文档内容
专题 24.5 点和圆的位置关系
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.............................................................................................................1
【知识点一】点和圆的位置关系.........................................................................................................1
【题型1】判断点和圆的位置关系.......................................................................................................1
【题型2】已知点和圆的位置关系求半径...........................................................................................3
【知识点二】圆的确定.........................................................................................................................5
【题型3】外接圆相关概念辨析..........................................................................................................5
【题型4】求三角形外心坐标..............................................................................................................7
【知识点三】三角形外心位置...........................................................................................................10
【题型5】三角形外心位置判断三角形形状.....................................................................................10
【题型6】判断三角形外接圆圆心位置.............................................................................................11
【知识点四】反证法...........................................................................................................................13
【题型7】反证法证明中的假设........................................................................................................13
【题型8】反证法证明命题................................................................................................................15
【题型9】举反例................................................................................................................................18
二. 同步练习.................................................................................................................................19
【基础巩固（16题）】......................................................................................................................19
【能力提升（16题）】......................................................................................................................29
一．知识梳理与题型分类精析
【知识点一】点和圆的位置关系
设 的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则有
点 在圆外 ；点 在圆上 ；点 在圆内 .
【题型1】判断点和圆的位置关系
【例题1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）设 的半径为2，点P到圆心的距离 ，
且m使关于x的方程 有两个不相等的实数根，试确定点P与 的位置关系．
【答案】点P在 内
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系两个知识点；先由一元二次方程根的判别式确定出m的范围，再与半径比较即可判断点与圆的位置关系．
解：∵m使关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
∵圆的半径为2，
∴点P在 内．
【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习） 中， ， ， ，
于D点，以C为圆心，2.5为半径作 ，则D点与圆的位置关系是（ ）
A．点D在 上 B．点D在 外 C．点D在 内 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理解三角形，以及点与圆的位置关系，解决本题的关键是求解出 的
长度．
比较点D到圆心C的距离 与圆的半径2.5的大小关系即可判断位置．
解：在 中，由勾股定理得：
，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，解得 ，
∵圆的半径为2.5，而 ，
∴点D到圆心C的距离小于半径，故点D在 内．
故选：C ．
【变式2】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）若以边长为1的正方形 的顶点A为圆心，以
为半径作 ，则点C在 （填“外”“上”或“内”） ．
【答案】上
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理.根据题意画出图形，由勾股定理求出 的长，进而可得出结论．
解：如图所示，
∵正方形 的边长为1，
∴ ，
∵圆A的半径为 ，
∴点C在 上．
故答案为：上．
【题型2】已知点和圆的位置关系求半径
【例题2】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是
1，则这个圆的半径是（ ）
A．6 B．2 C．2或3 D．4或6
【答案】C
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应
分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径 最小距离 最大距离；②当点在
圆外时，直径 最大距离 最小距离．
解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离 ，最大距离 ，
∴直径 ，
即半径为3；②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离 ，最大距离 ，
∴直径 ，
即半径为2．
故选：C．
【变式1】（23-24九年级上·广东广州·期末）如果 的直径为 ，且点 在 上，则
．
【答案】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点和圆的位置关系即可求解，解题的关键是正确理解：
点和圆心的距离为 半径为 ，点 在 外，则 ，点 在 上，则 ，点 在 内，
则 ．
解：如图：
∵点 在 上，
∴ 为半径，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2】（22-23九年级上·河北邯郸·期末）如图，某海域以点A为圆心、 为半径的圆形区域
为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离
是 ，如果渔船始终保持 的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进
入危险区域？
【答案】 到 之间，渔船是安全的； 渔船进入危险区域
【分析】先根据题意求出 的长度，再根据时间=路程÷速度可得答案．解：如图，
∵ ，
∴ ，
由 ，
知 到 之间，渔船是安全的； 渔船进入危险区域
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过
来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【知识点二】圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三
条边的垂直平分线的交点，这个交点叫做这个三角形的外心.
