文档内容
威远中学 2024 级高一上学期 12 月月考
数 学
2024.12.07
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共 58 分)
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 是 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
3．下列不等式中成立的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 且 ，则
4．已知幂函数 的图象过点 ，下列说法中正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 的定义域是
C． 的值域是 D． 在定义域上单调递减
5．设偶函数 在区间 上单调递增，则（ ）
A． B．C． D．
6．若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．函数 满足对 且 ，都有 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ， ，且 ，则（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）．
9．下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10.如果函数 在区间 上单调递减，且函数 在区间 上单调递增，那么称
是区间 上“可变函数”，区间 叫做 的“可变区间”.已知函数 则下列区间
为 的可变区间的是（ ）
A． B． C． D．
11.对任意实数 ，定义 为不大于 的最大整数，如 ， ， .设函数，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． ，
C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递减
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分,满分15分）．
12.若函数 是偶函数，则实数 .
13．已知函数 ,用 表示 中的较小者，记为
，则函数 的最大值为 .
14．已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是 .
四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
15．（本小题13分）化简求值（本小题需要写出计算过程）.
（1）求值： ；
（2）已知 ，求值： .
16.（本小题15分）设全集 ,集合 .
（1）若 时，求 ;
（2）若 ,求实数 的取值范围.17.（本小题15分）已知函数 .
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求 的值；
（2）当 时，
（i）若函数 在 上为单调递增函数，求实数 的取值范围；
（ii）解关于 的不等式 .
18．（本小题17分）已知函数 是定义域为 的奇函数.
（1）求 的解析式；
（2）判断 的单调性，并利用定义证明；
（3）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
19.（本小题17分）对于定义在 上的函数 ，若其在区间 上存在最小值 和最大值 ，且满足 ，则称 是区间 上的“聚集函数”.
现给定函数
（1）当 时，求函数 在 上的最大值和最小值，并判断 是否为“聚集函数”；
（2）若函数 是 上的“聚集函数”,求实数 的取值范围；
（3）已知 ，若函数 是 上的“聚集函数”，求 的最大值.威远中学校 2024-2025 学年高一上学期第二次月考
数学参考答案
一、单选题(每小题5分，共40分)
1～5:BABDB 6～8:BDD
二、多选题(每小题6分，共18分,部分选对的得3分)
9:BC 10:AC 11:BD
三、填空题
12．4 13．-4 14．
四、解答题
15．（满分13分）
解：（1）
2分
4分
6分
（2） ，
9分
11分
13分
16．(满分15分）
解：（1）因为 ，所以 ，又 ， 2分
所以 ； 4分因为 ， 5分
所以 . 7分
（2）因为 ，所以 9分
若 ，即 ，可得 11分
若 ，则 无解； 13分
综上， 的取值范围是 15分
17．（满分15分）
解：（1）依题意，关于 的方程 的两个根为1和2， 1分
于是得 ， 3分
解得 ， 4 分 所以 . 5分
（2）当 时， ，
（i）函数 的对称轴为 ，因函数 在 上为单调递增函数，则 ，解得
， 7分
所以实数 的取值范围是 ； 8分
（ii）不等式为 ，即 ， 10分
当 时，解得 或 ， 11分
当 时，解得 ， 12分
当 时，解得 或 ， 13分
综上可知，当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，当 时，不等式的解集为 . 15分
18．（满分17分）
解：（1）因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，所以 2分
又 ，所以 ， 3分
所以 4分
因为 ，所以 是奇函数，符合题意 5分
（2）由（1）知 .
任取 ，设 ， 6分
8分
因为 是增函数，所以 ，所以 ，从而 ， 10分
所以 在 上单调递减. 11分
（3）因为 为奇函数，且 恒成立，
即 恒成立， 13分
所以 恒成立，即 恒成立， 14分
所以 ，解得 . 16分
所以 的取值范围为 17分
19．（满分17分）解：（1）根据题意： ，则 ，
因为 ，则当 时， ， 2分
当 时， ，且 ， 3分
即函数 为 上的“聚集函数”. 4分
（2） 5分
①若 ，则 ， ，
根据题意： ，无解； 6分
②若 ，则 ， ，
根据题意： ，解得： ； 7分
③若 ，则 ， ，
根据题意： ，解得： ； 8分
④若 ，则 ， ，
根据题意： ，解得：无解； 9分
综上：实数 的取值范围为： . 10分
（3）
因为 ，则 ， 11分
①若 ，则由图象可得： ，
，设 ，即求 的最大值.， 12分
因为 ，则， ，代入上式，得 ，则 . 13分
②若 ，则由图象可得： ，
，设 ，即求 的最大值. 14分
，
因为 ，则， ，代入上式，得 ，则 . 15分
综上： 的最大值为 ，当且仅当 时取等号， 16分
即 或 时取等号.
因此 的最大值为 . 17分
