文档内容
⽂⼭市第⼀中学⾼⼀年级 ⽉⽉考
12
数学试卷
本试卷共4⻚，共19题，全卷满分150分，考试⽤时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考⽣务必⽤⿊⾊碳素笔将⾃⼰的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题的作答：每⼩题选出答案后，⽤ 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改
动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的⾮答题区域均⽆
效.
3.⾮选择题的作答：⽤⿊⾊签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和
答题卡上的⾮答题区域均⽆效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡⼀并上交.
⼀、单项选择题：本题共 ⼩题，每⼩题 分，共 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀
项是符合题⽬要求的.
1 已知全集 ， 集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数 的定义域是 ，值域是 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. ⼀个扇形 的⾯积是 ，它的周⻓是 ，则此扇形圆⼼⻆的弧度数（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
6. 那么⽅程 的⼀个近似解（误差不超过0.02）为
第1⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（ ）
A 1.4375 B.1.375 C.1.25 D.1.422
7. 已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A.0 B. C.1 D.2
8. 已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称，且满⾜ ，则
（ ）
A.4 B.2 C.1 D.
⼆、多项选择题：本题共 ⼩题，每⼩题 分，共 分.在每⼩题给出的四个选项中，有多项
符合题⽬要求.全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第⼆象限⻆
B. 第三象限⻆的集合为
C. 终边在 轴上的⻆的集合为
D. 若⻆ 为锐⻆，则⻆ 为钝⻆
10. 下列选项正确的是（ ）
A. 的最⼩值是2
B. 的最⼤值是5
C. 若 ， 且 ，则 的最⼩值是4
D. 若 ， 且 ，则 的最⼩值是4
11. 已知定义在 上的函数 满⾜： ，当 时， ，且函数
的图象关于点 对称，则下列说法正确的是（ ）
第2⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. 是奇函数
B. 的图象关于直线 对称
C.
D. ⽅程 有5个不相等的实根
三、填空题：本题共 ⼩题，每⼩题 分，共 分.
12. 函数 （ , ）的图象恒过定点__________.
13. 已知⻆ 的终边经过点 ，则 ______．
14. 在数学中，⾼斯函数 是⼀个重要的函数，它表示不超过 的最⼤整数，例如 ， .
已知函数 （ ，且 ，若 的图象上恰有3对点关于原点对称，则实
数 的取值范围是______.
四、解答题：本题共 ⼩题，共 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式的值：
（1） ；
（2）
16. 已知⻆ 是第三象限⻆， .
（1）求 ， 的值；
（2）求 的值.
17. 已知函数 ，且点 在函数 的图象上.
第3⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求函数 的解析式，并在图中的直⻆坐标系中画出函数 的图象；
（2）若⽅程 有两个不相等 实数根，求实数 的取值范围.
18. 已知 是⾃然对数的底数， .
（1）判断函数 在 上的单调性并证明；
（2）解不等式 .
19. 国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满⾜不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进⽽提升
区域经济发展活⼒.某夜市的⼀位⽂化⼯艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该⼯艺品在过去的
⼀个⽉内（按30天计），每件的销售价格 （单位：元）与时间 （单位：天） 的
函数关系满⾜ （ 为常数，且 ），⽇销售量 （单位：件）与时间 的部分数据如下
表所示：
15 20 25 30
105 110 105 100
设该⽂化⼯艺品的⽇销售收⼊为 （单位：元），且第15天的⽇销售收⼊为1057元.
（1）求 的值；
（2）给出以下三种函数模型：① ；② ；③ .请你根据上表
中 数据，从中选择最合适的⼀种函数模型来描述⽇销售量 与时间 的变化关系，并求出该函数的解
析式；
（3）利⽤问题（2）中的函数 ，求 的最⼩值.
第4⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司第5⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⽂⼭市第⼀中学⾼⼀年级 ⽉⽉考
12
数学试卷
本试卷共4⻚，共19题，全卷满分150分，考试⽤时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考⽣务必⽤⿊⾊碳素笔将⾃⼰的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题的作答：每⼩题选出答案后，⽤ 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改
动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的⾮答题区域均⽆
效.
3.⾮选择题的作答：⽤⿊⾊签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和
答题卡上的⾮答题区域均⽆效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡⼀并上交.
⼀、单项选择题：本题共 ⼩题，每⼩题 分，共 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀
项是符合题⽬要求的.
1. 已知全集 ， 集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集与补运算即可.
【详解】全集 ， 集合 ，
则 ，所以 .
故选：B.
2. 函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
第1⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】根据题意解 即可得答案.
【详解】由函数 有意义，等价于 ，解得 ，
所以函数 的定义域为
故选：A
3. 函数 的定义域是 ，值域是 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得⼆次函数的对称轴 ，以及函数的最⼩值 ，由 ，即可得到所
求 的范围．
【详解】 ，可得对称轴为 ，
且 且为最⼩值，
⼜由 ，
函数 的定义域为 ，值域为 ，
可得 ，
即有 的取值范围是 ，
故选：A．
4. ⼀个扇形 的⾯积是 ，它的周⻓是 ，则此扇形圆⼼⻆的弧度数（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】设该扇形弧⻓为 ，半径为 ，由扇形的周⻓与⾯积公式可得 ， ，求解可得答
案．
【详解】设扇形的弧⻓为 ，半径为 ，所以 ， ，所以 ， ，
第2⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以扇形的圆⼼⻆的弧度数是： ，
故选：B
5. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利⽤中间值法⽐较⼤⼩.
