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第三章 位置与坐标 章末检测卷
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·山东聊城·七年级期末）下列不能确定点的位置的是（ ）
A．东经122°，北纬43.6° B．电影院6排3座
C．教室第1组 D．小岛北偏东30°方向上距小岛50海里
【答案】C
【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．东经122°，北纬43.6°的位置明确，故本选项不符合题意；
B．电影院6排3座的位置明确，故本选项不符合题意；
C．教室第1组无法确定物体的具体位置，故本选项符合题意；
D．小岛北偏东30°方向上距小岛50海里的位置明确，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．
2．（2022·河南·上蔡县八年级阶段练习）已知点M的坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点M在第二象限内 B．点M到x轴的距离为3
C．点M关于y轴对称的点的坐标为 D．点M到原点的距离为5
【答案】D
【分析】根据点所在象限的坐标特征、点到坐标轴的距离、关于y轴对称的点的坐标特征以及勾股定理求
解即可．
【详解】解：∵点M的坐标为 ，∴点M在第四象限，故A选项错误，不符合题意；
点M到x轴的距离是 =4，故B选项错误，不符合题意；
点M关于y轴对称的点的坐标为 ，故C选项错误，不符合题意；
点M到原点的距离为 =5，故D选项正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查点所在的象限、点到坐标轴的距离、坐标与图形变化——轴对称、两点之间距离坐标公
式，熟练掌握相关知识是解答的关键．
3．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）在平面直角坐标系内有一点 ，若点 到 轴的距
离为3，到 轴的距离为1．且点 在第二象限，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y
轴的距离等于横坐标的绝对值解答．．
【详解】解：点 到 轴的距离为3，到 轴的距离为1．且点 在第二象限，
所以横坐标为 ，纵坐标为3，∴A ．故选B．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，第二象限点的坐标特征，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
4．（2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（
）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
【答案】B
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a、b，再代入计算即可．
【详解】解：∵点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，所以a=3，b=−2，∴a+2b=3+2×(−2)=-1．故选B．
【点睛】此题主要考查关于x轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐
标互为相反数．
5．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期中）在平面直角坐标系中，将点P（a，b）向右平移3个单位，
再向下平移2个单位，得到点Q．若点Q位于第四象限，则a，b的取值范围是（ ）
A．a＞0，b＜0 B．a＞1，b＜2 C．a＞1，b＜0 D．a＞-3，b＜2
【答案】D
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：P（a，b）向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到（a+3，b﹣2），
∵Q位于第四象限，∴a+3＞0，b﹣2＜0，∴a＞﹣3，b＜2．故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减．
6．（2022·广西南宁·八年级期中）如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB
为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）A．(﹣1，0) B．(2 ，0) C．( 3，0) D．(3 ，0)
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得AB ，然后根据图形推知AC＝AB，则OC＝AC﹣OA，所以由点C位于x
轴的负半轴来求点C的坐标．
【详解】解：如图，∵A（3，0）、B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，
∴在直角 AOB中，由勾股定理得AB ．
△
又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，
∴AC＝AB＝ ，∴OC＝AC﹣OA 3．
又∵点C在x轴的负半轴上，∴C（3 ，0）．故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形的性质．解题时，注意点C位于x轴的负半轴，所以点C的横
坐标为负数．
7．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线 ，再选定一个单
位长度，那么平面上任一点M的位置可由 的度数 与 的长度m确定，有序数对 称为M点
的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边 在射线 上，则正六边形的顶点C的
极坐标应记为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得
OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=4，∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×4=8，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为 ．故选A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解
“极坐标”的定义是解题的关键．
8．（2022·福建厦门·七年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3），B（－2，－1），C（x，y），若
AC∥y轴，则线段BC的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】由垂线段最短可知点BC⊥AC时，BC有最小值．
【详解】解：依题意可得：∵AC//y轴，A(1，3)，C(x， y)，∴x=1，
根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，
∵B(-2，-1)，即BC的最小值= 2+1=3，故选： C．
【点睛】本题主要考查的是垂线段的性质、点的坐标的定义，掌握垂线段的性质是解题的关键．
9．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，把图①中 经过一定的变换得到图②中的 ，
如果某个点在图②中的点 的坐标是 ，那么这个点在图①的 上点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形可得平移方法，再根据平移方法可得P的坐标．
【详解】解：根据图可得△ABC向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，
因此点 的坐标为（a，b）变为点P的坐标为 ，故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐
标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位
长度．
10．（2022·河南周口·七年级期中）如图，点 向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，
得到点 ；将点 向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点 ；将点 向上平移4个单
位长度，再向右平移8个单位长度，得到 ，…，按照这个规律平移得到的点 ，则点 的横坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出点A，A，A，A 的横坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
1 2 3 4
【详解】解：点A 的横坐标为1=21-1，
1
点A 的横坐标为1+2=3=22-1，点A 的横坐标为1+2+4=7=23-1，
2 3
点A 的横坐标为1+2+4+8=15=24-1，…
4
按这个规律平移得到点An的横坐标为 ，
∴点A 的横坐标为22022-1，故选：B．
2022
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·四川成都·二模）如图，若“帅”位于点 ，“马”位于点 ，则“兵”位于点
_______．【答案】（-2，2）
【分析】根据“帅”和“马”的位置，可确定原点O的位置，即可得答案．
【详解】解：如下图，
∵“帅”位于点(0，−1)，“马”位于点(3，−1)，
∴原点O的位置如上图，∴“兵”位于点（-2，2），故答案为：（-2，2）．
【点睛】本题考查了平面上物体位置的确定，解题的关键是确定原点O的位置．
12．（2022·福建·七年级期中）已知点A（ ）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
【答案】-2
【分析】根据点A在角平分线上可知，点A到两个坐标的距离是相等的；第二象限的点，横坐标小于0，
纵坐标大于0，综合可得A点的横纵坐标之和为0，据此列方程即可求解．
【详解】∵点A(-3+a,2a+9)在第二象限的角平分线上，
∴-3+a+2a+9＝0，∴a＝−2．故答案为：−2．
【点睛】此题是坐标与图形性质的题，主要考查了象限角平分线上点的特点，解本题的关键是掌握了象限
角平分线上点的特点．
13．（2022·海南海口·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点B、C的坐标分别是 ，
，点D、E分别是AB、AC的中点，点D的坐标为 ，则点A、E的坐标分别是______．
【答案】（3，4）、（4，2）
【分析】已知点A和点D的坐标，且D为AB的中点，由中点坐标公式可求出点A的坐标，由点E为AC
的中点，同理由中点坐标公式可求得点E的坐标．【详解】解：设A（a，b）∵点B（-1，0），点D（1，2），且点D为AB的中点，
∴ 解得， ∴A（3，4）
又点C（5，0），点E为AC的中点，设C（x，y），则有：
∴点E的坐标为（4，2）故答案是：（3，4）、（4，2）．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练运用中点坐标公式是解答本题的关键．
14．（2022·辽宁大连·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴
上，若三角形 的面积为 （平方单位），则点 的坐标为_______．
【答案】 或
【分析】设点 的坐标为 ，分两种情况：①若点 在 轴的正半轴上，则 ；②若点 在 轴的负
半轴上，则 ．分别构建方程求解即可．
【详解】解：设点 的坐标为 ，
∵点 ，三角形 的面积为 ，∴ ，
①若点 在 轴的正半轴上，则 ，
∴ ，解得： ，∴点 的坐标为 ；
①若点 在 轴的负半轴上，则 ，
∴ ，解得： ，∴点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形，涉及点到坐标轴的距离，两点间的距离，三角形的面积．解题的关键是用
分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题．15．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）已知点 ，分别根据下列条件求出
