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专题 5.2 三角函数概念
知识点一．任意角的三角函数的定义
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以__单位长度__为半径的圆为单位圆．
(2)三角函数的定义
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
__y__叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；
__x__叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；
____叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数
值的函数．
③由三角形相似的知识，我们也可以利用角 α终边上任意一点的坐标来定义三角
函数．
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r
＝>0)，那么：
比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝____；
比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝____；
比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝____.
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数
值的函数，我们将它们统称为三角函数．
[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围
是使函数有意义的实数集．
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成
是自变量为实数的函数．
(3)定义域：如表所示
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 y＝sinx __R__
余弦函数 y＝cosx __R__
正切函数 y＝tanx __ { x | x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z } __2.三角函数值的符号
sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下：
[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三
象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
3．公式一(k∈Z)
sin(α＋2kπ)＝__ sin α __，
cos(α＋2kπ)＝__ cos α __，
tan(α＋2kπ)＝__ tan α __.
知识点二：同角三角函数的基本关系式
1．公式
(1)平方关系：__ sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .__
(2)商数关系：__ ＝ tan α .__α≠kπ＋(k∈Z)
[知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”
一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋
cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α
的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α
＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cos2α＝1⇒
tanα＝⇒
[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？
(1)使用变形公式sinα＝±，cosα＝±时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，
而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．
一、单选题1．在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，它的终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．已知角 的终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．－2
4．已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
5．在平面直角坐标系xOy中，角 与 均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知 是第一象限角，若 ，那么 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
7．已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，
则 （ ）
A． B． C． D．8．平面直角坐标系 中，角 的顶点在坐标原点 ，始边是 轴的非负半轴，终边
经过点 ，若 ，则 （ ）
A．-2 B． C． D．2
9．已知 是角 终边上一点，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
10．若 ，则 的值为
A． B． C． D．
11．若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
12．已知 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
13．已知角 的终边在第三象限，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
14．已知角 ， ，则 （ ）A．2 B． C．1 D．-1
15．若 ，且 ，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
16．已知 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
17．若 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
18．已知函数 （ 且 ）的图像经过定点 ，且点 在角 的终
边上，则 （ ）
A． B．0 C．7 D．
19．已知角 的终边经过点 ，且 ，则实数的a值是（ ）
A． B． C． 或 D．1
20．已知 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题21．已知 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求实数 的值．
22．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
23．已知 是第二象限角，
(1)求 的值；
(2)若 ，求tan ．
24．已知 ， .
(1)求 的值.
(2)求 的值.
(3)求 的值.
25．（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，且 ，求 的值.
