专题7.4二项分布与超几何分布（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修3_02.同步练习_课后培优练2023年

专题 7.4 二项分布与超几何分布 姓名： 班级： 重点 二项分布与超几何分布的特征 难点 二项分布与超几何分布的计算 一、超几何分布 例1-1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好 有一个二等品的概率为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由超几何分布概率公式可知，所求概率为 ，故选D。 例1-2．有 名学生，其中有 名男生。从中选出 名代表，选出的代表中男生人数为 ，则其数学期望为 （ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】随机变量 的所有可能取值为 、 、 、 ， 、 、 、 ， 的分布列为：∴ ，故选B。 例1-3．在含有 件次品的 件产品中，任取 件， 表示取到的次品数，则 。 【答案】 【解析】 满足超几何分布，∴ 。 例1-4．一个盒子装有 个红、白两色同一型号的乒乓球，已知红色乒乓球有 个，若从盒子里随机取出 个乒乓球，则其中含有红色乒乓球个数的数学期望 。 【答案】 【解析】由题设知含有红色乒乓球个数 的可能取值是 、 、 、 ， ， ， ， ， 。 例1-5．期中考试后，老师把学生的成绩分为较低、及格（不含优秀）、优秀三类，制成下表。 类别 较低 及格 优秀 人数 其中低分率与优秀率分别是 与 。 （1）求全班人数及 、 的值； （2）老师重点关注成绩较低的及成绩优秀的学生，利用课外时间给他们的家长打电话做电话家访，为了 保证电话家访的质量，他每天随机打给三位学生的家长，求在第一天老师抽取的三位学生中成绩优秀者的 人数 的分布列及数学期望。 【解析】（1） ， ， ； （2）需要家访的共 人，其中成绩优秀的有 人， 依题意可得 所有可能的取值为 、 、 、 ， 、 、 、 ， 的分布列为：∴ 。 例1-6．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务， 由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注。某部门为了对该城 市共享单车加强监管，随机选取了 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 人根据其满意度评分值（百分制）按照 、 、 、 、 分成 组，制成如图所示的频率分布直方图。 （1）求图中 的值。 （2）已知满意度评分值在 内的男生数与女生数的比为 ，若在满意度评分值为 的人中随机抽取 人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望。 【解析】（1）由 ，解得 ； （2）满意度评分值在 内有 人，其中男生 人，女生 人， 则 的值可以为 、 、 、 ， ∴ ， ， ， ， 则 分布列如下： ∴ 的期望 。 二、二项分布 例2-1．设随机变量 ，则 （ ）。 A、 B、C、 D、 【答案】B 【解析】由二项分布概率公式可得： ，故选B。 例2-2．某人射击一次击中目标的概率为 ，经过 次射击，设 表示击中目标的次数，则 （ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】 ， 故选D。 例2-3．某人投篮一次投进的概率为 ，则他连续投篮 次，且每次投篮相互之间没有影响，则 （ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】由题意可知：随机变量 服从 的二项分布， 由二项分布概率公式： ， 由投进的次数 服从 ，∴ ，故选C。 例2-4．已知随机变量 、 满足 ，且 ，若 ，则 （ ）。 A、B、 C、 D、 【答案】B 【解析】由题意可知 ，解得 ，∴ ， ∵ ，∴ ，故选B。 例2-5．已知离散型随机变量 服从二项分布 ，且 ， ，则 的最小 值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【 解 析 】 离 散 型 随 机 变 量 服 从 二 项 分 布 ， ∴ 有 ， ， ∴ ，即 ，（ 、 ）， ∴ ， 当且仅当 时取得等号，故选B。 例2-6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的 位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵ ，∴解得 或 ， 又∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ，故选C。 例2-7．已知随机变量 ，若 、 ，则 的值为 。 【答案】【解析】由题可知： ，∴ 为 。 例2-8．一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到 的二等品件数，则 。 【答案】 【解析】由于是又放回的抽样，∴抽到二等品的件数符合二项分布，即 ， 由二项分布的方差公式可得 。 例2-9．张明要参加某单位组织的招聘面试。面试要求应聘者有 次选题答题的机会（选一题答一题），若 答对 题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰。已知张明答对每一道题的概率都为 。 （1）求张明进入下一轮的概率； （2）设张明在本次面试中答题的个数为 ，试写出 的分布列，并求 的数学期望。 【解析】（1）张明答 道题进入下一轮的概率为 ， 答 道题进入下一轮的概率为 ， 答 道题进入下一轮的概率为 ， 答 道题进入下一轮的概率为 ， 张明进入下一轮的概率为 ； （2） 可能取值为 、 、 、 ， 当 时可能答对 道题进入下一轮， 也可能打错 道题被淘汰， ， 类似有 ， ， ， 于是 的分布列为： 。 例2-10．一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 。 （1）设 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 的分布列、期望、方差； （2）设 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求 的分布列； （3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。 【解析】（1）由题意可知， 可取 、 、 、 、 、 ，服从二项分布 ， 则 ， ， ， ， ， ， ∴ 的分布列为： ∴ ， ； （2）由题意可知， 可取 、 、 、 、 、 ， 则 ， ， ， ， ， ， ∴ 的分布列为： （3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件 ， 所求概率 。