点M的坐标．（1）点M在x轴上；______（2）点M在第二象限，且a为整数；______
【答案】
【分析】（1）根据点M在x轴上可知a-1=0，然后问题可求解；
（2）由点M在第二象限可知 ，然后求解不等式组的解集，最后根据a为整数可进行求解．
【详解】解：（1）当点M在x轴上时，则有：a-1=0，∴a=1，
∴3a-8=3×1-8=-5，∴点M的坐标为 ；
（2）由点M在第二象限可知 ，解得： ，
∵a为整数，∴a=2，∴ ，
∴点M的坐标为 ；故答案为 ， ．
【点睛】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．
16．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到
x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如
P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T(－1，－k－3)，T(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为
1 2
______．
【答案】1或2##2或1
【分析】由等距点的定义对4k-3分类讨论，求出不同情况下的k值即可．
【详解】∵ (4，4k-3)到x轴的距离为 ，到y轴的距离为4，
若 ，即 ，则有 解得k=-7或k=1，
∵k=-7不合题意，舍去，∴k=1，若 ，即 或 ，则 ，
解得：k=0，或k=2，∵k=0不合题意，舍去，∴k=2，综上，k的值为1或2，故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
17．（2022·江苏·八年级专题练习）风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永
嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为 ，B点的坐
标为 ．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形
ABCD的最小周长______．
【答案】5+ ##
【分析】作A关于y轴的对称点 ，作B关于x轴的对称点 ，然后判断当 ，C，D， 在同一直线上
时，四边形ABCD的周长最小，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解作A关于y轴的对称点 ，作B关于x轴的对称点 ，连接 交y轴于点D，交x轴于点C，
则 ， ， ， ，
∴ ，AD+CD+BC= ，当 ，C，D， 在同一直线上时， 最小，即AD+CD+BC最小，
此时四边形ABCD的周长也最小，最小值为 ．故答案是： ．
【点睛】本题考查了轴对称和两点之间线段最短，解题的关键是判断出A关于y轴的对称点 ， B关于x
轴的对称点 ，C，D在同一直线上，四边形ABCD的周长最小．
18．（2022·福建·厦门双十中学七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，将A（a，b），B（m，b + 1）
（a≠m + 1）两点同时向右平移h（h > 0）个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点
C）．连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．下列结论正确
的有 _________ ．（只填序号）①AC = BD；②直线l⊥x轴；③A、B、C三点可能在同一条直线上；④
当DE取最小值时，点E的坐标为（m，b）.（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据平移的性质先求出点C和点D的坐标，得到点A和点D的纵坐标相同，进而得到 轴，
再利用平移的性质来求解．
【详解】解：∵A（a，b），B（m，b + 1）（a≠m + 1）两点同时向右平移h（h > 0）个单位，再向下平
移1个单位得到C，D两点（点A对应点C），
一个点向右平移h个单位，则该点的横坐标加h；一个点向下平移1个单位，则该点的纵坐标减1，
∴ ， ，此时点A和点D的纵坐标相同，∴ 轴．
根据平移的性质可知： ，故①正确；
AD平行于x轴,l垂直于AD 那么l也垂直于x轴，故②正确；
由图可知：因为a≠m + 1，所以A、B、C三点不可能在同一条直线上，故③错误；
当DE取最小值时，点E与点P重合时，此时点E的坐标为（m，b），故④正确．
综上所述，正确的有：①②④．【点睛】本题主要考查了平移的性质，理解平移的性质和求出平移后点C和D的坐标是解答关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2022·安徽·八年级阶段练习）已知：点Q的坐标（2a，3a－1）．(1)若点Q在第三象限，且到两坐
标轴的距离之和为16，求点Q的坐标．(2)若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
【答案】(1) (2) 或 ， ．
【分析】（1）根据第三象限的横坐标和纵坐标均为负数，并根据点 到两坐标轴的距离之和为16列方程
求出 的值即可得出点 的坐标；（2）根据点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数
解答即可．
（1）解： 点 在第三象限， ， ，
又 据点 到两坐标轴的距离之和为16，
，即 ，解得 ，
， ，故点 的坐标为 ；
（2）解： 点 到两坐标轴的距离相等，
， 或 ，解得 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ， 点 或 ， ．
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相
等或互为相反数．
20．（2022·辽宁大连·七年级期中）（1）建立平面直角坐标系xOy；（2）画出点 ；
（3）画x轴正半轴上点C，使线段OC的长度等于 ．（保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立即可；
（2）在平面直角坐标系上描出点A，B的坐标即可；
（3）以点（1,0）为圆心，1为半径在x轴上画半圆，过点（1,0）做垂线，交半圆上一点D，连接OD，以
