文档内容
河池市 2025 年春季学期高一期末学业水平质量检测
数学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 与 是共轭复数，已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：因为 ，故 .
故选：A.
2. 某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全
校 名学生中抽取了一个容量为 的样本，已知样本的成绩全部分布在区间 内，根据调查结
果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：在频率分布直方图可知，所有直方图面积之和为 ，
所以 ，解得 .
故选：B.3. 下列向量的概念错误的是（ ）
A. 长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B. 零向量和任何向量都是共线向量
C. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D. ， ，则
【答案】D
解析：对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确，
对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确，
对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的
两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确，
对于D，当 为零向量时，此时不一定能得到 ，故D错误，
故选：D
4. 如图，正方体 中，异面直线 与 所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：连结 ，则 ，所以 为异面直线 与 所成的角.
在正方体中，因为 为正三角形，所以 .
故选：C.
5. 如图所示，已知在正方形 中， 、 分别是边 、 的中点， 与 交于点 .设
， ，下列选项错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：对于A选项，由平面向量加法的平行四边形法则可得 ，A错；对于B选项， ，B对；
对于C选项， ，C对；
对于D选项，由题意可得 ， ，
所以 ，故 ，D对.
故选：A.
6. 已知样本空间 ，事件 ，事件 ，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. 事件 与事件 独立 D. 事件 与事件 互斥
【答案】D
解析：对于A, ,故A正确，
对于B, ,故B正确，
对于C,由于 ，则 ，故事件 与事件 独立，C正确，
对于D,事件 与事件 有公共的样本点 ，故不互斥，D错误，
故选：D
7. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，点 在棱 上，
求 的最小值（ ）A. B. C. D.
【答案】D
解析：将平面 、平面 延展为同一个平面，如下图所示：
由图可知，当 、 、 三点共线时， 取最小值，
且 ， ，且 ，
延展后， 、 、 共线，且 ， ， ，
由勾股定理可得 .
的
故 最小值为 .
故选：D.
8. 某市圆形花圃，现要均分成 块，种植 种不同花卉，工匠计划将花圃按左图方式分割.先将花圃均
分成 块，在按照右图将每个 角花圃近似的均分成三块（三部分面积近似均等），从弧 的中点 出发，左右对称分割，已知右图中 ， ， ，则 的长度最接近（
）（ ， ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：因 为，设 ， ，
，
，
即 ，所以 .
故选：B.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设 、 为不重合的两平面， 、 为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ）
A ， ，则B. ， ， ， ， ，则
C ， ，则
D. ， ，则
【答案】BD
解析：对于A选项，若 ， ，则 或 ，A错；
对于B选项，若 ， ， ， ， ，则 ，B对；
对于C选项，若 ， ，则 或 ，C错；
对于D选项，若 ， ，由线面垂直的性质可得 ，D对.
故选：BD.
10. 已知复数 ， 则下列说法正确的是（ ）
A. B. 对应的点在复平面的第三象限
C. ，则 为实数 D. ，则 为纯虚数
【答案】ACD
解析：对于A, ,故A正确，
对于B， ，则对应的点为 ，位于第二象限，故B错误，
对于C, 为实数，故C正确，
对于D, 为纯虚数，故D正确，
故选：ACD
11. 在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为 ，作用在行李包上的两个拉力分别为 ， ，且 ， 与 的夹角为 .给出以下结论，
其中正确的是（ ）
A. 越大越费力， 越小越省力 B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
【答案】AD
解析：对于A，由 为定值，
所以 ，
解得 ；
由题意知 时， 单调递减，且 为定值，由符合函数的单调性可得 单调递增，
即 越大越费力， 越小越省力，故A正确；
对于B，当 时， ，故B错误
对于C，当 时， ，所以 ，故C错误；
对于D，当 时， ，所以 ，故D正确.
故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量 ， ，若 ，则 _____.
【答案】
解析：因为向量 ， ，且 ，则 ，解得 .
故答案为： .
13. 是关于 的方程 的一个根，则实数 __________.
【答案】10
解析：若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数，
即 为该方程的两根，由韦达定理， .
