文档内容
专题 4.5 函数应用
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
2。函数零点的判定定理
条件 结论
函数y＝f(x)在[a，b]上
(1)图象是连续不断的曲线 y＝f(x)在(a，b)内有零点
(2)f(a)f(b)< 0
3．四种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝log x y＝xn y＝kx＋b
a
性质 (a＞1) (a＞1) (n＞0) (k＞0)
在(0，＋∞)
增函数 增函数 增函数 增函数
上的增减性
增长的速度 越来越快 越来越慢 相对较快 不变
图象的变化 越来越陡 越来越平 随n值而不同 直线上升
4．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间
(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax
的增长快xn的增长，因此总存在一个x，当x＞x 时，就会有ax>xn.
0 0
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝log x(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，
a
log x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围
a
内，log x可能会大于xn，但由于log x的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x，当x
a a 0
＞x 时，就会有log x＜xn.
0 a
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝log x(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，
a
但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的
增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝log x(a＞1)的增
a
长速度则会越来越慢，因此总存在一个x，当x＞x 时，就会有log x＜xn＜ax.
0 0 a1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象可知，BD选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，C选项中函数
零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数
零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点.故选：A
2．已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值
范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，作出f(x)图像，
函数 有两个零点，等价于y＝f(x)与y＝b图像有两个交点，
则 ．故选：D．
3．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：因为 与 在定义域上单调递增，
所以 在定义域 上单调递增，
又 ， ，
，
即 ，所以 的零点位于 内；故选：C
4．基本再生数 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感
染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初
始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 随时间t（单位：天）的
变化规律，指数增长率r与 ，T近似满足 .有学者基于已有数据估计出
， .据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的4倍需要
的时间约为（参考数值： ）（ ）
A．0.9天 B．1.8天 C．1.2天 D．3.6天
【答案】D
【解析】把 ， 代入 ，可得 ， ，
当 时， ，则 ，
两边取对数得 ，解得 ．故选：D
5．已知 ， 分别是方程 ， 的根，则 （ ）A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 是函数 的图象与直线 交点 的横坐标， 是函
数 图象与直线 交点 的横坐标，
因为 的图象与 图象关于直线 对称，而直线 也关于直线
对称，所以线段 的中点就是直线 与 的交点，
由 ，得 ，即线段 的中点为 ，
所以 ，得 ，故选：B
6．若函数 唯一的一个零点同时在区间 ， ， 内，那么下列命题中
正确的是（ ）
A．函数 在区间 内有零点
B．函数 在区间 或 内有零点
C．函数 在区间 上无零点
D．函数 在区间 内无零点
【答案】C
【解析】由题意，函数 唯一的一个零点在 内，则函数在 上无零点，
但零点与 的大小未知，排除A，B ，D选项，故选：C
7．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y
（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测
得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中
每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
【答案】C
【解析】当 时，设 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则此时 ，当 时，设 ，
将点 代入 得： ，则此时 ，
综上， ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
则当 时， ，
所以此次消毒的有效时间是 （分钟），故选：C．
8．已知函数 ，则方程 的实数根的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，①当 时， ， ， ，即 ，
②当 时， ， ，
画出函数 的图象，如图所示，
若 ，即 ，无解；
若 ，直线 与 的图象有3个交点，即 有3个不同实根；
若 ，直线 与 的图象有2个交点，即 有2个不同实根；
综上所述，方程 的实数根的个数为5个，故选： ．
9．若关于 的方程 在 上有实数根，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，令 ，则 ，可得
，
设 ，其中 ，任取 、 ，
则 .
当 时， ，则 ，即 ，所以，函数 在 上为减函数；
当 时， ，则 ，即 ，
所以，函数 在 上为增函数.
所以， ， ， ，则 ，
故函数 在 上的值域为 ，
所以， ，解得 .故选：A.
10．已知函数 在区间 上的图像是连续不断的，则“ ”是
“函数 在区间 内有零点”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由零点存在性定理，可知充分性成立；
反之，若函数 在 上满足 ，但其有零点 ，故必要性不成
立；
所以“ ”是“函数 在区间 内有零点”的充分不必要条件故
选：A
11．若关于x的方程 有三个不同的实数解，则实数a的可能取值（ ）
A．－5 B．－2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为 不是方程的解,
所以方程可变形为 ,可考虑函数 与 的图象共有三个公共点,
如图，
当 时，仅1个公共点，不符合；
当 时，结合图象，由方程 有一解，可得 ，
所以 符合要求.故选：A
12．已知 ，若方程 有四个不同的实数根 ，
， ， ，则 的取值范围是（ ）
A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4）
【答案】D
【解析】由方程 有四个不同的实数根，
得函数 的图象与直线 有四个不同的交点，分别作出函数 的图象
与直线 ．
由函数 的图象可知，当两图象有四个不同的交点时， ．
设 与 交点的横坐标为 ， ，设 ，则 ， ，
由 得 ，所以 ，即 ．
设 与 的交点的横坐标为 ， ，设 ，则 ， ，且 ，
所以 ，则 ．故选：D.
