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专题 4.4 对数函数
1 对数函数
(1)对数函数的概念
函数y=log x(a>0 , a ≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞).
a
解释
函数y=log x中系数为1，底数是不为1正实数的常数，真数为变量x.
a
(2)图像与性质
a>1 0<a<1
图像
定义域 (0 , +∞)
值域 R
过定点 (1 , 0)
奇偶性 非奇非偶
单调性 在(0 , +∞)上是增函数 在(0 , +∞)上是减函数
在第一象限内，α越大图象越靠低；
变化对图像
的影响 在第四象限内，α越大图象越靠高．
可与指数函数就函数的定义域、值域、单调性等函数性质进行比较学习.
3 对数型函数模型
形如y=k·log x(k 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸.𝐸𝐸𝐸𝐸4 R，且k≠0；a>0，且
a
a≠1)的函数称为对数型函数．
4 反函数
指数函数 且 与对数函数 互为反函数.
y=ax (a>0, a≠1) y=log x(a>0 , a ≠1)
a
它们的图象关于直线y=x对称，定义域与值域相反.
比如 y=2x与y=log x互为反函数.
2一、单选题
1．函数 的单调递减区间是
A． B． C． D．
2．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
4．已知图中曲线 分别是函数 ， ， ，
的图像，则 的大小关系是（ ）A． B．
C． D．
5．已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的大致图像可以为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
8．已知函数 是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递减.若实数 满足，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ， ，对于任意 ，存在
有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–
26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
11．函数 是定义在R上的偶函数，且在 单调递增，若 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数 ，若不等式 恒成立，则实数a的
取值范围为（ ）A． B． C． D．
13．已知函数 若 存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．定义在R上的偶函数 满足对任意 ，有 ，且当
时， ，若函数 在 上至少有3个零
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
15．已知函数 ，（ ）
A．该函数的定义域
B．当 时，该函数的单增区间是
C．当 时，该函数的单增区间是
D．该函数的值域为R
16．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数 单调递增区间为
C．当 时，方程 有三个不等实根D．当且仅当 时，方程 有两个不等实根
17．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
B．若函数 的值域为 ，则实数
C．若函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围是
D．若 ，则不等式 的解集为
18．已知函数 ，则下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
A．在 上单调递减 B． 上单调递减
C． 的图象关于直线 对称 D． 的值域为
19．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白
两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐
美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，
则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．对于圆O，其“太极函数”有1个
B．函数 是圆O的一个“太极函数”
C．函数 不是圆O的“太极函数”D．函数 是圆O的一个“太极函数”
三、填空题
20．函数 ( 且 )的图象恒过定点_________
21．函数 的定义域是__________．
23．设函数 ，则 的单调递增区间为_________．
24．若不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围为____.
25．已知 为奇函数， ，若对 ､ ，
恒成立，则b的取值范围为___________.
四、解答题
26．已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性，并进行证明；
(2)若实数 满足 ，求实数 的取值范围.
27．已知函数 ．
(1)求函数f（x）的值域；
(2)若 ，且 ，求实数m的取值范围．
28．已知函数 是 上的偶函数，且当 时， .
(1)求 的值；
(2)求函数 的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；(3)若 ，求实数 的取值范围.
29．已知函数 的图象关于原点对称，其中 为常数．
(1)求 的值；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
30．已知函数
(1)若m＝1，求函数f（x）的定义域;
(2)若函数f（x）在区间 上是增函数，求实数m的取值范围．
31．已知函数 ），当点M（x，y）在函数g（x）的图象上运动
时，对应的点 在f（x）的图象上运动，则称g（x）是f（x）的相关函数．
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若对任意的 ，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；
(3)设函数 ， ，当 时，求|F（x）|的最大值．