【题型3】外接圆相关概念辨析
【例题3】（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定 的外心的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行
求解即可．
解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点，∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图，
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（ ）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆
D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
【答案】C
【分析】本题考查圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆求解即可．
解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故说法正确；
B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确；
C、根据不在同一直线上的三个点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故说法错误；
D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确．
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，点O是 的外心， ，
，则 外接圆半径为 ．
【答案】4
【分析】此题考查了外心的性质，三角形的外接圆，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识
点．
连接 ， ，首先得到点O是 外接圆的圆心，得出 ， ，然后根
据勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接 ， ，∵点O是 的外心，
∴点O是 外接圆的圆心，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ 外接圆半径为4．
故答案为：4．
【题型4】求三角形外心坐标
【例题4】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 的坐
标分别为 ， ， ，则以 、 、 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必
过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
解：如图，作弦 、 的垂直平分线，∵点 、 、 的坐标分别为 ， ， ，
所以弦 ，弦 ，
∴弦 的垂直平分线与 轴相交于点 ，弦 的垂直平分线与 轴相交于点 ，
∴两条垂直平分线的交点 即为三角形外接圆的圆心，且 点的坐标是 ．
故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格
点A，B，C，其中点A的坐标为 、点B的坐标为 、点C的坐标为 ，那么该圆弧所在
的圆心坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交
点是解题的关键．
由网格容易得出 的垂直平分线和 的垂直平分线，它们的交点即为圆心．
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦 和 的垂直平分线，如图所示，它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心，
由图知， ，
该圆弧所在的圆心坐标为 ，
故答案为：
【变式2】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，
与y轴交于C点，则 的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记三角形的外心的概念、二次函数的性质是解题
的关键．
设 的外心P的坐标为 ，根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标特征分别求出 、
，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：∵抛物线 关于y轴对称，
∴ 的外心在y轴上，设 的外心P的坐标为 ，连接 ，则有 ，
对于二次函数 ，当 时， ，
当 时，
∴
∴ ，
则 ， ，
在 中， ，即
解得： ，
∴ 的外心P的坐标为 ，
故选：A．
【知识点三】三角形外心位置
三角形类型 外心位置 特点
锐角三角形 三角形内部 外心到三个顶点距离相等
直角三角形 斜边的中点 斜边中点到三个顶点的距离相等
钝角三角形 三角形外部 外心在钝角所对边的外侧，到三个顶点距离相等
【题型5】三角形外心位置判断三角形形状
【例题5】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这
个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键．
根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可．
解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三
角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可．
解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等，
如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于 ．
故选：C
【变式2】已知直角三角形的两条直角边长分别是3厘米，4厘米，则此直角三角形的重心与外心
之间的距离为 厘米．
【答案】
解：如图：设D为Rt△ABC的外心，G是重心，
∵直角三角形的两条直角边长分别是3 cm，4 cm，
∴由勾股定理可得斜边长AB=5cm，连接CD，
∴斜边AB的中线CD=2．5 cm，
∵D为Rt△ABC的外心，G是重心，
∴由重心的性质可得：GD= cm．
考点：1．重心的性质2．外心的性质3．勾股定理
【题型6】判断三角形外接圆圆心位置
【例题6】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过 ，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．根据图形作线段
的垂直平分线 ，与 的垂线平分线的交点 即为圆心，根据图形得出即可．
解：如图：
作线段 的垂直平分线 ，与 的垂线平分线交于点E，即为弧的圆心，
故选：B．
【变式1】（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为 的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，
点O是 的 ．
【答案】外心【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出
．根据勾股定理得出 ，进而得到答案．
解：由图中信息可得： ，
∴点O在 的外心上，
故答案为：外心．
【变式2】（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图， 的网格图中，每个方格的边长为1，经过
三点圆弧所在圆 的半径的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段
，线段 的垂直平分线交于格点 ，再利用勾股定理可得答案.
