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第三章 函数的概念与性质
总分：120分时间：120分钟
一、单选题（总分48分，每题4分)
1．若函数y= 的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过( )
A．(1，6) B．(–1，6)
C．(2，–3) D．(3，–2)
【答案】A
【解析】将 代入函数解析式得 ，故 ，也即 ，经验证知A选项正确，故选
A.
2．对于集合 ， ，由下列图形给出的对应中，不能构成从 到 的函数有（
）个
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】第一个图形中， 有剩余元素，所以不能构成从 到 的函数
第二个图形中，存在 对应两个不同的 ，所以不能构成从 到 的函数
第三个图形中，在 时，对应两个不同的 ，所以不能构成从 到 的函数
第四个图形中，每个 都有唯一确定的 与之对应，所以可以构成从 到 的函数
综上所述，共有 个图形不能构成从 到 的函数本题正确选项：
3．设函数 若 ，则实数 （ ）
A．-4或2 B．-4或-2 C．-2或4 D．-2或2
【答案】A
【解析】分类讨论：
当 时，有 ；
当 时，有 或 (舍去)；
综上可得，实数 -4或2 .
本题选择A选项.
4．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 的定义域为 ，即 ， ，
所以，函数 的定义域为 ，故选：C.
5．函数 的值域为
A． B．R
C． D．
【答案】B
【解析】解：函数 在定义域 上是单调增函数，且满足 ，的值域为R．
故选：B．
6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于( )
A．11 B．2 C．5 D．－1
【答案】B
【解析】令2x＋1=1，解得：x=0∴f(1)=3×0+2=2故选：B
7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来
时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s，s 分别表示乌龟
1 2
和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 的始终是匀速增长，开始时， 的增长比较快，但中间有一段时间 停止增长，
在最后一段时间里， 的增长又较快，但 的值没有超过 的值，
结合所给的图象可知，B选项适合，故选B．
8．已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是( )
A.0<α<1 B.α<0
C.α<1 D.α>1
【答案】C
【解析】由幂函数的图象特征知α<1.
9．下列函数中，在区间 上是增函数且是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】A. 是偶函数,并且在区间 时增函数，满足条件；
B. 不是偶函数,并且在 上是减函数，不满足条件；
C. 是奇函数,并且在区间 上时减函数，不满足条件；
D. 是偶函数，在区间 上是减函数，不满足条件；
故选A.
10．下列哪一组函数相等（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】 选项： 定义域为 ； 定义域为： 两函数不相等
选项： 定义域为 ； 定义域为： 两函数不相等
选项： 定义域为 ； 定义域为： 两函数不相等
选项： 与 定义域均为 ，且 两函数相等
本题正确选项：
11．函数 的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．a>1 B．0<a<1 C．a<0 D．a<1
【答案】A
【解析】解：因为函数 的定义域为R，所以 的解为R，
即函数 的图像与x轴没有交点，
，当 时，函数 与x轴有交点，故不成立；
，当 时，要使函数 的图像与x轴没有交点，
则 ，解得 ，故本题选A。
12．已知函数 的图象关于直线 对称，当 时， 恒成立，
则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， 恒成立，
所以 恒成立，即函数 在 上单调递增，
又因为函数 的图象关于直线 对称，所以 在 上单调递减，
若要满足 ，即 ，解得 ，
故选A．
二、填空题（总分16分，每题4分)
13．集合A={x|x≤5且x≠1}用区间表示____________．
【答案】
【解析】因为集合A={x|x≤5且x≠1}，表示从负无穷到5（包括5）去掉1，所以用区间表示为
.14．已知函数f（x），g（x），分别由下表给出
x 1 2 3
f（x） 2 1 1
x 1 2 3
g（x） 3 2 1
则g（1）的值为______；当g[f（x）]=2时，x=______．
【答案】3 1
【解析】从以上表格可知，当x=1时，g（1）=3
从表中可知，g[2]=2因而f（x）=2
从表可知，当x=1时，f（1）=2
所以x的值为1
15．已知函数 满足 ，则函数 的解析式为__________．
【答案】
【解析】 ①中将x换成 ，
得f（ ）+2f（x） ②，
由①②联立消去f（ ）得f（x） ，
故答案为：f（x） ．
16．定义在 上的奇函数 若函数 在 上为增函数，且 则不等式的解集为_____．
【答案】
【解析】由题意得到 与 异号，故不等式 可转化为 或 ，根据题意可
作函数图象，如图所示：
由图象可得：当 时， ；当 时， ，
则不等式 的解集是 ．
三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.)