二、多选题
13．下列说法正确的是（ ）
A．已知方程 的解在 内，则
B．函数 的零点是 ，
C．方程 的一个实根在区间 内，另一个实根大于 ，则实数
的取值范围是 .
D．若函数 在区间 上有零点，则一定有
【答案】AC
【解析】对于A，令 ，显然 为增函数，
因为 ， ，
所以 在 内有唯一零点，所以方程 在 内有唯一解，
因为方程 的解在 内，所以 ，故A正确；
对于B，令 ，得 或 ，
所以函数 的零点是 和 ，故B不正确；
对于C，令 ，依题意可得 ，即 ，
解得 ，故C正确；
对于D，因为 在 上有两个零点，但是 ，
故D不正确；故选：AC
14．已知函数 的图象在区间 上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 在 内至少有一个零点
B．若 ，则 在 内没有零点
C．若 在 内没有零点，则必有
D．若 在 内有唯一零点， ，则 在 上是单调函数
【答案】AC
【解析】因为 在 ， 上连续，
． （1） ，由零点存在定理可知， 在 内至少有一个零点，故
正确；
．当 时，满足 （1） ，但在 内有一个零点 ，故错误；
． 在 内没有零点，则必有 （1） 等价于 （1） ，则
在 内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；
． 在 内有唯一零点， （1） ，但 在 上不一定是单调
函数，比如 ，故错误．故选： ．
15．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，
把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①
；② ．（参考数据： ）根据如图标准对数视力表中
的数据，下列结论中正确的是（ ）A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8
【答案】BD
【解析】当 时，代入 得： ，代入 得：
.
故选择函数模型②.A错误；B正确.
对于C：当 时，由 解得： ，则小明视力的小数记录数据为1.0.故
C错误；对于D：当 时，由 解得： ，则小明视力的小数记录
数据为0.8.故D正确.故选：BD
16．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域
都有十分广泛的应用，函数 的边际函数 定义为 ．
某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产 台 的收入函数
（单位：元），其成本的数 （单位：元），利
润是收入与成本之差，设利润函数为 ，则以下说法正确的是（ ）A． 取得最大值时每月产量为 台
B．边际利润函数的表达式为
C．利润函数 与边际利润函数 不具有相同的最大值
D．边际利润函数 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
【答案】BCD
【解析】对于A选项， ，
二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，
因为 ，所以， 取得最大值时每月产量为 台或 台，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项， ，
因为函数 为减函数，则 ，C对；
对于D选项，因为函数 为减函数，
说明边际利润函数 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，
D对.故选：BCD.
17．设函数 的定义域为 ，且满足 ， ，当
时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当 时， 的取值范围为
C． 为奇函数 D．方程 仅有5个不同实数解【答案】BCD
【解析】依题意，当 时， ，当 时， ，函数
的定义域为 ，有 ，
又 ，即 ，因此有 ，即
，
于是有 ，从而得函数 的周期 ，
对于A， ，A不正确；
对于B，当 时， ，有 ，则 ，
当 时， ， ，有 ，
，当 时， 的取值范围为 ，B
正确；
对于C， ，函数
为奇函数，C正确；
对于D，在同一坐标平面内作出函数 、 的部分图象，如图：
方程 的实根，即是函数 与 的图象交点的横坐标，
观察图象知，函数 与 的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.
故选：BCD
三、填空题
18．若方程 有正数解，则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】设 ，由 ，得 ，
因为方程 有正数解，
所以方程 在 上有实根．
因为 ，当 时， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 .故答案为： .
19．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载
火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预
定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质
量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的
最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg，当燃
料质量为mkg时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为 时，该火
箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体
质量的_______________倍.（参考数据： ）
【答案】51
【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的
比例系数为k，则 ，解得 ，
设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，则
，得 ，
则燃料质量是箭体质量的51倍故答案为：51.
20．已知关于 的方程 的两个实根一个小于 ，另一个大于 ，则实数
的取值范围是_____．
【答案】
【解析】显然 ，关于 的方程 对应的二次函数
当 时，二次函数 的图象开口向上，
因为 的两个实根一个小于 ，另一个大于 等价于二次函
的图象与 轴的两个零点一个小于0，另一个大于 ，
所以 ，即 ，解得 ；
②当 时，二次函数 的图象开口向下，
因为 的两个实根一个小于 ，另一个大于 等价于二次函
的图象与 轴的两个零点一个小于0，另一个大于 ，
所以 ，即 ，解得 ；综上所述，实数 的范围是 ．
故答案为： ．
21．已知 为 上的偶函数，当 时， ，对于结论
（1）当 时， ；（2）方程 根的个数可以为 ；
（3）若函数 在区间 上恒为正，则实数 的范围是 ；
（4）若 ，关于 的方程 有 个不同的实根.