解：如图，由网格特点可得：线段 ，线段 的垂直平分线交于格点 ，
∴ 为圆心，
∴半径 ，
故答案为：
【知识点四】反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命
题成立．这种方法叫做反证法．
【题型7】反证法证明中的假设【例题7】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大
于 ”成立时，我们利用反证法，先假设（ ），则可推出三个内角之和大于 ，这与三角形
内角和定理相矛盾．
A．一个三角形中没有一个内角不大于
B．一个三角形中至多有两个内角不大于
C．一个三角形中至多有三个内角不大于
D．一个三角形中至少有两个内角不大于
【答案】A
【分析】反证法的思路是先提出与命题的结论相反的假设，然后通过推理得出矛盾．对于“一个三
角形中至少有一个内角不大于 ”，其反面就是假设不存在这样的内角，即所有内角都大于 ，
再据此分析选项．本题主要考查反证法的应用，熟练掌握“反证法需先提出与命题结论相反的假设，
明确命题结论的否定形式”是解题的关键．
解：“一个三角形中至少有一个内角不大于 ”的否定是“一个三角形中没有一个内角不大于
”，也就是三个内角都大于 ．
选项B“一个三角形中至多有两个内角不大于 ”，不是原命题结论的否定，不符合反证法假设要
求；
选项C“一个三角形中至多有三个内角不大于 ”，不是原命题结论的否定，不符合反证法假设要
求；
选项D“一个三角形中至少有两个内角不大于 ”，不是原命题结论的否定，不符合反证法假设要
求；
选项A“一个三角形中没有一个内角不大于 ”，是原命题结论的否定，符合反证法的假设．
故选：A ．
【变式1】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知 ，求证：
．”第一步应先假设 ．
【答案】
【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成
立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键．
解：第一步应先假设 ，
故答案为： ．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求
证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假
设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法．如图1，已知： 与 是直线 ， 被直线 所截得到的一对内错角， ，直线 ，
分别与直线 相交于点 ， ．求证： ．
证明：假设 ，过点N画一条直线 ，使得 ，
如图2所示，根据 ，可得 ，
又因为 ，这样直线 、 都过点N，这与 矛盾．
说明假设不成立，所以 ．
【答案】 内错角相等，两直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与已
知直线平行
【分析】本题考查的是反证法，利用反证法的一般步骤解答即可．
解：证明：假设 ，
过点N画一条直线 ，使得 ，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得
，
又因为 ，这样直线 、 都过点N，
这与过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾．
说明假设不成立，所以 ，
故答案为： ；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平
行， ．
【题型8】反证法证明命题
【例题8】（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
【答案】见分析
【分析】假设 不大于 ，即 或 ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性
质分别证明假设不成立，由此得出原命题成立．
本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键．解：如图，已知：在 中， ．求证： ．
证明：假设 不大于 ，即 或 ．
当 时， ，这与已知条件 相矛盾；
当 时，如图，在 边上截取 ，
则 ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
这与已知条件 相矛盾；
上述无论哪种情况，都与已知 矛盾，所以假设不成立．
∴ ，
即在三角形中，大角对大边．
【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于 ．
已知：如图， 是 的三个内角．求证： 中至少有一个角小于或等
于 ．
证明：假设①___________，
所以，②_____________．
这与“③___________”矛盾．
所以，假设不成立， 中至少有一个角小于或等于 ．
【答案】三角形中所有角都大于 ； ；三角形的内角和为
【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于 ，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立．
解：证明：假设 三角形中所有角都大于 ，
所以， ① ．
这与“②三角形的内角和为 ”矛盾．
所以，③假设不成立， 中至少有一个角小于或等于
故答案为：三角形中所有角都大于 ； ；三角形的内角和为
【变式2】（2025·上海闵行·二模）如图，在等边三角形 中， 、 分别在 、 上，连接
、 交于 ，连接 交 于点 ．有下列两个命题：
①如果 ，那么 为 中点；
②如果 ，那么 ．
对于这两个命题判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题．
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明
，得到 ，再证明 ，得到 ，进而得到
垂直平分 ，判断①，反证法判断②．
解：解析：① 三角形 为等边三角形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
，∵ ， ，
，
，
为 中垂线上的点，
∵ ，
∴ 为 中垂线上的点，
∴ 垂直平分 ，
为 中点；
所以①为真命题；
假设 与 不平行，作 ， 与 交于点 ，作 ，则： ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，即： ，与 矛盾，
∴假设不成立，
∴ ；故②为真命题．
故选A．
【题型9】举反例
【例题9】（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）对于命题“如果 ，那么 、 都大
于 ”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据题意，举一个例子，满足一个大于 ，一个不大于 ，且两个角的和大于 即可．
