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专题 4.2 指数函数
1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数
的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1
2、指数函数的图象和性质
0<a<1 a>1
图
像
定义域R , 值域（0，+∞）
（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1
(2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数
性质
（3）当x>0时,0<y<1; （3）当x>0时,y>1;
当x<0时,y>1 当x<0时,0<y<1
图象特征 函数性质
向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
共性 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1）
自左向右看，图象逐渐下降 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1;
0<a<1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1
图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度较
慢；
自左向右看，图象逐渐上升 增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1;
a>1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1
图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢，
到了某一值后增长速度极
快；
注意： x x
指数增长模型：y=N(1+p) 指数型函数： y=ka
3 考点：（1）ab=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握
利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插
进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。一、单选题
1．若函数 是指数函数，则 等于（ ）
A． 或 B．
C． D．
【来源】4.2.2 指数函数的图象与性质
【答案】C
【解析】由题意可得 ，解得 .故选：C.
2．函数 ，（ 且 ）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【来源】江西省铜鼓中学2021-2022学年新高一衔接班期末数学试题
【答案】B
【解析】解：令 ，解得 ，
所以当 时， ，
所以函数 过定点 .故选：B
3．若函数 为 上的奇函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【来源】河北省保定市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】函数 为 上的奇函数,
故 ，得 ，当 时， 满足 ，
即此时 为奇函数，
故 ，故选：A
4．已知 是定义在R上的奇函数，且 ，当 时， ，则
（ ）
A．2 B．－2 C．0 D．
【来源】吉林省松原市重点高中2021-2022学年高一3月联考数学试卷
【答案】B
【解析】由题意， 的周期为4，又 是定义在R上的奇函数，
所以 ．故选：B．
5．已知f(x)= ，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63 B．83 C．86 D．91
【来源】新疆阿勒泰地区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】C
【解析】依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)= f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，
当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，
所以f(4)+f(-4)=86.故选：C
6．函数 的图象大致为（ ）
A． BC． D
【来源】河南省豫北名校2021-2022学年高一下学期第一次联考数学试题
【答案】A
【解析】由题意，得 ，所以
，所以 是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除
B，D．
又因为 ， ，所以排除C．
故选：A
7．若 ，则a､b､c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【来源】云南省丽江市2021-2022学年高一下学期期末教学质量监测数学试题
【答案】A
【解析】因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，即 ，因为 在 上单调递减，且 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 故选：A
8．设函数 对任意的 ，都有 ， ，且当
时， ，则 （ ）
A． B． C． D．【来源】宁夏吴忠中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】由 得 ，
所以 ，即 ，
所以 的周期为4， ，
由 得 ，
所以 .故选：A.
9． 是定义域为 的函数，且 为奇函数， 为偶函数，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
【来源】内蒙古包头市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】由题意， ，即 ，
，即 ，
所以 ，可得 ，
故 .故选：A.
10．若 ，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】陕西省榆林市神木中学、府谷中学和绥德中学2021-2022学年高一下学期期
末联考数学试题
【答案】A【解析】由 可知：
， 为偶函数，
又 ,
知 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
故选：A.
11．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】浙江省温州市环大罗山联盟2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题
【答案】A
【解析】当 时， ，则 在 上单调递增，又函数 是
上的偶函数，且 ，
因此， ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
12．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【来源】浙江省台州市玉环市坎门中学2021-2022学年高一下学期返校考试数学试题
【答案】B【解析】∵ 在 上单调递增，
∴ ，解得 .故选：B.
13．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【来源】浙江省杭州学军中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】依题意， ，解得： ，即 定义域为
，
令 ，则函数 在 上单调递增，在 上
单调递减，
而函数 在R上单调递减，因此， 在 上单调递减，在
上单调递增，
所以函数 的单调递增区间为 .
故选：C
14．已知函数 ， ，则函数 的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【来源】江西省丰城中学2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题
【答案】B依题意，函数 ， ，令 ，则 在上单调递增，即 ，
于是有 ，当 时， ，此时 ， ，
当 时， ，此时 ， ，
所以函数 的值域为 .故选：B
15．函数 ， ，若对 ，都存在 ，使
成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若对 ，都存在 ，使 成立，则需
，
又 ， ，所以 ，
令 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，则m的取值范围是 ，
故选：B.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子
集 ．二、多选题
16．已知函数 ，则（ ）
A． 的值域为R B． 是R上的增函数
C． 是R上的奇函数 D． 有最大值
【答案】ABC
【解析】 ，而 ，所以 值域为R，
A正确，D错误；
因为 是递增函数，而 是递增函数，所以 是递增函数，
B正确；
因为定义域为R，且 ，所以 是R上的奇函数，C正确；
故选：ABC
17．已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 的图象关于坐标原点对称 B． 的图象关于 轴对称
C． 的最大值为1 D． 在定义域上单调递减
【来源】浙江省“新高考名校联盟”2021-2022学年高一下学期5月检测数学试题
【答案】AD
【解析】因为 ，所以 为奇函数，图象关于坐标原点
对称，故A正确；因为 ， ， ，所以
不是偶函数，图象不关于 轴对称，故不B正确；
因为 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故C不正确；因为 ，且 为增函数，所以 在定义域 上
单调递减，故D正确.故选：AD
18．下列结论中，正确的是（ ）
A．函数 是指数函数
B．函数 的单调增区间是
C．若 则
D．函数 的图像必过定点
【来源】广东省韶关市武江区市实验中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学
试题
【答案】BD
【解析】由指数函数定义得函数 不是指数函数，A错；
函数 中， ，在 上递增，在 上递减，
因此函数 的单调增区间是 ，B正确；
时，由 得 ，C错；
函数 中，由 得 ， ，即函数 图象过
点 ，D正确．
故选：BD．
19．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的定义域为RB．函数 的值域为
C．函数 的图象关于y轴对称
D．函数 在R上为增函数
【来源】重庆市九龙坡区2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】ABD
【解析】A：因为 ，所以函数 的定义域为R，因此本选项结论正确；
B： ，
由 ，所以函数
的值域为 ，因此本选项结论正确；
C：因为 ，所以函数 是奇函数，其图象关于原点对称，
不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；
D：因为函数 是增函数，因为 ，所以函数 是减函数，
因此函数 是增函数，所以本选项结论正确，
故选：ABD
20．已知 ， 都是定义在 上的函数，其中 是奇函数， 为偶函数，
且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为偶函数
B．
C． 为定值
D．
【来源】浙江省金华十校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题
【答案】ACD【解析】
令 为 得 即
解得 ，
对于A. ，故 为偶函数
对于B. ，故B错
C. ，故C对
D.当 时， ，
当 时， ，
故D对故选：ACD
三、填空题
21．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是___.
