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专题 4.1 指数
1 指数运算
(1) n次方根与分数指数幂
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N∗.
式子√n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.
注 意 ： (1) (2) 当 是 奇 数 时 ， ， 当 是 偶 数 时 ，
(√n a) n=a n √n an=a n
√n an=|a|={ a,a≥0
.
−a,a<0
(2) 正数的正分数指数幂的意义
m
① 正数的正分数指数幂的意义，规定：
an =√n am (a>0,m,n∈N∗,且n>1)
巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)
m
− 1 1
② 正数的正分数指数幂的意义：a n = = (a>0,m,n∈N∗,且n>1)
m √n am
an
③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
① ；
as∙ar=ar+s (a>0,r,s∈R)
② (as) r =ars (a>0,r,s∈R) ；
③ .
(ab) r=arbr (a>0,r∈R)
一、单选题a
1．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析根据题意，因为 ， ，所以 .故选：B.
2．若代数式 有意义，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 有意义，得 解得 ．
所以
所以
．
故选：B．
3． 可以化简成（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解： ，
故选：B．
4．函数 的图像可能是（ ）．
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】当 时，∴ ，所以排除B，
当 时，∴ ，所以排除C，故选D.
5．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设， ，
所以 .
故选：B.
6．化简 得
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，原式 .
故选：A
7．化简 (a>0)等于（ ）
A．6a B．－aC．－9a D．9a2
【答案】C
【解析】 故选：C
8．有下列四个式子：
① ；
② ；
③ ；
④
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】① 正确；② ，② 错误；③
，③ 错误；④ ，若 ，则
，若 ，则 ，故④ 错误．
故选：A
9．化简 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
，，
，
，
所以原式= 故选：B
10．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：当 时， ，因为 ，所以 ，
故当 时，不等式无解，
当 时， ，
令 ，得 ，解得 .
故选：D.
11．已知函数 若 ，则实数 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知， ， ，
又因为 ，所以 ，解得 .
故选：B.
12．定义在实数集 上的奇函数 恒满足 ，且 时，，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】解： 奇函数 恒满足 ，
，即 ，则 ，即 ，
即 是周期为4的周期函数，
所以 ，
故选：B．
13．已知 ，求 的值为
A．2 B．8 C．10 D．14
【答案】D
【解析】： ，
两边同时3次方得： ，
化简得： ，
又 ，
，
故选： ．
14．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知 ，故选A.15．设函数 ，则满足 的x的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
：将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足
的x的取值范围是 ，故选D.
二、填空题
16．化简 ________.
【答案】6
【解析】
.
故答案为： .
17．已知函数 的图象过原点，则 ___________．
【答案】0
【解析】
因为 的图象过原点，所以 ，即 ．
故答案为：0.18．求值 _______．
【答案】4
【解析】 .
故答案为：4
19．已知 ,，则 的值为______.
【答案】47
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以 ，则 .
故答案为： .
20．化简 ___________.
【答案】 ##1.6
【解析】
故答案为：
21．已知 ， ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】因为 ， ，
所以 ．
故答案为：22．若 ， ，则 的值为______．
【答案】
【解析】将 代入 ，得 ，
所以 ．
故答案为： .
三、解答题
23．（1）求值： ；
（2）已知 ，求值： .
【答案】（1）81；（2）6.
【解析】（1）原式 ；
（2）由 ，而 ，
则 ，故 .
24．已知 ， ，求 的值.
【答案】
【解析】化简 ，因为 ，，所以 .
25．计算或化简下列各式：
（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；
（2） －10( －2)－1＋( )0.
【答案】（1）－ a；（2）－ .
【解析】(1)原式
(2)原式
＝ ＋10 －10 －20＋1＝－ .
26．（1）计算： ；
（2）已知 ，求 ．
【答案】（1）3；（2） .
【解析】（1）原式 ，
．
（2）由于 ，所以 ， ，所以 ．
