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第四章 指数与对数函数
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．设函数 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】：函数 ，
即有 ，
，
则有 ．故选：C.
2．已知 ， ， ， ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图
象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】 与 是增函数， 与 是减函数，在第一象限
内作直线 ，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A
3．设函数 ，则f(x)是（ ）
A．奇函数，且在(0，2)上是增函数
B．奇函数，且在(0，2)上是减函数
C．偶函数，且在(0，2)上是增函数
D．偶函数，且在(0，2)上是减函数
【答案】A
【解析】依题意， ，解得 ，即f(x)的定义域为(-2，2)，
因 ，则f(x)是奇函数，
又 在(0，2)上单调递增， 在(0，2)上单调递减，则
在(0，2)上单调递增，
所以f(x)在(0，2)上单调递增.
故选：A
4．若函数 的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】：由 时， ，
因为函数 的值域为R，所以当 时， ，
分两种情况讨论：①当 时， ，所以只需 ，解得 ，所以 ；
②当 时， ，所以只需 ，显然成立，所以 .
综上， 的取值范围是 .故选：D.
5．已知函数 ，设 ， ， ，则 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】可知 在 上单调递增， 上单调递减，且图像关于 对称
，而
可得 故选：A
6．已知函数 ，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当 时， 的定义域为
B． 一定有最小值
C．当 时， 的定义域为
D．若 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
【答案】A
【解析】对A，当 时，解 有 ，故A正确；
对B，当 时， ，此时 ， ，
此时 值域为 ，故B错误；
对C，由A， 的定义域为 ，故C错误；
对D，若 在区间 上单调递增，此时 在 上单调递增，所
以对称轴 ，解得 ，但当 时， 在 处无定义，
故D错误.故选：A.
7．已知函数 ，则函数 的零点个数是
（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】令 ， ，则 ，即 ，
分别作出函数 和直线 的图象，如图所示，
由图象可得有两个交点，横坐标设为 ， ，
则 ， ，
对于 ，分别作出函数 和直线 的图象，如图所示，
由图象可得，
当 时，即方程 有两个不相等的根，
当 时，函数 和直线 有三个交点，
即方程 有三个不相等的根，
综上可得 的实根个数为 ，
即函数 的零点个数是5.
故选：B.
8．已知函数 ，若方程 有六个相异实根，则实数
的取值范围（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的图像如图所示：
则要使方程 有六个相异实根即使 在 上有两个相异
实根;
则 解得： .故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的值域为R
C．方程 最多只有两个实数解 D．方程 有5个实数解
【答案】ABD
【解析】 ，故A正确.
等价于 或 ，
故 或 ，故方程 有2个实数解，
下面考虑 的解，令 ，则 的解为 或 ，
再考虑 或 的解，
即 或 或 或 ，故 或 或 或 或 ，共5个不同的解，
故D正确.
的图象如图所示：
由图象可得 的值域为R，故B正确.
当 时，直线 与 的交点个数为3，
故此时 有3个不同的实数根，故C错误.故选：ABD.
10．定义在 上的函数 满足在 上单调递增， ，且图象关于点
对称，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C． 在 上单调
D．函数 在 上可能有2023个零点
【答案】AC
【解析】 所以 的对称轴为 ，且 ，又
图象关于点 对称，则 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，所以 的周期为4，所以 为
的对称中心，所以 奇函数，且定义域为 ，所以 ，所以A正确；
根据周期性 ，且 ,又
对称轴为 ，所以 ，且函数 满足在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以B错误；
函数 满足在 上单调递增，且周期为4，所以函数 满足在 上单调递增，又 图象关于点 对称，所以 在 单调递增，又 对
称轴为 ，所以 在 单调递减，且 在 单调递减，且 ，
所以 在 单调递减，所以C正确；
对于D， 在 上有且仅有2个零点，且周期为4， 在 上有且仅
有1010个零点，在 上有且仅有2个零点，函数 在 上可能有1012
个零点，所以D错误.故选：AC.
11．已知函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A．若 的定义域为R，则
B．若 的值域为R，则 或
C．若 ，则 的单调减区间为
D．若 在 上单调递减，则
【答案】BD
【解析】对于A，若 的定义域为R，则 在R上恒成立，所以 ，
所以 ，所以A错误；
对于B，若 的值域为R，则 ，所以 或 ，所以B正确：
对于C，若 ，则 ，函数的定义域为 ，
设 ，即求函数 的减区间，由复合函数的单调性原理得函
数的单减区间为 ，所以C错误；
对于D，若 在 上单调递减，则 且 ，所以 ，所
以D正确．故选：BD
12．已知函数 ，则方程 的根的个数可能为
（ ）
A．2 B．6 C．5 D．4
【答案】ACD
【解析】画出 的图象如图所示：令 ，则 ，则 ，
当 ，即 时， ，此时 ，由图 与 的图象有两个交点，
即方程 的根的个数为2个，A正确；
当 时，即 时， ，则
故 ， ，
当 时，即 ，则 有2解，
当 时，若 ，则 有3解；若 ，则 有2解，
故方程 的根的个数为5个或4个，CD正确；
故选：ACD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数 的单调递增区间为______．
【答案】
【解析】作出函数 的图象如图，（ 图像先向下平移2个单位，再将
轴下方的部分沿 轴翻折到 轴上方即可得到 的图像）
由图可知，函数 的增区间为 .故答案为： .14．关于 的方程 在区间 内有两个不等实根，则实数 的取值范围
是_____．
【答案】
【解析】关于 的方程 在区间 内有两个不等实根，令
，
则有 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .故答案为：
15．函数 的单调递增区间是___________.