【答案】
【解析】： 和 在 上都是单调递减，
在 上单调递减，
由 ，可得 ，解得 ，即 ．
故答案为：
22．已知函数 为定义在R上的奇函数，则 ____.【来源】3.3 函数的奇偶性
【答案】 ##3.5
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，特别地，当 时，
得到 ．由 取 ，
所以 ，所以 ．再分别令 和 ，得 ，
，
两式相加得 ，且 ，则
，所以 ．故答案为： .
23．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时， ，
则 ___________.
【来源】江西省上饶市重点中学协作体2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题
【答案】
【解析】：因为 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，
又因 是定义在 上的奇函数，所以 .故答案为： .
24．设不等式 对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围
是_______．
【答案】
【解析】：由 ，得 ，即 ，
， ，
则 ，
，则 ，即 ．故答案为：
四、解答题
25．已知定义在 上的奇函数 ．在 时， ．
(1)试求 的表达式；
(2)若对于 上的每一个值，不等式 恒成立，求实数 的取值范
围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)： 是定义在 上的奇函数， ，
因为在 时， ，
设 ，则 ，
则 ，
故 .
(2)：由题意， 可化为
化简可得 ，令 ， ，
因为 在定义域 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
，故 ．
26．已知函数 是定义域为 的奇函数.
(1)若集合 ， ，求 ；
(2)设 ，且 在 上的最小值为-7，求实数 的值.
【来源】湖南省天壹名校联盟2021-2022学年高一下学期3月大联考数学试题
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解：因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，可得 ，当 时， ，所以 ，
，所以 为奇函数，所以 ；
由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ；
由 ，且 ，得 ，即 ，
所以 ，所以 ；
(2)因为 ，
，令 ，因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，或 （舍去）；
当 时， 在 上为增函数，所以 ，
即 ，所以 ，解得 （舍去），
所以 .
27．已知定义在 上的奇函数 ，当 时，函数解析式为
．
(1)求a的值，并求出 在 上的解析式；
(2)若对任意的 ，总有 ，求实数t的取值范围．
【来源】河南省林州市第一中学2021-2022学年高一下学期开学检测数学试题
【答案】(1)-3， ；
(2) .
【解析】(1)根据题意， 是定义在 上的奇函数，则有 ，
当 时 ，则 ，解得： ，
当 时， ，
设 ，则 ，则 ，又 为奇函数，所以 ，
综上， ，
(2)由（1）， 时， ，
设 ，则 ，则原函数可化为： ，
由 ， 知： 在 上恒成立，
要使 在 上恒成立，只需 ，解得： ，
所以t的取值范围为 ．
28．已知函数 .
(1)求 的值；
(2)求函数 的值域；
(3)若 ，且对任意的 、 ，都有 ，
求实数 的取值范围.
【来源】广东省深圳市光明区2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【解析】(1)： .
(2)解： .
，则 ，则 ，所以， ，函数 的值域为 .
(3)解： ，
令 ，则 ， ，函数 的对称轴为直线 .
①当 时，函数 在 上单调递减， ，
，解得 ，此时 的取值不存在；
②当 时，函数 在 上单调递增， ，
，解得 ，此时 的取值不存在；
③当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，且 ，
所以， ，解得 ，此时 .
综上，实数 的取值范围为 .
29．设函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若 ， ，且当 时， 恒成立，求实
数m的取值范围．
【来源】河南省洛阳市2021-2022学年高一下学期期末数学文科试题
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数,则
，所以 ，
又 时， ，对任意的 ，都有
成立，满足题意，
所以 ；
(2)由（1）知， ，且 ，
所以， ，
所以， 或 （舍），
令 ，则 ，
由当 时， 恒成立，得 在 时恒成立，
则 在时 恒成立，又 在 上单调递增，
所以， ，所以， .