【详解】 ， ，
，
，
， ，
.
故选：B.
6. 那么⽅程 的⼀个近似解（误差不超过0.02）为
（ ）
A.1.4375 B.1.375 C.1.25 D.1.422
【答案】D
【解析】
【分析】根据⼆分法直接判断即可得解．
【详解】设近似解为 ，
由零点存在性定理及⼆分法计算数据：
因为 ， ，所以 ，
第3⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⼜ ，所以 ，
⼜ ，所以 ，
⼜ ，所以 ，
⼜ ，所以 ，
因为
且 ， ，
所以可取近似解 ．
故选：D
7. 已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A.0 B. C.1 D.2
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤函数的奇偶性与函数解析式求函数值.
【详解】因为 为定义在R上的奇函数，
所以 ，得 ，
则当 时, ，
故 ，
所以 .
故选：C.
8. 已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称，且满⾜ ，则
（ ）
A.4 B.2 C.1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象的对称性得点 ， 在函数 的图象上，列⽅程组求解即
第4⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司可得解.
【详解】函数 的图象与 的图象关于直线 对称，
所以点 ， 在函数 的图象上，
所以 ，所以 ，所以 ，
⼜ ，所以 ，所以 .
故选：B
⼆、多项选择题：本题共 ⼩题，每⼩题 分，共 分.在每⼩题给出的四个选项中，有多项
符合题⽬要求.全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第⼆象限⻆
B. 第三象限⻆的集合为
C. 终边在 轴上的⻆的集合为
D. 若⻆ 为锐⻆，则⻆ 为钝⻆
【答案】AC
【解析】
【分析】根据终边相同⻆的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限⻆的表示可以判断B错误；举特例
可以判断D错误.
【详解】对于选项A：因为 ，且 为第⼆象限⻆，
所以 第⼆象限⻆，故A正确；
对于选项B：第三象限⻆的集合为 ，故B错误；
对于选项C：终边在 轴上的⻆的集合为 ，故C正确；
对于选项D：若⻆ 为锐⻆，即 ，则 ，所以⻆ 不⼀定为钝⻆，
例如 ，则 为直⻆，故D错误；
第5⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：AC.
10. 下列选项正确的是（ ）
A. 的最⼩值是2
B. 的最⼤值是5
C. 若 ， 且 ，则 的最⼩值是4
D. 若 ， 且 ，则 的最⼩值是4
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于ABC：直接利⽤基本不等式运算求解即可；对于D：利⽤乘“ 1”法结合基本不等式运算求解
即可.
【详解】对于选项A：因为 有意义，故 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成⽴，
所以 的最⼩值是2，故A正确；
对于选项B：因为 ，解得 ，
则 ，当且仅当 ，即 时，等号成⽴，
所以 的最⼤值是5，故B正确；
对于选项C：若 ， 且 ，
因为 ，即 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成⽴，
所以 的最⼩值是8，故C错误；
对于选项D：若 ， 且 ，
则 ，
第6⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成⽴，
所以 的最⼩值是4，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知定义在 上的函数 满⾜： ，当 时， ，且函数
的图象关于点 对称，则下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 的图象关于直线 对称
C.
D. ⽅程 有5个不相等的实根
【答案】ACD
【解析】
【分析】由于⽅程 的实根，本质是函数 与 图象的公共点横坐标，因此只需分
析这两个函数图象的交点数量；先分析两函数的图象特征（利⽤已知条件），再分区间逐⼀分析交点（结合
图象形态）即可.
【详解】对于选项A：由 的图象关于点 对称，可知 的图象关于原点 对称，即
是奇函数，A正确；
对于选项B：由 ，得 ，故 周期为4，
若 关于 对称，则 ，
但由 ，得 ， （奇函数），
显然 （除⾮ ），故B错误；
对于选项C：由 ，则 ，故 周期为
4，C正确；
对于选项D：⽅程 的实根个数，等价于 与 图象的交点个数，
当 时， ；结合奇函数性质与周期性，可画出 在 上的图象，
第7⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司在 时， ； 时， ，
⽽ 的值域为 ，因此只需考虑 的区间，逐⼀分析区间内交点：
： 与 ⽆交点；
：结合周期性与奇偶性， 图象与 有1个交点；
： 图象与 有1个交点；
： 图象与 有1个交点；
： 图象与 有1个交点；
：有交点；
因此总计5个不相等 实根，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 ⼩题，每⼩题 分，共 分.
12. 函数 （ , ）的图象恒过定点__________.
【答案】
【解析】
【分析】由对数函数图象经过的定点，由函数平移变换得到函数 图象经过的定点.