【答案】 ##
【解析】由 得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
设内层函数 ，对称轴方程为 ，抛物线开口向下，
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
外层函数 为减函数，所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为： .
16．已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，且当 时，
，则函数 的零点个数是______．
【答案】2
【解析】由 可得 关于 对称，由函数 是定义在R上的奇函数，
所以 ，
所以 的周期为4，
把函数 的零点问题即 的解，
即函数 和 的图像交点问题，
根据 的性质可得函数图像，结合 的图像，
由图像可得共有2个交点，故共有2个零点，
故答案为：2.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数 .
（1）当 时，求函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的值域；
（2）若函数f（x）在实数集R上存在零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）根据题意，当 时， ，设t＝2x，则
，
∴ ， ；
（2） ，即
令 ，所以 （*）有正根，设（*）的两根为t，t
1 2
当a＜0时， 即可，即1+8a≥0，解得 ；
当a＝0时，t＝1符合；当a＞0时， ，显然符合题意，
故实数a的取值范围 ．
18．已知函数 过定点 ，函数 的定义域为 .
（Ⅰ）求定点 并证明函数 的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数 在 上的单调性；
（Ⅲ）解不等式 .
【答案】（Ⅰ）定点为 ，奇函数，证明见解析；（Ⅱ） 在 上单调递增，证
明见解析；（Ⅲ） .
【解析】（Ⅰ） 函数 过定点 ， 定点为 ，
，定义域为 ，
.
函数 为奇函数.
（Ⅱ） 在 上单调递增.
证明：任取 ，且 ，
则 .
， ，
， ，
，即 ，
函数 在区间 上是增函数.
（Ⅲ） ，即 ，
函数 为奇函数
在 上为单调递增函数，， ，解得： .
故不等式的解集为：
19．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的
面积为 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的 倍
时，所用时间是 年．
（1）求森林面积的年增长率；
（2）到今年为止，森林面积为原来的 倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到 亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？
（参考数据： ， ）
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）设年增长率为 ，则 ，即 ，解得 ，
因此，森林面积的年增长率为 ；
（2）设已植树造林 年，则 ，即 ， ，解得 ，
因此，该地已经植树造林 年；
（3）设至少需要植树造林 年，则 ，可得 ，
所以， ， ，
因此，至少需要植树造林 年.
20．设函数 是定义R上的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若不等式 有解，求实数a的取值范围；
（3）设 ，求 在 上的最小值，并指出取得最小值时的x
的值．
【答案】（1）1；（2） ；（3）最小值为 ，此时 .【解析】（1）因为 是定义域为R上的奇函数，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，当 时， ，
所以 为奇函数，故 ；
（2） 有解，所以 有解，
所以只需 ，
因为 （ 时，等号成立），
所以 ；
（3）因为 ，所以 ，
可令 ，可得函数t在 递增，即 ，
则 ，可得函数 ， ，
由 为开口向上，对称轴为 的抛物线，
所以 时， 取得最小值 ，此时 ，解得 ，
所以 在 上的最小值为 ，此时 ．
21．已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求 ， 的值；
（2）用定义证明 在 上为减函数；
（3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的范围．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析；（3） .
【解析】：（1） 为 上的奇函数， ，可得
又 （1）
，解之得经检验当 且 时， ，满足 是奇函数．
（2）由（1）得 ，
任取实数 、 ，且
则
，可得 ，且
，即 ，函数 在 上为减函数；
（3）根据（1）（2）知，函数 是奇函数且在 上为减函数．
不等式 恒成立，即
也就是： 对任意的 都成立．
变量分离，得 对任意的 都成立，
，当 时有最小值为 ，即 的范围是 ．
22．已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求函数 的定义域和值域；
（Ⅱ）若函数 的定义域为 ，值域为 ，求实数 的值．
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，值域为 ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）若 ，则 ，由 ，得到
，得到 ，故定义域为 ．
令 ，则
当 时， 符合．
当 时，上述方程要有解，则 ，得到 或 ，
又 ，所以 ，
所以 ，则值域为 ．
（Ⅱ）由于函数 的定义域为 ，则 恒成立，则 ，即，令 ，由于 的值域为 ，则 ，而
，则由 解得 ，故 和 是方
程 即 的两个根，则 ，得到 ，
符合题意．所以 ．