本题考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键．解：根据题意，符合题意的是 ， ，其余都不满足，
故选：C．
【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知命题：“三角形三条高线的交点一定在三角形的
内部．”琪琪想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形
【答案】B
【分析】本题考查了举反例证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角
形的外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
解： 、锐角三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求；
、钝角三角形三条高线的交点在三角形外部，符合反例要求；
、等边三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求；
、任意三角形三条高线的交点为可能为直角顶点或在三角形外部或在三角形的内部，不符合反例
要求；
故选： ．
【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期末）写出一个能说明命题“有两个角是锐角的三角形是锐
角三角形，”是假命题的反例： ．
【答案】 中 ， ， ，则 是钝角三角形．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了举例说明命题为假命题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和三角形
形状．
解：若 中 ， ， ，则 中有两个锐角，但 是钝角三角
形．
故答案为： 中 ， ， ，则 是钝角三角形．（答案不唯一）
二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知 的半径为3，点 在 外，则 的长可以是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，
点到圆心的距离大于圆的半径即可解答．
解：∵ 的半径为3，点P在 外，
∴ ，
∴ 的长可能是4．
故选：D．
2．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段 ，且 ，则经过 两点且半径为3的圆
有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那
么作线段 的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段 的垂直平分线的交点个数
即为圆的个数，据此作图求解即可．
解：作线段 的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，
∵ ，
∴该弧与线段 的垂直平分线有两个交点，
∴经过 两点且半径为3的圆有2个，
故选：C．
3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外
心就是斜边中点是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可
解答．
解：∵ ，
∴该三角形为直角三角形，
∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为10，
∴此三角形的外接圆半径是5．
故选：C
4．（2016·贵州毕节·中考真题）三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的
垂直平分线的交点．
解： 三角形的外心就是三角形外接圆圆心，
角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选： C．
5．（24-25九年级上·河南许昌·期末）熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜
子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图
所示，测量出弦 的长就可以得到镜子的直径．经测量弦 的长为 ，则该镜子的直径为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接 ，根据圆周角定理
得出 ，继而得出 是等边三角形，即可求解．
解：如图，设圆心为O，连接 ，，
，
是等边三角形
，
该镜子的直径为8cm，
故选: Ｃ．
6．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”
时，假设正确的是（ ）
A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角
C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角
【答案】D
【分析】本题主要考查了反证法，掌握原命题的否定与原命题的关系是解题的关键．“至少有两
个”的反面为“至多有一个”，据此即可解答．
解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定．
∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角．
故选：D．
二、填空题
7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，
则该圆的半径是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距离是10，
最小距离是6，得出直径为 ，即可求出该圆的半径，
解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，
∴ ，
故答案为：2．
8．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图， 外接圆的圆心坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形
的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点．利用网格，作线段 线段 的垂直平分线相交
于D，再根据图形写出点D的坐标即可．
解：作线段 、线段 的垂直平分线相交于点D，如图，
由图可得点D的坐标为： ，
故答案为： ．
9．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，点 是 的外心，连接 、 ，若
，则 的度数为 ．
【答案】 /140度
【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可．
解： 点 是 的外心是等腰三角形
故答案为：
【点拨】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三
