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专题 4.3 对数
1对数的概念
(1)概念
一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作
ax=N(a>0 , 且a≠1) x a N
x=log N.
a
(a底数， N真数， log N对数)
a
解释 对数log N中对底数a的限制与指数函数y=ax中对a的限制一样.
a
(2) 两个重要对数
常用对数以10为底的对数，log N记为lgN；
10
自然对数以无理数e为底的对数的对数，log N记为ln N．
e
(3) 对数式与指数式的互化
x=log N ⟺ ax=N
a
对数式 指数式
如 ； .
43=64⇔log 64=3 log 25=2⇔52=25
4 5
(4) 结论
① 负数和零没有对数
② log a=1，log 1=0.
a a
特别地，lg10=1，lg1=0，lne=1，ln1=0.
解释 ∵ax=N>0， ∴log N中N>0，如log (−3)没意义；
a 2
由对数式与指数式的互化得 ， .
a1=a⇒log a=1 a0=1⇒log 1=0
a a
2 对数的运算性质
如果a>0，a ≠ 1， M>0，N>0 , 有
M
① log (MN)=log M+log N ② log =log M−log N
a a a a N a a
③ ④
log Mn =n log M(n∈R) alog a M=M
a a
(每条等式均可证明)
比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系
指数 对数
am ⋅an=am+n log (MN)=log M+log N
a a aam M
=am−n log =log M−log N
an a N a a
(am) n =amn log Mn =n log M
a a
特别注意： ， .
log MN ≠ log M⋅ log N log (M ±N)≠ log M± log N
a a a a a a
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A．81 B． C． D．3
【答案】D
【解析】解：因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，故选：D.
2．已知 ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .故选：D
3．已知函效 则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【来源】吉林省长春市十一高中2021-2022学年高一上学期第二学程考试数学试题
【答案】B
【解析】由题意知， ，
.故选：B
4．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， （m为常数），则 的值为（ ）
A．4 B． C．7 D．
【来源】广东省广州市八校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】根据题意，函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，
必有 ，解可得: ，
则当 时， ，有 ，
又由函数 是定义在R上的奇函数，则 .故选：D
5．计算： （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【来源】山西省长治市第四中学校2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】解：
；故选：B
6．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
【来源】云南省昆明市2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试题
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
，则 .故选：C．7．设 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ， ，
则 .故选D.
8．设 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省西安市雁塔区第二中学2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试
题
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ， .故选：B.
9．若 是奇函数，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．5
【来源】河南省豫北名校2021-2022学年高一下学期第一次联考数学试题
【答案】B
【解析】依题意得： ．故选：B
10．函数 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．【来源】河北省保定市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】由题意得
，
当 时， 的最小值为 .故选：D
11．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则
经过一定时间t分钟后的温度T满足 ，h称为半衰期，其中 是
环境温度．若 ℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从
75℃降至55℃，大约还需要（参考数据： ， ， ）
（ ）
A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟
【来源】陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】：由题意， ℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得
，
所以 ，
又水温从75℃降至55℃，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以水温从75℃降至55℃，大约还需要 分钟.
故选：C.
12．正数a，b满足1+log a＝2+log b＝3+log （a+b），则 的值是
2 3 6
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，设1+log a＝2+log b＝3+log （a+b）＝k，则a＝2k﹣1，b＝3k﹣2，a+b
2 3 6
＝6k﹣3，
所以 .故选：A．
13．已知函数 为R上的偶函数，若对于 时，都有 ，且
当 时， ，则 等于（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【来源】四川省自贡市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】当 时， ，则 ，
所以当 时， ，所以
又 是偶函数， ，
所
．故选：A．14．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，
这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中
自由传播时能量损耗满足传输公式： ，其中D为传输距离，
单位是 ，F为载波频率，单位是 ，L为传输损耗（亦称衰减）单位为 ．若
传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了 ，则载波频率变为原来约（ ）倍
（参考数据： ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
【来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末数学试
题
【答案】B
【解析】设 是变化后的传输损耗， 是变化后的载波频率， 是变化后的传输距
离，则 ， ，
，
则 ，即 ，从而 ，
即载波频率变为原来约2倍.故选：B．
二、填空题
15．已知函数 （ 且 ），且 ，则
___________.
【答案】
【解析】因为 ，则 ,
化为对数式，可得 ,
所以 ，故答案为： .
16．计算： _________．
【来源】四川省泸州市泸县第一中学2021-2022学年高一下学期开学考试数学试题
【答案】【解析】原式
.
故答案为：
17．若 ， 且 ，则 的值___．
【答案】 【解析】 ， 且 ，
， ，
．
故答案为：0．
18． ___．
【答案】
【解析】
＝ 9
．故答案为：102.
19． = ________
【来源】第11讲 对数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019
必修第一册）【答案】
【解析】
故答案为：
20． __________.
【来源】河南省信阳市信阳高级中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学（理
科）试题
【答案】6
21．如果关于 的方程 的两根分别是 ，则
的值是__________.
【来源】第4章 指数与对数综合测试-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课
（苏教版2019必修第一册）
【答案】
【解析】∵ 是关于 的方程 的两根
∴ 是一元二次方程 的两根
∴ ，
∴ .
故答案为：
22．已知定义在R上的函数 满足 ，且当 时，
，若对任 都有 ，则m的取值范围是_________．【来源】河南省信阳市信阳高级中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学（理
科）试题
【答案】 ， ．
【解析】：因为 满足 ，即 ；
又由 ，可得 ，
画出当 ， 时， 的图象，
将 在 ， 的图象向右平移 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2
倍），再向左平移 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍），
由此得到函数 的图象如图：
当 ， 时， ， ， ，
又 ，所以 ，
令 ，由图像可得 ，则 ，解得 ，
所以当 时，满足对任意的 ， ，都有 ，
故 的范围为 ， ．
故答案为： ， ．
23．已知函数 ，函数 满足 ．当 时， ，
则 ________．
【来源】浙江省“新高考名校联盟”2021-2022学年高一下学期5月检测数学试题【答案】 ##
【解析】：因为函数 满足 ，又 ，
则 ，
又 时
所以 ；
故答案为：
24．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出
现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得
出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值 的3倍，
并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为
，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数
学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定
律，若 ，则n的最大值为______．
【来源】河南省许昌市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题
【答案】3
【解析】由 可得， ，
所以 ，
又 ，所以， ，即
所以，
则n的最大值为 .
故答案为： .
