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专题 3.4 函数的应用
1．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
2．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)= +bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、
最省等最值
问题常用到二次函数模型.
3．幂函数模型的应用
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
4．分段函数模型的应用
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的
实际问题中具有广泛的应用.
5．“对勾”函数模型的应用
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+
(a>0,b>0)，当x>0时，在(0, ]上递减，在( ,+ )上递增.另外，还要注意换元法
的运
一、单选题
1．已知函数 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
2．设函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．根据表格中的数据，可以断定方程 的一个根所在的区间是（
）
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
4．已知函数 ,若实数 ,则函数 的零点个数
为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．某地一天内的气温 （单位： ）与时刻 （单位： ）之间的关系如图所示，
令 表示时间段 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则 与
之间的函数图像大致是A． B．
C． D．
6．甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，
到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．
若每人离开甲地的距离 与所用时间 的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是
A．甲是(1)，乙是(2) B．甲是(1)，乙是(4)
C．甲是(3)，乙是(2) D．甲是(3)，乙是(4)
7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优
惠．
某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，
则应付款是A．413.7元 B．513.7元 C．546.6元 D．548.7元
8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间
的函数关系：（）．
A． B．
B．C． D．
二、解答题
9．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2
月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品
销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情
况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价 （元/套）与时间x（被调查的
一个月内的第x天）的函数关系近似满足 （k为正常数）．该商品的日销售
量 （个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
110 120 125 120已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出两种函数模型：① ，② ，请你根据上表中的数
据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 与时间x的关系，
并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入 （ ， ）（元）的最小值．
10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥
上的车流速度 (单位：千米/小时)是车流密度 (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车
流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千
米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 时，车流速度 是车流密
度 的一次函数．
(1)当 时，求函数 的表达式；
(2)当车流密度 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每
小时) 可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒
11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单
位的去污剂，空气中释放的浓度 (单位：毫克/立方米)随着时间 (单位：天)变化的函
数关系式近似为 ，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度
为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓
度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒 个单位的去污剂，要使接
下来的4天中能够持续有效去污，试求 的最小值.(精确到0.1，参考数据： 取1.4)12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收
益 与投资额 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益 与投
资额 的算术平方根成正比，其关系如图2.
(1)分别写出两种产品的年收益 和 的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大
年收益，其最大年收益是多少万元？
13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业 公司扩大
生产提供 （ ）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全
部防护服， 公司在收到政府 （万元）补贴后，防护服产量将增加到
（万件），其中 为工厂工人的复工率（ ）， 公司生产
万件防护服还需投入成本 （万元）．
(1)将 公司生产防护服的利润 （万元）表示为补贴 （万元）的函数（政府补贴
万元计入公司收入）；
(2)当复工率 时，政府补贴多少万元才能使 公司的防护服利润达到最大？并求
出最大值．
14．已知函数 是幂函数.
(1)求函数 的解析式;
(2)判断函数 的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数 在 上的单调性,并证明你的结论.