角形外心的性质解题的关键．
10．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点 ， ，
， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
判断三个点在不在一条直线上即可．
解：∵ ， ， ，在 这条直线上，，
∴三个点 ， ， 不能确定一个圆．
故答案为：不能．
11．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式 的
值总是正数”是假命题，你举的反例是 （写出一个x的值即可）．
【答案】0
【分析】本题考查的是举反例及代数式的值问题，掌握代数式的求值方法是解题关键．把 代
入即可得出答案．
解：当 时， ，
∴“对于任意实数x，代数式 的值总是正数”是假命题，
故答案为：0
12．（2025九年级·全国·专题练习）如图， 是等边三角形 的外接圆．若 ，则 的
半径是 ．【答案】
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和特殊角的三角
函数值解题是关键．
连接 、 ，过点 作 ，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质
和三角形内角和为 得到 ，再利用垂径定理和 的余弦值即可求出 的半径．
解：连接 、 ，过点 作 ，
∵ 是等边三角形 的外接圆，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
三、解答题
13．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）用反证法证明：等腰三角形的底角小于 ．
【答案】见详解【分析】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意
考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定．
假设等腰三角形的底角大于或等于 ，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原
结论成立．
解：证明：假设等腰三角形的底角大于或等于 ，
∵等腰三角形的两个底角相等，
则两个底角的和大于或等于 ，则该三角形的三个内角的和一定大于 ，
∵这与三角形的内角和定理相矛盾，
故假设不成立．
即等腰三角形的底角小于 ．
14．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在 中， ．先作 的平
分线交 边于点P，再以点P为圆心， 长为半径作 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不
写作法）
【答案】见分析
【分析】本题考查尺规作图（角平分线的作法、圆的作法），解题的关键是熟练掌握角平分线和圆
的尺规作图方法．
先作出 的平分线，确定点 ，再以 为圆心、 为半径作圆．
解：如图所示，⊙P为所求的圆；
15．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，
B，C（小正方形的边长均为1）．
（1）直接写出圆弧所在 的圆心坐标：__________；
（2） 的半径为__________；
（3）若点 ，则点 在 __________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”）【答案】（1） ；（2） ；（3）圆内
【分析】本题考查了图形与坐标综合，勾股定理，点与圆的位置关系等知识点，解题关键是掌握上
述知识点并能熟练运用求解．
（1）作出 ， 的垂直平分线的交点即可求解；
（2）利用勾股定理求解；
（3）求出 、 两点的距离与半径比较即可得到结论．
解：（1）解：如图，作出 ， 的垂直平分线的交点为 ， ，
故答案为： ；
（2）如图，连接 ， 即为半径，
，
故答案为： ；
（3）∵ ， ，
，∴点 在 内．
16．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中有 个点： ， ，
， ， ．
（1）画出 的外接圆 ，则点 的坐标为_________；
（2）点 与 的位置关系为：点 在 ________；点 与 的位置关系为：点 在
__________；
（3）若在 轴上有一点 ，满足 ，请直接写出点 的坐标为________．
【答案】（1） ；（2）外，内；（3）
【分析】本题考查了外接圆，圆周角定理，垂直平分线的性质，点与圆的位置关系：
（1）先在平面直角坐标系上标出 ， ， ，再作出线段 的垂直平分线，
它们的交点，即为点P，即可作答．
（2）先在平面直角坐标系上标出 ， ，观察 与点D和点E的位置，即可作答．
（3）根据同弧所对的圆周角是相等的，取 与 轴的交点，即为Q，再连接 ，即可作答．
解：（1）解：如图所示：（2）解：如图：
点 与 的位置关系为：点 在 外；点 与 的位置关系为：点 在 内；
（3）解：如图：
∵在 轴上有一点 ，满足 ，
∴图中 即为所求，
且
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知 内接于 ，若 ， ，则 的半
径为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练
掌握圆周角定理、垂径定理、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；连接 ，
过点O作 于点D，由题意易得 ，然后可得 ，
，进而根据勾股定理可进行求解．
解：如图，连接 ，过点O作 于点D，
∵ ，
∴优弧 所对的圆心角为 ，
∴劣弧 所对的圆心角为 ，即 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 中，弦 的长为8，点 在 上，
， 所在的平面内有一点 ，若 ，则点 与 的位置关系是
（ ）
A．点 在 上 B．点 在 内C．点 在 外 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，判断点与圆的位置关系，圆周角定理得到 ，
垂径定理求出 的长，比较 的大小关系，即可得出结论．
解：设 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 在 内；
故选B．
3．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在 中， ， ， ，
则它的外心与顶点 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾
股定理易求得斜边 的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
解：∵ 中， ， ， ，
，斜边上的中线长 ，
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长 .
