 。
2+4+5+6+8 3+4+5+6+7
x= =5 y= =5
5 5
【解析】由所给数据可得： 、 ，
5
∑(x−x)(y −y)=(−3)×(−2)+(−1)×(−1)+0×0+1×1+3×2=14
i i
i=1 ，
5
∑(x −x)2=(−3)2+(−1)2+02+12+32=20
i
i=1 ，
5
∑(y −y)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10
i
i=1 ，
n
∑(x −x)(y −y)
i i 14 7√2
r= i=1 = = >0.75
√ n n √20×√10 10
∑(x −x)2⋅∑(y −y)2
i i
∵ i=1 i=1 ，
∴可用线性回归模型拟合y与x的关系。