点O为圆心，OD为半径，画弧交x轴一点C，点C即为所求 ．
【详解】（1）如图所示，下图即为所求：（2）如图所示，下图即为所求：
（3）如图所示，下图即为所求：
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的建立，在平面直角坐标系中描点，无理数在数轴上的表示，掌握无
理数用数轴上的点表示方法是解题的难点．
21．（2022·江苏无锡·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB．其中A（1，－3），B（3，
0）．平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．
（备用图）
(1)若点C的坐标为（－2，4），则点D的坐标是 ；(2)若点C在y轴的正半轴上，点D在第三象限且四边形ABCD的面积为14，求点C的坐标．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）点B（3，0）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C（－2，4），A（1，－3）也向
左平移5个单位，向上平移4个单位得到D；
（2）如图，设 ，则 ，表示出四边形ABCD的面积列出方程即可．
（1）解：B（3，0）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C（－2，4），
因此A（1，－3）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到D ；
（2）设 ，则
∴ ，解得 ，∴ ．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，间接法求面积也是本题
的关键．
22．（2022·北京市七年级期中） 对于平面直角坐标系 中的图形 和图形 上的任意点 ，给出
如下定义：将点 平移到 称为将点 进行“ 型平移”，点 称为将点 进行“ 型平
移”的对应点；将图形 上的所有点进行“ 型平移”称为将图形 进行“ 型平移”．例如，将点
平移到 称为将点 进行“1型平移”，将点 平移到 称为将点进行“﹣1型平移”．已知点 和点 ．(1)将点 进行“1型平移”后的对应点 的坐标为
．
(2)①将线段 进行“﹣1型平移”后得到线段 ，点 ， ， 中，在线段 上
的点是 ．②若线段 进行“ 型平移”后与坐标轴有公共点，则 的取值范围是 ．
(3)知点 ， ，点 是线段 上的一个动点，将点 进行“ 型平移”后得到的对应点为 ，
画图、观察、归纳可得，当 的取值范围是 时， 的最小值保持不变．
【答案】(1) ；(2) ， 或 ；(3) ．
【分析】（1）根据“1型平移”的定义求解即可；
（2）①画出线段 即可求解；②根据定义求出t的最大值，最小值即可；
（3）观察图象可知：当 在线段 上时， 的最小值保持不变，最小值为 ．
(1)解：由“1型平移”的定义可知： 的坐标为 ；
(2)解：①如图所示，观察图象可知：将线段进行“﹣1型平移”后得到线段 ，点 ， ，
中，在线段 上的点是 ；②若线段 进行“ 型平移”后与坐标轴有公共点，则 的取值范围是 或 ；
(3)如图所示：
观察图象可知：当 在线段 上时， 的最小值保持不变，最小值为 ，此时 ．
【点睛】本题考查平移变换，“t型平移”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
学会利用图象法解决问题．
23．（2022·湖北荆门·八年级期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)画出△ABC关于y轴对称的△ABC ；并写出B 的坐标；
1 1 1
(2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△ABC ，并写出B 的坐标；
1 2 2 2
(3)在（1）、（2）的基础上，写出△ABC 与△ABC 有怎样的位置关系？
1 1 1 2 2
(4)在y轴上有一点P，使得PB+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）
(5)在y轴上有一点Q，使得QB－QC最大，请画出点Q．（用虚线保留画图的痕迹）
【答案】(1)作图见解析，B（3，2）；(2)作图见解析，B（5，2）；
1 2
(3)由图可知△ABC 与△ABC 关于直线x＝4对称；
1 1 1 2 2
(4)作图见解析(5)作图见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质找到 关于y轴对称的点 ，顺次连接 ，则△ABC 即
1 1
为所求，根据坐标系写出点B（的坐标即可；
1
（2）将点 向右平移8个单位，得到 ，顺次连接 ，则△ABC 即为所求，根据坐标
1 2 2
系写出点B 的坐标即可；（3）观察图形即可求解．
2
（4）连接BC ，交y轴于点P，连接BC，根据轴对称的性质可知则点P即为所求
1
（5）延长BC交y轴于点Q，根据两点之间线段最短可得Q点即为所求
（1）作图见解析，B（3，2）
1
（2）作图见解析，B（5，2）；
2
（3）由图可知△ABC 与△ABC 关于直线x＝4对称；
1 1 1 2 2
（4）作图见解析
连接BC ，交y轴于点P，连接BC，
1
∵PC =PC，PC+PB=PC +PB≥BC
1 1 1
当B，P，C 三点共线时，PB+PC最小
1
（5）作图见解析延长BC交y轴于点Q，∵QB-QC≤BC 当B，C，Q三点共线时，取得最大值
【点睛】本题考查了平移作图，轴对称作图，写出点的坐标，轴对称的性质求最值，两点之间线段最短求
最值，掌握以上知识是解题的关键．
24．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，已知图中A点和B点的坐标分别为 和 ．
(1)请在图1中画出坐标轴建立适当的直角坐标系；(2)写出点C的坐标为______；(3)在y轴上有点D．满足
，则点D的坐标为______；(4)已知第一象限内有两点 ， ．平移线段MN
使点M、N分别落在两条坐标轴上．则点M平移后的对应点的坐标是______．
【答案】(1)答案见解析(2)（3，2）(3)（0，﹣6）或（0，10）(4)（0，3）或（﹣4，0）
【分析】（1）根据题意建立如图所示的平面直角坐标系即可；（2）根据建立的平面直角坐标系即可得到