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆
心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．
4．（24-25八年级下·四川达州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．等腰三角形两底角的平分线相等
C．“对顶角相等”的逆命题是真命题
D．用反证法证明“ ”时应假设“ ”
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形，等腰三角形，逆命题，反证法．熟练掌握这些性质和方法，是解
题的关键．
根据轴对称图形性质，等腰三角形性质，逆命题构造，反证法的开始步骤，逐一分析各选项的正确
性，即得．
解：A：平行四边形不一定是轴对称图形．
轴对称图形需存在一条直线使其对折后重合，而普通平行四边形无此性质（如矩形、菱形为特殊平
行四边形，具有对称轴，但题目未限定）．
故A错误．
B：等腰三角形两底角的平分线相等．
等腰三角形两底角相等，作底角的平分线后，平分后的角仍相等．
可构造全等三角形证明：设等腰 中 ，作底角 和 的平分线 ．
由 可证 ，故 ．
因此B正确．
C：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”．
存在相等的角不是对顶角（如同位角、等腰三角形底角），故逆命题不成立．C错误．
D：反证法假设错误．
反证法需假设原命题结论的反面．
“ ”的否定应为“ ”，而非“ ”．
故D错误．
故选：B．
5．（24-25九年级上·福建福州·期中）“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔
方”．小洁同学用一个边长为 的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图
形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，
垂直平分 交 于点 ， 为圆心，连接 ，先求得 ， ，利用垂径定理求得
的长，在 中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形．
解：如图， 垂直平分 交 于点 ， 为圆心，连接 ，
∵将边长为 的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，∴ ， ，
∴ ，
设该圆的半径长是 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
∴该圆的半径长是 ，
故选：C．
6．（2025·山东泰安·一模）如图，菱形 的边长为4， ， 为 边上的中点，P为直
线 上方 左侧的一个动点，且满足 ，则线段 长度的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确
找出点 的运动轨迹是解题关键．连接 ，先证出 是等边三角形，根据等边三角形的性质
可得 ，则可得 ，再根据圆周角定理可得点 的运动轨迹是以 为直径的一段
圆弧，取 的中点 ，连接 ，并延长交 于点 ，则线段 长度的最大值是 ，然后利
用勾股定理求出 ， ，由此即可得．
解：如图，连接 ，
∵菱形 的边长为4， ， 为 边上的中点，∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的运动轨迹是以 为直径的一段圆弧，
如图，取 的中点 ，连接 ，并延长交 于点 ，则线段 长度的最大值是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即线段 长度的最大值是 ，
故选：C．
二、填空题
7．（2024·上海闵行·三模）若点P到 上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那
么 的半径为 ．
【答案】 或者
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在 外和 内两种情况讨论，当点P在 外
时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在 内时，最大距离与最小距离之和等于直径，
即可得．
解：点P在 外时，
外一点 到 上所有的点的距离中，最大距离是 ，最小距离是 ，
的半径长等于 ；
点P在 内时，
内一点 到 上所有的点的距离中，最大距离是 ，最小距离是 ，的半径长等于 ，
故答案为： 或者 ．
8．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图， 内接于 ， ，直径 交 于点 ，
若 ，则 °．
【答案】75
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
也考查了圆周角定理．连接 ，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出
，再根据圆周角定理得到 ， ，接着利用互余计算出
，然后利用三角形外角性质计算 的度数．
解：连接 ，如图，
，
，
，
为直径，
，
，
．
故答案为：75
9．（2025·黑龙江佳木斯·一模）在 中， ， ， ．以 为斜边作等
腰直角三角形 ，连接 ，则 的长为 ．
【答案】 或【分析】如图，由 ， 都为等腰直角三角形，证明四边形 是正方形，连接 ，
交 于 ，连接 ，过 作 于 ，过 作 于 ，证明 在以 为
圆心， 为半径的圆上；四边形 为正方形，证明 ，可得
，求解 ，再进一步 ，
，可得 ，从而可得答案；
解：如图，∵ ， 都为等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴四边形 是正方形，
连接 ，交 于 ，连接 ，过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上；
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
综上： 的长为 或 ；
故答案为： 或 .
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
圆周角定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键.
