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专题 5.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质
1 性质
(1) 简谐运动可用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，
2π 1 ω
A是振幅，周期T= ，频率 f = = ，相位ωx+φ ，初相φ.
ω T 2π
(2) A,ω,φ对f(x)=Asin(ωx+φ)的影响
A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置.
1． 对函数 的图象的影响
（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向右（当
φ<0时）或向左（当φ>0时）平行移动 个单位长度而得到的.
2． 对函数 的图象的影响
函数 （其中ω>0)的图象，可以看作是把函数 的图象
上所有点的横坐标伸长（当0<ω<1时）或缩短（当ω>1时）到原来的 倍（纵坐
标不变）而得到的.
3． 对函数 的图象的影响
函数 （其中A>0）的图象，可以看作是把函数
的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横
坐标不变）而得到的.
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学科网（北京）股份有限公司2 函数的变换
(1) 平移变换
① y=f (x)⟶ y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右
减)；
② y=f (x)⟶y=f (x)± b (b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加
下减).
π π
PS f(x)=3sin(2x+ )向 左 平 移 个 单 位 ， 得 到 的 函 数 不 是
3 4
π π π π
f(x)=3sin(2x+ + )， 而是f(x)=3sin[2(x+ )+ ].
4 3 4 3
(2) 伸缩变换
① y=f (x)⟶ y=A f (x)(A>0)
将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).
② y=f (x)⟶ y=f (ω x)(ω>0)
1
将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 倍( ω>1缩短，ω<1伸长)；
ω
问题 怎么理解呢？例：若将 ( π)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的
f (x)=3sin x+
3
1倍，那得到的函数是 ( π) (1 π)呢？
f (x)=3sin 2x+ 还是f (x)=3sin x+
2 3 2 3
解析 我们把 ( π)的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到
f (x)=3sin x+
3
1 2π
原来的 倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T= ,T与ω成反比)，
2 ω
即变换后的函数应该是 ( π).
f (x)=3sin 2x+
3
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学科网（北京）股份有限公司图像平移变换
将函数 的图象变换得到函数 （其中 ）的图象
的过程为:
（1）作出函数 在长度为2π的某闭区间上的简图;
（2）将图象沿x轴向左或向右平移 个单位长度，得到函数 的简
图；
（3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的 倍，得到函数
的简图;
（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的 A 倍，得到函数
的简图;
（5）沿x轴扩展得到函数 ， 的简图.
由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法：
（1）先平移后伸缩：
（2）先伸缩后平移：
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．已知函数 ，则函数 的图象可以由 的图象（ ）
A．向左平移 得到 B．向右平移 得到
C．向左平移 得到 D．向右平移 得到
2．将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
所得图象的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于
轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．为了得到函数 的图像，需对函数 的图像所作的变换
可以为（ ）
A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位
B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位
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学科网（北京）股份有限公司C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位
D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
5．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
6．已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向左平移 个
单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数 的图象，
则下列结论不正确的是（ ）
A． B． 的图象关于点 对称
C． 的图象关于 对称 D． 在 上的最大值是1
7．关于函数 有如下四个命题：
甲：该函数在 上单调递减；
乙：该函数图象向左平移 个单位长度得到一个偶函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为
丁：该函数图象的一个对称中心为 ．
如果只有一个假命题．则该命题是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．若将函数 的图像先向左平移 个单位长度，然后再保持纵坐标
不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到 的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
9．将 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到
的图象，再将 图象向左平移 ，得到 的图象，则
的解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 的部分图像如图所示，将
的图像向右平移 个单位长度后，得到函数 的图像，则 在 上
的值域为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
11．已知函数 的部分图象如图所示，点 ，
，则下列说法中错误的是（ ）
A．直线 是图象的一条对称轴
B． 的图象可由 向左平移 个单位而得到
C．的最小正周期为
D．在区间 上单调递增
12．函数 的部分图像如图所示，若 ，
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学科网（北京）股份有限公司，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
13．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所
示，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在区间 上单调递增
14．将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数
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学科网（北京）股份有限公司的图象，若 在 上为增函数，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．记函数 的最小正周期为T．若 ，且
的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
16．已知函数 的部分图象如下
图所示，先将 的图象向右平移 个单位长度（纵坐标不变），再将横坐标缩小为
原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司17．将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数
的图象，若函数 在区间 上单调递增，则 的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
18．函数 在区间 上单调且 ，则 的范围
是（ ）
A． B． C． D．
19．将函数 向右平移 个单位长度得到函数 ，若函数
在 上的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数 在区间 上单调递
增，且在区间 上只取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司二、多选题
21．函数 ，（ ， ）部分图象如图所示，下列说法正
确的是（ ）
A．函数 解析式为
B．函数的单调增区间为
C．函数 的图象关于点 对称
D．为了得到函数 的图象，只需将函数 向右平移 个单位长度
22．设函数 ，则（ ）
A． 为奇函数
B． 的图象关于直线 对称
C．当 时， 的最小值为
D．将 的图象向右平移 个单位，可以得到函数 的图象
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学科网（北京）股份有限公司23．已知 的图象关于点 对称，相邻两条对称
轴的距离为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． ，
B．将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象关于y轴对称
C．函数 在 上的单调递减区间为
D．为了得到 的图象，可以将函数 的图象向右平移 个单位
24．函数 ， 部分图象如图所示，下列说法不
正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
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学科网（北京）股份有限公司25．将函数 的图象向左平移 （ ）个单位，得到函数 的图象，
若函数 是奇函数，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
26．已知函数 的部分图象如图所示，则 ___________．
27．已知函数 在区间 上是增函数，将函数 的图像向
左平移 个单位后得到的图像与将其向右平移 个单位后所得到的图像重合．则 的
值为________.
28．已知函数 的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（
）个单位长度，得到函数 的图象．若函数 的图象关于原点对称，
则t的最小值为________．
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学科网（北京）股份有限公司29．设函数 若 在区间 上单调，且
，则 的最小正周期为____．
四、解答题
30．已知函数 的部分图象如图．
(1)求f（x）的表达式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持
不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程 在
上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司31．已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，若方程 在 上有两个不等的实数根，且 ，
①求 的取值范围；
②求 .
32．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)现将 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变；再向右平移 个单
位长度得到 的图像，若当 时， 恒成立，求实数m的取值
范围．
33．已知函数 的部分图象如图所示．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求函数 的解析式：
(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的
横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），然后将所得图象上每一个点都向下平移1个
单位（横坐标不变），得到函数 的图象，若方程 在 上有实
数根，求实数m的取值范围．
34．已知函数 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标保持不变，再把所得的图象
向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求 在 上的值域．
35．已知函数 的部分图象如图所示．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求函数 的解析式；
(2)若 为偶函数，求t的值；
(3)若 ， ， 的值域为 ，求实数a，b的值．
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学科网（北京）股份有限公司试卷第18页，共3页
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