说法正确的序号是___．
【答案】（1）（2）（4）
【解析】令 ，则 ， ，又函数为偶函数，
，故（1）正确；
令 ，则 ， 为 上的偶函数，
①若 ,可得 或1或 ，由 可得 或 ;
时,可得 ,当 时， ，
的根的个数共7个；
②若 ,且 或 ,则 或 ,所以由①知函数 的根的个
数可为5个;
③若 ，且 且 ,比如 ,则 或 , 所以由①知函数
的根的个数为4个，故（2）正确;
若函数 在区间 上恒为正，即 在 恒成立，
可得 在 恒成立，即 恒成立，
，又 ，
时， 取得最大值 ，则 ，故（3）错误；
由 解得 或 ，当 时， ，0，当 时， ，综上方程有5个根，故（4）正确.
故答案为：（1）（2）（4）
四、解答题
22．已知函数 是偶函数.
(1)当 ，函数 存在零点，求实数 的取值范围；
(2)设函数 ，若函数 与 的图象只有一个公共点，求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解： 是偶函数， ，
即 对任意 恒成立，
，
．即 ，
因为函数 有零点，即方程 有实数根．
令 ，则函数 与直线 有交点，
，又 ， ，
，所以 ，即 的取值范围是 ．
(2)：因为 ，
又函数 与 的图象只有一个公共点，
则关于 的方程 只有一个解，
所以 ，令 ，得 ，
①当 ，即 时，此方程的解为 ，不满足题意，
②当 ，即 时，此时 ，又 ，
，
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当 ，即 时，由方程 只有一正根，则需
，
解得 ，
综合①②③得，实数 的取值范围为： ．
23．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产
产品 (百台)，其总成本为 万元，其中固定成本为 万元，并且每生产 台的生
产成本为 万元(总成本 固定成本 生产成本)，销售收入 满足
，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品数量 应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？
【答案】(1)
(2)当工厂生产 万台产品时，盈利最多， 元 台【解析】(1)依题意， ，设利润函数为 ，则
要使工厂有盈利，即解不等式 ，当 时，
解不等式 ．即 ．
．
当 时，解不等式 ，得 ．
．
综上，要使工厂盈利， 应满足 ，
即产品应控制在大于 台，小于 台的范围内．
(2) 时， ，
故当 时， 有最大值 ．
而当 时， 所以，当工厂生产 万台产品时，盈利最多．
又 时， (元 台)，故此时每台产品售价为 (元 台)．
24．已知函数 与 .
(1)判断 的奇偶性；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)偶函数(2)
【解析】(1)∵ 的定义域为R，
∴ ，∴ 为偶函数.
(2函数 只有一个零点即
即方程 有且只有一个实根.
令 ，则方程 有且只有一个正根.
①当 时， ，不合题意；
②当 时，若方程有两相等正根，则 ，且
，解得 ；满足题意
③若方程有一个正根和一个负根，则 ，即 时，满足题意 .
∴实数a的取值范围为 .
25．已知函数 ．
(1)判断函数f (x)的单调性，并用定义给出证明；
(2)解不等式： ；
(3)若关于x的方程 只有一个实根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)f (x)在R上单调递增；证明见解析；(2) ；(3){－3} （1，+∞）.
【解析】(1)f (x)在R上单调递增；
任取x，x∈R，且x0，问题转化为：
方程 有且只有一个正数根．
①当m=1时， ，不合题意，
②当m≠1时，
（i）若△=0，则m=－3或 ，
若m =－3，则 ，符合题意；
若 ，则t = －2，不合题意，
（ii）若△>0，则m<－3或 ，
由题意，方程有一个正根和一个负根，即 ，解得m>1．
综上，实数m的取值范围是{－3} （1，+∞）．
26．设 是定义在 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数 都
有 ；②当 时， ；③ .
(1)求 的值；(2)判断函数 的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(3)如果存在正数 ，使不等式 有解，求正数 的取值范围.
【答案】(1) ， ；(2) 在 上是单调递减的函数，证明见解析；
(3) .
【解析】(1)根据题意，令 ，有 对任意 都成立，所以 .
因为 可得 ，
；
(2) 在 上是单调递减的函数，理由如下：
对任意的 ，有： ，
，
所以 在 上是单调递减的函数.
(3) ，
由于 在 上是单调递减，
只需要 有解，即 ，
又因为 是正数，只需要 ，即 或 （舍）
当 时，因为二次函数 的对称轴是 ，一定有 ，
，所以在 内 必定有解.综上可知， 的取值范围是 .
