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专题 3.3 幂函数
1 幂函数的定义
一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
注 (1)注意幂函数中xα的系数是1，底数是变量x，指数α是常数；
2正数的正分数指数幂的意义
(1)正数的正分数指数幂的意义，规定： m
an =√n am (a>0,m,n∈N∗,且n>1)
巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)
m
− 1 1
(2)正数的正分数指数幂的意义：a n = = (a>0,m,n∈N∗,且n>1)
m √n am
an
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3 幂函数图像及其性质
1
(1) 幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x−1的图象．
1
(2) 幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x−1的性质
1
y=x y=x2 y=x3
y=x2
y=x−1
图象
X|X|K]
定 义
R R R [0,+∞) x≠0域
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) x≠0
奇 偶
奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
性
在 (−∞,0]上 递 在 (−∞,0)上 递
单 调 在[0,+∞)
在R上递增 减 在R上递增 减
性 上递增
在(0,+∞)上递增 在(0,+∞)上递减
定点 (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1)
(3)性质
① 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , +∞ )上是增函数．
特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上
凸.
③ α<0时，幂函数的图象在(0 , +∞ )上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋
向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无
限地逼近x轴正半轴．
一、单选题
1．幂函数 在 上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B．3 C． 或3 D．
【答案】A
【解析】因为 是幂函数，
故 ，解得 或 ，
又因为幂函数在 上单调递减，所以需要 ，则 故选：A
2．幂函数 在第一象限的图像如图所示，则 的
大小关系是 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据幂函数的性质，
在第一象限内， 的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得： ，故选：D
3．已知幂函数 与 的部分图像如图所示，直线 ， 与
， 的图像分别交于A，B，C，D四点，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【来源】辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】由题意， ， ，根据图象可知 ，
当 时， ， ，因为 ，所以，因为 ，可得 .故选：B
4．已知幂函数 在 上单调递减，设 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【来源】广东省梅州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】C 根据幂函数的定义可得 ，解得 或 ，
当 时， ，此时满足 在 上单调递增，不合题意，
当 时， ，此时 在 上单调递减，
所以 .因为 ，
又 ，所以 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，
又因为 为偶函数，所以 ，
所以 .故选：C
5．设 ， ， ， ，则这四个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【来源】广东省湛江市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】：∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，故 .故选：B.
6．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】广东省广雅中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】 是增函数，
，
是减函数， 在 上是增函数，
故选：B
7．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，则
，即 为奇函数，容易判
断 在R上单调递增（增+增），又 可化为，
，所以a >1－2a，∴ a >
．
故选：A.8．幂函数 在区间 上单调递增，且 ，则
的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
【来源】青海省西宁市大通回族土族自治县2021-2022学年高一上学期期末考试数学
试题
【答案】A
【解析】由函数 是幂函数，可得 ，解得 或
．
当 时， ；当 时， ．
因为函数 在 上是单调递增函数，故 ．
又 ，所以 ，
所以 ，则 ．
故选：A．
9．已知函数 是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 是减函数，
所以幂函数 为减函数，一次函数 为减函数，
所以 ，解得： ，
所以实数a的取值范围是
故选：B10．设 ,若 ,则
A．2 B．4 C．6 D．8
【来源】第13讲 函数的表示方法-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏
教版2019必修第一册）
【答案】C
【解析】由 时 是增函数可知,若 ,则 ,所以 ,
由 得 ,解得 ,则 ,故选C.
11．函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【来源】江西省丰城中学2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题
【答案】C
【解析】试题分析：函数在 处无意义，由图像看 在 轴右侧，所以 ，
，由 即 ，即函数的零点
，故选C．12．函数 是幂函数，对任意 ，且 ，满足
，若 ，且 ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【解析】由已知函数 是幂函数，
可得 ，解得 或 ，当 时， ，当 时，
，
对任意的 ，且 ，满足 ，
函数是单调增函数，所以 ，此时 ，
又 ，可知 异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，
则 恒大于 ，故选A.
13．已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ，则
A． B． C． D．
【来源】宁夏石嘴山市平罗中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】C
【解析】：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，
所以 ,
因此 ，
因为 ，所以 ，
，从而 ，选C.14．若幂函数 的图象过点 ，则函数 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设幂函数 ，
因为函数 的图象过点 ，
所以 ，所以 ，故 ，
所以 .
令 ，所以 ，
则 ，
所以当 时， . 故选：C.
二、填空题
15．已知幂函数 在 上单调递减，则 ______．
【来源】河北省安新中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】 ##
【解析】：由题意得 且 ，则 ， ，故 ．
故答案为：
16．已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在 上是减函
数，实数 满足 ，则 的取值范围是_____．
【答案】【解析】 幂函数 在 上是减函数，
，解得 ，
， 或 ．当 时， 为偶函数满足条件，
当 时， 为奇函数不满足条件，
则不等式等价为 ，即 ，
在R上为增函数， ，解得： .故答案为： .
17．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ______．
① ；② ；③任取 ， ， 且
．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】取 ，函数 为幂函数，满足①； ，则函数
为偶函数，满足②；③表示函数 在 上单调递增，由幂函数的性质可
知 满足③.
故答案为： （答案不唯一）
18．已知 是奇函数，当 时， ，则 ______．
【来源】山东省济宁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】-4
【解析】因为 是奇函数，当 时， ，
所以 ，得 ，所以 ， ，
因为 是奇函数
所以 ，
故答案为：
19．已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，
则满足 的 的取值范围为________.
【答案】
【解析】幂函数 在 上单调递减，故 ，解得
.
，故 ， ， .
当 时 ， 不关于 轴对称，舍去；
当 时 ， 关于 轴对称，满足；
当 时 ， 不关于 轴对称，舍去；
故 ， ，函数 在 和 上单调递减，
故 或 或 ，解得 或 .
故答案为：
20．若幂函数 过点 ，则满足不等式 的实数 的取值范
围是______
【来源】重庆市巫山县官渡中学等两校2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】【解析】由题意，不妨设 ，
因为幂函数 过点 ，则 ，解得 ，
故 为定义在 上的奇函数，且 为增函数，
因为 ，则 ，
故 ，解得 ，
从而实数 的取值范围是 .
故答案为： .