结论；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论；（4）设平移后点M、N的对应点分别是M′、N′，分两
种情况进行讨论：①M′在y轴上，N′在x轴上；②M′在x轴上，N′在y轴上．
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系；（2）解：点C的坐标为（3，2）．故答案为：（3，2）；
（3）解：设D到BC的距离为h，∵S△DBC＝20，∴ ×5h＝20，解得：h＝8，
∴点D的坐标为（0，﹣6）或（0，10）．故答案为：（0，﹣6）或（0，10）；
（4）解：设平移后点M、N的对应点分别是M′、N′．
分两种情况：①M′在y轴上，N′在x轴上，则M′横坐标为0，N′纵坐标为0，
把线段MN向左平移（m﹣4）个单位长度，再向下平移（n﹣3）个得到线段M′N′，
∴点M平移后的对应点的坐标是（0，3）；
②M′在x轴上，N′在y轴上，则M′纵坐标为0，N′横坐标为0，
∵m﹣4﹣m＝﹣4，∴点M平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）．
综上可知，点M平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．
故答案为：（0，3）或（﹣4，0）．
【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规
律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
25．（2022·湖北武汉·七年级期末）平面直角坐标系中， ， ， ， 均为整数，且满足
，点 在 轴负半轴上且 ，将线段 平移到 ，其中点 的对应点是点
．(1)请直接写出点 ， ， 的坐标；(2)如图（1），若点 的坐标为 ，点 为线段 上一点，
且 的面积大于12，求 的取值范围；(3)如图（2），若 与 轴的交点 在 点上方，点 为 轴
上一动点，请直接写出 ， ， 之间的数量关系．
【答案】(1) ， ， (2)
(3)当点 在点 的下方时， ；当点 在 的上方、 的延长线与 轴的交点的
下方时， ；当点 在 的延长线与 轴的交点 上方时，
．
【分析】（1）由非负性可求 ， 的值，由三角形的面积公式可求点 坐标；
（2）由平移的性质可得 ， ， ，由面积关系可求 ， 的数量关系，即可求
解；（3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解．
（1）解： ， ， ， ，
， 均为整数， ， ， ， ， ， ，
， ， ，
点 在 轴负半轴上， 点 坐标为 ；
（2）解：如图，连接 ， ， ，将线段 平移到 ， ， ， ，
四边形 的面积 ， ，
，
， ，
， ， ；
∵ 为线段 上一点，∴ ∴
（3）解：如图，当点 在点 的下方时，延长 交 于 ，
将线段 平移到 ， ， ，
， ，
， ， ；
如图，当点 在 的上方、 的延长线与 轴的交点下方时，延长 交 于点 ，
将线段 平移到 ， ，
， ，
， ，
；如图，当点 在 的延长线与 轴的交点 上方时，，又 ， ，
由对顶角得 ， ， ，
，
综上所述：当点 在点 的下方时， ；当点 在在 、与 的延长线与 轴的
交点之间时， ；当点 在 的延长线与 轴的交点 上方时，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题
的关键．
26．（2022·北京海淀区·七年级期中）在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数
，我们称P（ka＋kc，kb＋kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1， ），
点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，
0）．
（1）点A和点B的 系和点的坐标为________（直接写出答案）；
（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接写出k的值；
（3）若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F，点H为线段BF上的动点，点P为点
A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0，在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部
（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，则k的取值范围为 ．
【答案】（1） ；（2）①m＝0；② 或 ；（3） ．
【分析】（1）根据点M和点N的k系和点的定义求解即可．
（2）①由题意得到D（2k+mk，2k），根据点D在在第一、三象限角平分线上，构建方程求解即可．②判
断出D的坐标，可得结论．（3）利用图象法以及不等式组解决问题即可．
【详解】解：（1）由题意： （1+2） ， （2+0）＝1，
∴点A和点B的 系和点的坐标为（ ，1）．故答案为：（ ，1）．
（2）①∵点D（x，y）为B（2，0）和C（m，2）的k系和点，∴x＝2k+mk，y＝2k．即D（2k+mk，
2k），
∵点D在第一、三象限角平分线上，∴2k+mk＝2k．∴mk＝0．∵k≠0，∴m＝0．
②如图1中，由题意，当D（3，3）或D′（﹣1，﹣1）时，满足条件．
∵C（0，2），B（2，0），∴k（0+2）＝3或k（0+2）＝﹣1，∴ 或 ．故答案为： 或 ；
（3）如图2中，由题意A（1，2），E（1，﹣2）．2≤m≤3，∴P（k+km，2k），Q（k+km，﹣2k）．
∵k＞0．在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整
点，观察图象可知： ， 解得 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，象限角平分线的坐标特点，新定义等知识，综合性较强，理解P
（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点的定义，图形与坐标等知识，并根据题意学会利用参数构建方
程或不等式解决问题是解题关键．