17．根据已知条件，求函数的解析式．
（1）已知 为一次函数，且 ，求 的解析式．
（2）下图为二次函数 的图像，求该函数的解析式．
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】（ ）∵ 为一次函数，∴设 ，∴ ，∴ ，∴ 或 ，
∴ 或 ．
（ ）如图所示，二次函数过 ， ， 三点，
∴代入得 ，解得 ， ∴ ．
18．设 ．
（1）在图的直角坐标系中画出f（x）的图象；
（2）若f（t）=2，求t值；
（3）求函数f（x）的最小值．
【答案】（1）见解析； （2）t=-2或t= ，或t=2； （3）-1.
【解析】（1）f（x）的图象如右边：（2）当t≤-1时，f（t）=-t=2，∴t=-2；
当-1＜t＜2时，f（t）=t2-1=2，解得：t= ；
当t≥2时，f（t）=t=2，∴t=2，
综上所述：t=-2或t= ，或t=2．
（3）由图可知：当x∈（-1，2）时，f（x）=x2-1≥-1，
所以函数f（x）的最小值为-1．
19．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 现已画出函数 在 轴左侧
的图象，如图所示．
(1)画出函数 在 轴右侧的图象，并写出函数 在 上的单调递增区间；
(2)求函数 在 上的解析式．
【答案】（1） 和 ；（2） .
【解析】(1)图象如下：函数 的单调增区间为 和 ；
（2）设 ，则 ；
函数 是定义在R上的偶函数，且当 时， ；
；
．
20．已知函数 .
（1）求函数的定义域；
（2）试判断函数在 上的单调性，并给予证明；
（3）试判断函数在 的最大值和最小值.
【答案】(1) ；(2)函数 在 上是增函数，证明见解析；(3)最大值是 ，
最小值是 .
【解析】（1）∵函数 ， ；∴ .∴函数的定义域是 ；
（2）∵ ，
∴函数 在 上是增函数，
证明：任取 ， ，且 ，
则
∵ ，
∴ ， ，
∴
即 ，
∴ 在 上是增函数.
（3）∵ 在 上是增函数，
∴ 在 上单调递增，
它的最大值是
最小值是 .21． 是定义在R上的函数，对 ∈R都有 ，且当 ＞0时， ＜0，且
＝1.
(1)求 的值；
(2)求证： 为奇函数；
(3)求 在[－2,4]上的最值．
【答案】(1) f(－2)＝2 (2)奇函数（3）f(x) ＝2， f(x) ＝－4.
max min
【解析】(1)f(x)的定义域为R，
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0，
∵f(－1)＝1，
∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝2，
(2)令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)设x>x，
2 1
f(x)－f(x)＝f(x)＋f(－x)＝f(x－x)
2 1 2 1 2 1
∵x－x>0，∴f(x－x)<0，
2 1 2 1
∴f(x)－f(x)<0，
2 1
即f(x)<f(x)，
2 1
∴f(x)在R上为减函数．
∴f(2)＝－f(－2)＝－2，
∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－4，
∵f(x)在[－2,4]上为减函数，
∴f(x) ＝f(－2)＝2，
max
f(x) ＝f(4)＝－4.
min
22．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间 (单位：天)的函数，且销售量满足 = ，价格满足 = ．
(1)求该种商品的日销售额 与时间的函数关系；
(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想
程度?
【答案】（1） = ，
（2）天数为第53，54，…60，61天，共9天．
【解析】(1)由题意知，当 时， = = = ，
当 时， = = = ，
所求函数关系 = ．
(2)当 时， = = ，
∴函数 在 上单调递增，∴ = = (元)，
当 时， = = ，
∴函数 在 上单调递减，∴ = = (元)．
若销售额超过16610元，当 时，函数单调递减，故只有第61天满足条件．
当 时，经计算 满足条件，又函数 在 上单调递增，∴第53，54，…，60天，
满足条件，即满足条件的天数为第53，54，…60，61天，共9天．
