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专题 7.3 离散型随机变量的数字特征
姓名： 班级：
重点 离散型随机变量的公式
难点 离散型随机变量的计算
例1-1．已知随机变量 的分布列为：
若 （ ），则 的值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由题意 ，解得 ，故选A。
例1-2．若随机变量 的概率分布列如下表：
则 （ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】据题意，得 ，
∴ ，故选D。
例1-3．已知随机变量 的分布列如下：
若 ，则 （ ）。A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】由数学期望计算公式有： ，∴ ，
由 可得： ，
则 ，故选C。
例1-4．甲、乙两个运动员射击命中环数 、 的分布列如下表。表中射击比较稳定的运动员是（ ）。
环数
A、甲
B、乙
C、一样
D、无法比较
【答案】B
【 解 析 】 、 ， ， 、 ，
，
∴乙稳定，故选B。
[多选]例1-5．随机变量 的分布列为：
其中 ，下列说法正确的是（ ）。
A、
B、
C、 随 的增大而减小
D、 有最大值
【答案】ABD
【解析】A选项，根据分布列的性质得 ，即 ，对，B选项，根据期望公式得 ，对，
C选项，根据方差公式得
，
又∵ ，∴ 随 的增大而增大，再随 的增大而减小，错，
D选项，由C可知当 时， 取得最大值 ，对，
故选ABD。
例1-6．设 ，随机变量 的分布列如表所示，则当 在 内增大时（ ）。
A、 减小
B、 增大
C、 先减小，后增大
D、 先增大，后减小
【答案】A
【解析】 ，故 随 的增大而减小，故选A。
例1-7．已知随机变量 的分布列如下： ，则 的值是（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】由题意得 ，解得 ，
又 ，解得 ，
∴ ，故选C。
例1-8．已知随机变量 的取值为 （ 、 、 ）。若 、 ，则 （ ）。
A、
B、C、
D、
【答案】C
【解析】由题意，设 ，则 ，
又 ，解得 ，∴ 、 ，
则 ，∴ ，故选
C。
例1-9．随机变量 的取值为 、 、 ， ， ，则 。
【答案】
【解析】设 ，其中 ，可得出 ，
∴ ，
∴ ， 解 得
，
∴ 。
例1-10．已知随机变量的 的分布列如图所示，则 ；若 ，则 。
【答案】
【解析】由题意可知： ，∴ ，
又 ，∴ 、 ，
∴ 。
例1-11．某次有奖竞猜活动中，主持人准备了 、 两个相互独立的问题，并宣布：观众答对问题 可获
奖金 元；答对问题 可获奖金 元，答对两题则可获 元。先答哪个问题由观众选择，只有第 题答
对才能答第 题，否则中止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对 、 的概率分别为 、 ，你觉
得应先回答哪个问题？说明理由。
【解析】若先回答问题 ，设获得奖金为 ， 的分布列如下：∴ ，
若先回答问题 ，设获得奖金为 ， 的分布列如下：
∴ ，
从而 ，∴应先回答问题A。
例1-12． 、 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员， 队队员是 、 、 ， 队队员是 、
、 。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 队队员胜的概率 队队员负的概率
对
对
对
现按表中对阵方式出场，每场胜队得 分，负队得 分，设 队、 队最后总分分别为 、 。
（1）求 、 的概率分布；
（2）求 、 。
【解析】（1） 的可能取值分别为 、 、 、 ，
，
，
，
，
根据题意知 ，
则 ， ，
， ；
（2） ，根据题意知 ，∴ 。