10．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，则
的外心坐标为
【答案】 ．
【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的
交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作 和 的垂直平分线，交点为所
求．
解：作 和 的垂直平分线，交点为所求，
所以 的外心坐标为 ，
故答案为： ．11．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）方程 的两个根是直角三角形的两直角边的
边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，掌握直角三角形外接圆
半径的求法是解题的关键．
先解一元二次方程求出直角三角形的两边长，然后分两种情况求出斜边，最后利用直角三角形外接
圆半径是斜边的一半求出答案即可．
解：∵ ，
∴ ，
则 或 ，
解得 ．
∵方程 的两个根分别是直角三角形的两直角边的边长，
∴斜边长为 ，
∴这个直角三角形的外接圆半径为 ，
故答案为： ．
12．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，等边三角形 中，D是边 上一点，过点C
作 的垂线段，垂足为点E，连接 ，若 ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】本题主要考查平面几何中的最值问题，将 转换成圆的直径是解题的关键．
由 可知，点 在以 为直径的圆上，故以 为直径作 ，连接 交 于E，则
E为所求，由此即可求出最值．
解： 于点E，D为 边上动点，
点E的轨迹为以 的中点O为圆心， 为半径的圆，
当点B，O，E共线时， 最小，
∵等边三角形 ， ，
∴ ，
∴ ，
．
故答案为： ．
三、解答题
13．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知等腰三角形 ，如图．
（1）用直尺和圆规作 的外接圆；
（2）设 的外接圆的圆心为 ，若 ， ，则 的外接圆的半径为
．【答案】（1）图见详解；（2）2
【分析】（1）本题考查了尺规作图及外接圆性质，根据外接圆到各个顶点的距离相等作出 、
的垂直平分线，找到交点即为外接圆圆心，再画圆即可得到答案；
（2）本题考查圆周角定理及圆内接四边形对角互补，根据 ，求出 ，再根据垂
径定理求出 即可得到答案；
解：（1）解：作 、 的垂直平分线交点即为外接圆圆心，如图所示，
；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵等腰三角形 的外接圆的圆心为 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ．
14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示， ， 是 的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
【答案】见分析
【分析】本题考查圆的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．求证 ， ， ， 四点在同一个
圆上， 是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明 到 得中
点的距离等于 的一半就可以．
解：证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．
， 是 的高，
， 分别为 和 斜边上的中线，
．
， ， ， 四点在以 点为圆心， 为半径的圆上．
15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在 中， ，点 ， ， 分别在
， ， 上，且 ， ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）用反证法证明 不可能是直角三角形．
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角
形内角和定理等知识，证明 ≌ 是解题的关键．（1）根据 ，可知 ，再利用 证明 ≌ ，得 ，即可证
明结论；
（2）假设 是等腰直角三角形，则 ，由 知 ≌ ，则
，可可得到 ，则假设不成立．
解：（1）证明： ，
，
又 ，
，
在 与 中，
，
≌ ，
，
是等腰三角形；
（2）解：假设 是等腰直角三角形，
则 ，
，
由（1）可知： ≌ ，
∴ ，
，
，
，
不可能是等腰直角三角形．
16．（2020·广东潮州·一模）如图，抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，
是第一象限的抛物线下方一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 ，则 外接圆圆心坐标为__________；
（3）当 ，求 的最小值．【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，直角三角形外接圆圆心以及圆的性质，构造辅助圆是
解答本题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据直角三角形外接圆圆心是斜边中点可得结论；
（3）以 为弦，构造 ，设I为圆心，连接 交 于点P，过I作 轴于点
E， 轴于点F，如图，得出 为等腰直角三角形，证明四边形 为正方形，求得
，由勾股定理得出 ，从而可得出 的最小值．
解：（1）解：设抛物线的解析式为 ，
把点 ， ， 代入解析式得： ，
解得： ，
所以解析式为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 外接圆圆心是 的中点，即 ，如图，故答案为： ；
（3）解：以 为弦，构造 ，设I为圆心，连接 交 于点P，过I作 轴
于点E， 轴于点F，如图，
，
，
为等腰直角三角形
轴， 轴，
四边形 为正方形，
，
， ，
在 中，
由勾股定理得： ，
CP的最小值为： ．
