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专题 5.2 三角函数概念
知识点一．任意角的三角函数的定义
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以__单位长度__为半径的圆为单位圆．
(2)三角函数的定义
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
__y__叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；
__x__叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；
____叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数
值的函数．
③由三角形相似的知识，我们也可以利用角 α终边上任意一点的坐标来定义三角
函数．
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r
＝>0)，那么：
比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝____；
比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝____；
比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝____.
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数
值的函数，我们将它们统称为三角函数．
[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围
是使函数有意义的实数集．
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成
是自变量为实数的函数．
(3)定义域：如表所示
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 y＝sinx __R__
余弦函数 y＝cosx __R__
正切函数 y＝tanx __ { x | x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z } __2.三角函数值的符号
sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下：
[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三
象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
3．公式一(k∈Z)
sin(α＋2kπ)＝__ sin α __，
cos(α＋2kπ)＝__ cos α __，
tan(α＋2kπ)＝__ tan α __.
知识点二：同角三角函数的基本关系式
1．公式
(1)平方关系：__ sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .__
(2)商数关系：__ ＝ tan α .__α≠kπ＋(k∈Z)
[知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”
一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋
cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α
的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α
＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cos2α＝1⇒
tanα＝⇒
[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？
(1)使用变形公式sinα＝±，cosα＝±时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，
而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．
一、单选题1．在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，它的终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【来源】北京市石景山区2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】根据正弦函数的定义可得 .故选：D.
2．已知角 的终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）
数学试题
【答案】D
【解析】角 的终边经过点 ，则 ，
由三角函数的定义可得： .故选：D.
3．已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．－2
【来源】陕西省渭南市白水县2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】A
【解析】：因为角 的终边经过点 ，
所以 .故选：A.
4．已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．【来源】陕西省渭南市华阴市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】由题意 ，解得 ．故选：C．
5．在平面直角坐标系xOy中，角 与 均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省榆林市第一中学2021-2022学年高一下学期期中文科数学试题
【答案】A
【解析】设角a与β的终边分别与单位圆交于点 、 ，
因为它们的终边关于y轴对称，
所以 且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．故选：A.
6．已知 是第一象限角，若 ，那么 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【来源】陕西省西安市鄠邑区第二中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试
题
【答案】C
【解析】由 是第一象限角知 ， ，
当 为奇数时， 在第三象限，当 为偶数时， 在第一象限，
又 ，可知 在第三象限.故选：C.7．已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，
则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】北京市昌平区2021-2022学年高一下学期期末质量抽测数学试题
【答案】D
【解析】因为角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线
上，
所以 ，故选：D
8．平面直角坐标系 中，角 的顶点在坐标原点 ，始边是 轴的非负半轴，终边
经过点 ，若 ，则 （ ）
A．-2 B． C． D．2
【来源】辽宁省丹东市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】由题意， ，解得 ，
故选：B．
9．已知 是角 终边上一点，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省渭南市富平县2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：因为 是角 终边上一点， ，故点 位于第二
象限，所以 ， ，
整理得： ，因为 ，所以 .故选：D.
10．若 ，则 的值为
A． B． C． D．
【来源】内蒙古自治区赤峰市赤峰红旗中学2021-2022学年高一上学期期末数学文科
试题
【答案】C
【解析】由 ，整理得 ，
所以 ，
又由三角函数的基本关系式，可得由
解得 ，所以 .故选C.
11．若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【来源】山西省怀仁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】C由题意可得 ，解得 或 ，
因此， 或 .故选：C.
12．已知 ，且 ，则 ( )A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 .故选：B.
13．已知角 的终边在第三象限，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【来源】北京市第二中学2021-2022学年高一下学期第四学段考试数学试题
【答案】C
【解析】由角 的终边在第三象限，则
由题设知 ，解得 ，
所以 故选：C
14．已知角 ， ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．-1
【来源】浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高一下学期返校考数学试题
【答案】A
【解析】由 ，解得 或 ，
因为 ，故 .故选：A
15．若 ，且 ，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【来源】陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年高一下学期期中数学试题
【答案】D
【解析】解：因为 ， ，所以 ，且 ，
故a是第四象限角．故选：D
16．已知 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【来源】辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
【答案】A
【解析】 ，
或 ，
或 ，
，故选：A．
17．若 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】贵州省黔东南州凯里市第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】A
【解析】：由 得 ，∴ 或 ，
因为 ， ，所以 .
由 及 得 ，∴ ，
所以 ．故选：A
18．已知函数 （ 且 ）的图像经过定点 ，且点 在角 的终
边上，则 （ ）
A． B．0 C．7 D．
【答案】D
【解析】:令 得 ,故定点 为 ,
所以由三角函数定义得 ，
所以 故选：D
19．已知角 的终边经过点 ，且 ，则实数的a值是（ ）
A． B． C． 或 D．1
【来源】江苏省镇江市扬中市第二高级中学2021-2022学年高一下学期3月第一次阶段
检测数学试题
【答案】B【解析】由题设， 且 ，即 ，
∴ ，则 ，解得 或 ，
综上， .故选：B.
20．已知 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】北京市第一六一中学2021-2022学年高一下学期期中阶段练习数学试题
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ,
因此 ，故选：A
二、解答题
21．已知 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求实数 的值．
【来源】河北省保定市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由 ，可得
所以 ，即 ，所以
(2)由 ，可得 ，
解得 或 ，
而 ，所以 ，解得 ，
所以 ．
22．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【来源】江西省南昌市第二中学2021—2022学年高一下学期第一次月考数学试题
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：
，
解得：
(2)解：
23．已知 是第二象限角，
(1)求 的值；(2)若 ，求tan ．
【来源】广西钦州市2021-2022学年高一下学期教学质量监测（期末）数学试题
【答案】(1)0(2)
【解析】(1)因为 是第二象限角，所以 ，故
(2) 是第二象限角， ，由 ，故 ，因此
24．已知 ， .
(1)求 的值.
(2)求 的值.
(3)求 的值.
【来源】辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)解：因为 ，
所以 ，
所以 ；
(2)解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ；
(3)解：由（2）得 ，则
.
25．（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，且 ，求 的值.
【来源】宁夏银川市第二中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由 知
原式=
（2）
又
原式= = =