【详解】对数函数 经过定点 ，
将函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数 ，
函数 ⼀定过定点 .
故答案为：
第8⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司13. 已知⻆ 的终边经过点 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据终边上的点可得 ，再应⽤诱导公式及同⻆三⻆函数的关系化简求值.
【详解】由⻆ 的终边经过点 ，则
.
故答案为：
14. 在数学中，⾼斯函数 是⼀个重要的函数，它表示不超过 的最⼤整数，例如 ， .
已知函数 （ ，且 ，若 的图象上恰有3对点关于原点对称，则实
数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义，作出 的图象，再求出 图象关于原点对称的图象对应的函数解析式，
由交点个数并结合图象列式求解.
【详解】解：根据新定义，作出 图象如下：
由 的图象上恰有3对点关于原点对称，
第9⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司得函数 图象关于原点对称的图象与 ， 的图象有3个交点，
由 ，得 ，
则 ，
因此函数 的图象与 的图象恰有3个交点，
当 时，函数 的图象与 的图象只有2个交点，不符合题意；
则 ，即 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 ⼩题，共 分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式的值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数计算公式化简可得值；
（2）根据对数运算公式化简可得值.
【⼩问1详解】
第10⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司；
【⼩问2详解】
.
16. 已知⻆ 是第三象限⻆， .
（1）求 ， 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤平⽅关系和商数关系列⽅程组求解；
（2）⽤诱导公式化简后，再把⻬次式化为关于 的式⼦，代⼊已知计算．
【⼩问1详解】
由题意 ，⼜ 在第三象限， ，故解得 ；
【⼩问2详解】
第11⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司．
17. 已知函数 ，且点 在函数 的图象上.
（1）求函数 的解析式，并在图中的直⻆坐标系中画出函数 的图象；
（2）若⽅程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，图象⻅解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据点 在函数 的图象上求出 ，再分段画出函数的图象；
（2）将问题转化为直线 与函数 的图象有两个公共点，在同⼀坐标系中作出图象，利⽤图
象进⾏求解.
【⼩问1详解】
解：因为点 在函数 的图象上，
所以 ，解得 ，
第12⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司即 ，
其图象如图所示：
【⼩问2详解】
解：将 化为 ，
因为⽅程 有两个不相等的实数根，
所以直线 与函数 的图象有两个公共点，
在同⼀坐标系中作出直线 与函数 的图象（如图所示），
由图象，得 ，即 ，
第13⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司即 的取值范围是 .
18. 已知 是⾃然对数的底数， .
（1）判断函数 在 上的单调性并证明；
（2）解不等式
【答案】（1）函数 在 上单调递增，证明⻅解析
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利⽤函数单调性的定义证明；
（2）⾸先证明函数是偶函数，将不等式转化为 ，再结合函数的单调性解不等式；
【⼩问1详解】
函数 在 上单调递增，证明如下：
任取 ， ，且 ，
则
，
因为 ， ，且 ，所以 ，所以 ， ， ，
故 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
【⼩问2详解】
函数 的定义域为 ，且 ，
所以 是偶函数，
第14⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⼜由（1）知 在 上单调递增，
所以 ，
两边平⽅可得 ，解得 或 ，
故不等式 的解集为 或 .
19. 国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满⾜不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进⽽提升
区域经济发展活⼒.某夜市的⼀位⽂化⼯艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该⼯艺品在过去的
⼀个⽉内（按30天计），每件的销售价格 （单位：元）与时间 （单位：天） 的
函数关系满⾜ （ 为常数，且 ），⽇销售量 （单位：件）与时间 的部分数据如下
表所示：
15 20 25 30
105 110 105 100
设该⽂化⼯艺品的⽇销售收⼊为 （单位：元），且第15天的⽇销售收⼊为1057元.
（1）求 的值；
（2）给出以下三种函数模型：① ；② ；③ .请你根据上表
中的数据，从中选择最合适的⼀种函数模型来描述⽇销售量 与时间 的变化关系，并求出该函数的解
析式；
（3）利⽤问题（2）中的函数 ，求 的最⼩值.
【答案】（1）
（2）选择函数模型②， .
（3）961.
【解析】
【分析】（1）由 即可求解；
（2）通过函数单调性确定选择函数模型② .再由 即可求解；
第15⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（3）由（2）确定 ，结合基本不等式即可
求解.
【⼩问1详解】
因为第15天的⽇销售收⼊为1057元，
所以 ，
解得 .
【⼩问2详解】
由表中的数据知，当时间 变化时， 先增后减.
⽽函数模型① 和③ 在 上都是单调函数，
所以选择函数模型② .
由 ，得 ，解得 .
所以 解得 .
所以⽇销售量 与时间 的变化关系为 .
【⼩问3详解】
由（2）知 ，
所以 ，
即 ，
第16⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 时，由基本不等式得， ，
当且仅当 ，即 时，等号成⽴.
当 时， 单调递减，
所以 .
综上所述，当 时， 取得最⼩值，最⼩值为961.
第17⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