故答案为：10.
14. 正四面体 的棱长为8， 为棱 的中点，过点 作正四面体 外接球的截面，则截面
面积的最小值为_____.
【答案】
解析：由正四面体的特征可知其外接球的球心在高 所在的直线上，设球心为 ，
则 , ,
,
设外接球的半径为 ,则 ,
代入 的值可得 ,
要使过点 作正四面体 外接球的截面中面积最小，则 到球心的距离最大，即 与截面垂直时，
此时截面最小，
则 到球心的距离,
故截面圆的半径为 ,
因此截面圆的面积为 ，
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， .
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】（1）
（2）
（1）
因为 ，
由正弦定理可得 ，故 ，
由余弦定理得 ，因为 ，故 .
（2）
由三角形的面积公式得 ，可得 ，
由余弦定理得 ，
解得 ，故 的周长为 .
16. 2025年NBA选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、
乙两位运动员开展了队内三分投篮对抗赛.在对抗赛中两人每轮投篮10次，共进行10轮，每轮命中的成绩
（个数）如下：
甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10
乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8
（1）求甲运动员的样本数据第75百分位数；
（2）分别计算这两位运动员10轮投篮成绩的平均数和方差；
（3）根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？
【答案】（1）9 （2）甲的平均数为7，方差为4.6，乙的平均数为7，方差为1.2
（3）乙发挥的更加稳定，理由见解析
（1）
甲运动员的成绩从小到大排列为 ，
，故甲运动员的样本数据第75百分位数为9，
（2）
甲的平均数为 ，
方差为
乙的平均数为方差为
（3）
由（2）知： ，
故乙发挥的更加稳定.
17. 一个不透明的袋中装有除了颜色外大小、质地均一致的4个小球，其中3个红球，1个白球，设计了两
个摸球游戏，其规则如下表所示：
游戏1 游戏2
摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球
获胜规则 若摸出2个红球，则甲获胜，否则乙获胜
（1）写出游戏1与游戏2的样本空间，并分别求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率；
（2）甲与乙两人玩游戏1，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游
戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率.
【答案】（1） ， ，
（2）
（1）
记三个红球为 号，记白球为 号，用 表示两次摸球的情况，
记游戏1与游戏2的样本空间分别为 ，
记 “在游戏1中甲获胜”，记 “在游戏2中甲获胜”， ，
（2）
记 “甲获得第 局游戏胜利”， ，记 “甲获得比赛胜利”
由（1），
18. 如图，已知三棱锥 中，平面 平面 ， 平面 ， 为 的中点，
为等边三角形， 为 中点， .
（1）证明： 平面 ；
的
（2）求直线 与平面 所成角 大小；
（3）求二面角 的正切值.
【答案】（1）证明见解析（2）
（3）
（1）
因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，故 平面 .
（2）
取线段 的中点 ，连接 ，如下图所示：
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
故直线 与平面 所成角为 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 ，
因为 为 的中点，故 为 的中点，
又因为 为等边三角形，故 ，因此，直线 与平面 所成角为 .
（3）
连接 ，分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，如下图所示：
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，
，
同理可得 ， ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 、 平面 ，所以 ， ，
又∵ 平面 , 平面 ，∴ ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
故二面角 的平面角为 ，且 ，
因此，二面角 的正切值为 .
19. 已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数.
（1）记向量 的相伴函数为 ，若当 且 时，求 的值；
（2）设 ，试求函数 的相伴特征向量 ，并求出与
同向的单位向量；
（3）已知 为函数 的相伴特征向量，若在 中， ， ，若点
为该 的外心，求 的最大值.
【答案】（1）
（2） ，
（3）
（1）
根据题意知，向量 的相伴函数为 ，
当 时， ，
又 ，则 ，所以 ，故 .
（2）
因为 ，
整理得到 ，故函数 的相伴特征向量 ，则与 同向的单位向量为 .
（3）
由题意得， ，
在 中， ， ，又 ，因此 ，
设 外接圆半径为 ，根据正弦定理， ，故 ，
所以 ，
，
，
代入可得 ，
所以当 时， 取得最大值 ．
