文档内容
2023—2024 学年度下学期教学质量监测
高一年级数学试题卷
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置，在试题卷、
草稿纸上作答无效．选择题作答必须用2B铅笔填涂．
2．考试结束后，请将答题卡交给监考教师．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 求复数 的模为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法可得 ，进而即得.
【详解】法一：∵ ，
∴ ；
法二： ，
故选：A.
2. 某样本中共有 个个体，其中四个值分别为 ，第五个值丢失，但该样本的平均数为 ，则样本方
差为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平均数可求得丢失的数据，根据方差计算公式可求得结果.
【详解】设丢失的数据为 ，则 ，解得： ，
样本方差 .
故选：A.
3. 已知正方形 的边长为 ， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合向量的加法原则即可得 ，然后计算长度即可.
【详解】设AB的中点为E，故 = ，
所以 = + = ，而 ，故 = .
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学科网（北京）股份有限公司故选：D
4. 已知一组数据5，7，6，3，9，4，8，10，则这组数据的 分位数是（ ）
A. 3.5 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】利用百分位数的求法即可得解.
【详解】将这组数据从小到大排列得， ，共8个数，
又 ，所以这组数据的 分位数为 .
故选：B.
5. 若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设球的半径为 ，将三个几何体的体积都用 ，即可得答案.
【详解】设球的半径为 ，
则 ， ， ，
所以 .
.
故选：B
【点睛】本题考查圆锥、圆柱、球的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.
6. 在 中，若 ，则最大角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【 详 解 】 试 题 分 析 ： ， 所 以 最 大 角 为 C ，
，选D.
考点：余弦定理
7. 若 ，则 等于
A. B.
C. 0 D.
【答案】C
【解析】
详解】 .
【
故选：C.
8. 已知函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记
a=n，则m+2n的值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. ﹣1
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：利用函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函数，得到g（x）=ex+ae﹣x为奇函数，然后利用g
（0）=0，可以解得m．函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为偶函数，可得n，即可
得出结论．
解：设g（x）=ex+ae﹣x，因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为奇函数．
又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，
即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．
因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为偶函数
所以（e﹣x+aex）=ex+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣ex）=0对任意的x都成立
所以a=1，所以n=1，
所以m+2n=1
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学科网（北京）股份有限公司故选B．
考点：函数奇偶性的性质．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量 ，则下列结论正确 的是（ ）
A. 在 上的投影向量是
B.
C. 向量 与向量 的夹角为
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先利用向量垂直坐标表示验证选项D，选项B利用平面向量模的公式计算即可，选项C利用向量
夹角的坐标表示求解即可；选项A利用向量坐标求解投影向量即可.
【详解】对于D，因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确；
对于B，因为 ，
所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，
所以 ，
又 ，则 ，故C错误；
对于A， 在 方向上的投影向量为 ，故A错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：BD.
10. 已知随机事件A，B满足 ， ，则（ ）
A. 若事件A，B互斥，则
.
B 若 ，则事件A，B互斥
C. 若事件A，B相互独立，则
D. 若 ，则事件A，B相互独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用互斥事件的定义判断AB，利用相互独立事件的定义判断CD.
【详解】对于A选项， ，故A正确；
对于B选项， ， ，A，B互斥，否则不一定有A，B互斥，故B
错误；
对于C选项，因为事件A，B相互独立，故 ，故C正确；
对于D选项，因为 ，故事件A，B相互独立，故D正确．
故选：ACD．
11. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与
构成“互为生成函数”的有（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据三角函数的平移变换规律，得出结论.
【详解】 ，由 ，
则将 的图象向左平移 个单位长度后，即可与 的图象重合；
由 ，
则 图象无法经过平移与 的图象重合；
由 ，
则将 的图象向左平移 个单位长度后，再向下平移1个单位长度后，
即可与 的图象重合；
由 ，则 的图象无法经过平移与 的图象重合.
故A，C中的函数与 “互为生成函数”.
故选：AC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的
面积和的 ，且中间一组的频数为25，则样本容量为_____．
【答案】100
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据频率和为1求中间一组的频率，结合频数求样本容量.
【详解】设中间一组的频率为 ，
由题意可知： ，解得 ，
又因为中间一组的频数为25，所以样本容量为 .
故答案为：100.
13. 在复平面内，复数 与 所对应的向量分别为 和 ，其中 为坐标原点，则 对应的
复数为_______
【答案】 ##
【解析】
【分析】先利用复数的几何意义求出 和 的坐标，从而求出 的坐标，由此得解.
【详解】因为复数 与 所对应的向量分别为 和 ，
所以 ， ，
所以 ，即 对应的复数为 .
故答案为：
14. 如图，正三棱柱 的底面边长为2， 与平面 所成角的大小为 ，则线段
在平面 内的射影长为______.
【答案】3
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】取 的中点为 ，连接 ， ，证明 平面 ，所以 为 与平
面 所成的角，在直角三角形中求解即可.
【详解】
在正三棱柱 中，设 的中点为 ，连接 ， ，
平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
平面 ， 平面 ，
则 平面 ，所以 为线段 在平面 内的射影，
为 与平面 所成的角，
所以 ，所以在 中， .
故答案为：3
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在 中， ， ，D是BC边上一点，且 ，
（1）求 的长；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
在
【分析】（1） 中，利用正弦定理即可得解；
（2）在 中，先利用余弦定理求得 ，再利用正弦定理即可得解.
【小问1详解】
在 中， ，则 ，
在 中， ，即 ，得 .
【小问2详解】
因为在 中， ，
所以 ，
则 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以 .
16. 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试
都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依
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学科网（北京）股份有限公司次为 ， ， ，在实际操作考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没
有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
【答案】（1）丙；（2）
【解析】
【分析】
（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人
获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.
【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事
件C，则 ， ， .
因为 ，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
.
【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.
17. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
且 ．
（1）求角C的大小；
（2）若 的面积 ，求c．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；
（2）利用三角形面积公式得到 ，利用三角函数的和差公式得到 ，再利用正弦定理即可得解.
【小问1详解】
因为 ， ， ，
所以 ，
由正弦定理得 ，化简得 ，
所以 ，
又 ，所以 .
【小问2详解】
由题意得 ，则 ，
由 ，
得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
18. 在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， 分别是 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面PAD；
（2）求证： ；
（3）若PD与平面 所成的角为 ，求证： 平面 .
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，由线面平行的判定定理即可得证；
（2）先由线面垂直的判定定理证明 平面 ，得到 ，再由（1）即可得证；
（3）先由题意得到 ， ，由线面垂直的判定定理证明 平面 ，从而得证.
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ， ，
为 的中点， ， ，
是 的中点，底面 是矩形， ， ，
且 ，
四边形 为平行四边形，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 平面 ， 平面 ，
平面 .
【小问2详解】
平面 ， 平面 ， ，
又 底面 是矩形， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
由（1）可知 ， .
【小问3详解】
平面 ，所以 为 与平面 所成的角，
，又 ， ，即 为等腰三角形，
为 中点， ，
又由（2）可得 ， 平面 ，
平面 ，
由（1）可知： ， 平面 .
19. 图1所示的是等腰梯形ABCD，AB//CD，AB=3，CD=1， ，DE⊥AB于E点，现将△ADE
沿直线DE折起到△PDE的位置，连接PB，PC，形成一个四棱锥P-EBCD，如图2所示．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若平面PCD∩平面PBE=l，求证：DC//l；
（2）求证：平面PBE⊥平面BCDE；
（3）若二面角P-ED-B的大小为 ，求三棱锥E-PCD的体积
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】(1)易证 平面 根据线面平行的性质可知DC//l.
(2)由线面垂直的判定定理，证明 平面 ，进而得到面面垂直；
(3)利用等体积法知 ，再由（2）的 平面 构造线面垂直即三棱锥 的高，
再由三棱锥的体积公式求解.
【小问1详解】
由题， 平面 平面
所以 平面
又平面PCD∩平面PBE=l， 平面 ，
所以 DC//l.
【小问2详解】
在等腰梯形ABCD中， ，
翻折后， ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面PBE⊥平面BCDE；
【小问3详解】
如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司根据等腰梯形易知，
因为 ，
所以 即为二面角 的平面角， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
故 ，
过点P作 交BE于点F，在 中由等面积法可知：
则 ，
由（2）知， 平面 ，且 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面BCDE，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司
