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专题 5.5 三角恒等变换
（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．C ：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
(α－β)
C ：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
(α＋β)
S ：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
(α＋β)
S ：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；
(α－β)
T ：tan(α＋β)＝；
(α＋β)
T ：tan(α－β)＝.
(α－β)
2．变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tanαtanβ)；
sincos 2sin(∓ )
4
.
sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，
cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，
3．辅助角公式：
函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，
其中φ可由a，b的值唯一确定．
（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.S ：sin 2α＝2sinαcosα；
2α
C ：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
2α
T ：tan 2α＝.
2α
2.变形公式：
（1）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，sin αcos α＝sin 2α.
（2）升幂公式
1＋cos α＝2cos2；
1－cos α＝2sin2；
1＋sin α＝；
1－sin α＝.
（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2
（4）sin 2α＝＝；
cos 2α＝＝.
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司tan ＝＝.
（三）常见变换规律
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟
悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β
＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把
正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
一、单选题
1． 等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】由两角和的余弦公式得：
故选：C
2．已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题
【答案】D
【解析】：因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
试卷第2页，共3页
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：D
3．已知 均为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】：因为 ，
所有 ，则 ，
又 均为锐角，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .故选：A.
4．已知 ， ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】 ，解得 ，
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：B
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C．± D．±
【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B卷）
【答案】D
【解析】 ，则 ，即 ，
故 ，所以 ，故 ，
所以
故选：D
6．下面公式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】
试卷第4页，共3页
学科网（北京）股份有限公司对A， ，故A错误；
对B， ，故B错误；
对C， ，故C错误；
对D， ，故D正确；故选：D
7．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末
数学试题
【答案】B
【解析】：因为 ， ，
所以
.故选：B
8．设 ， ， ，则a，b，c大小关
系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题
【答案】C
【解析】 ，
试卷第5页，共3页
学科网（北京）股份有限公司，
，
因为函数 在 上是增函数，
故 ，即 .故选：C.
9．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A）
【答案】B
【解析】：因为 ，所以
故选：B
10．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题
【答案】D
试卷第6页，共3页
学科网（北京）股份有限公司【解析】：因为 ，
所以 .故选：D.
11．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题
【答案】B
【解析】：因为 ，
即 ，
即
即 ，即 ，所以
，
所以
.故选：B
12．已知 ， 是第三象限角，则 =（ ）
试卷第7页，共3页
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）
数学试题
【答案】A
【解析】由 ， ，可得
由 是第三象限角，可得
则
故选：A
13．若 ， ，且 ， ，则 的值是
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】 ，又∵ ，
∴ .
又∵ ，∴ ，
于是
，易得 ，则 .
试卷第8页，共3页
学科网（北京）股份有限公司故选：B.
14． （ ）
A． B． C． D．
【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题
【答案】D
【解析】原式
.故选：D.
15．若 ，则角 的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
【答案】A
【解析】∵ ，
，
由 ， ，得 ， ，
若 ，
则
，
试卷第9页，共3页
学科网（北京）股份有限公司与 矛盾，故舍去，
若 ，
则
，
又 ，
.
故选：A.
16．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题
【答案】A
【解析】由 ，得 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以
所以 ．
故选：A
17．已知 ， ，则 （ ）
试卷第10页，共3页
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：因为 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，
又 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以
；
故选：D
18．若 ，则
（ ）
A． B．
试卷第11页，共3页
学科网（北京）股份有限公司C． D．
【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
【答案】C
【解析】
，
因为
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
则 ．故选：C
19．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】A
【解析】由 得：
，
试卷第12页，共3页
学科网（北京）股份有限公司所以， ，
所以， .
故选：A.
20．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ．
又 ，
所以 ，
故选：C.
二、多选题
21．对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小值为
C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递增
试卷第13页，共3页
学科网（北京）股份有限公司【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题
【答案】AB
【解析】 ，
，A正确；
最小值是 ，B正确；
，C错误；
时， ， 时， 得最小值 ，因此函数不
单调，D错误，故选：AB．
22．下列各式中，值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
【答案】ABC
【解析】A： ，符合；
B： ，符合；
C： ，符合；
D： ，不符合.
故选：ABC
23．已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 的最小正周期为
试卷第14页，共3页
学科网（北京）股份有限公司B．直线 是 图象的一条对称轴
C． 在 上单调递增
D．若 在区间 上的最大值为 ，则
【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
【答案】BD
【解析】： ，
所以 的最小正周期为 故A不正确；
因为 ，所以直线 是 图象的一条对称轴，故B正确；
当 时， ，而函数 在 上不单调，故 不正确；
当 时， ，
因为 在区间 上的最大值为 ，即 ，
所以 ，所以 ，解得 ，故D正确.
故选：BD.
24．已知函数 的周期为 ，当 时，
的（ ）
A．最小值为 B．最大值为 C．零点为 D．增区间为
【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题
试卷第15页，共3页
学科网（北京）股份有限公司【答案】BCD
【解析】
，
因为 的周期为 ，所以 ，得 ，
所以 ，
当 时， ，所以 ，所以
，所以 的最小值为 ，最大值为2，所以A错误，B正确，
由 ， ，得 ，解得 ，所以
的零点为 ，所以C正确，
由 ，得 ，所以 的增区间为 ，所以D正确，
故选：BCD
25．关于函数 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， 满足 ，则 成立；
B． 在区间 上单调递增；
试卷第16页，共3页
学科网（北京）股份有限公司C．函数 的图象关于点 成中心对称；
D．将函数 的图象向左平移 个单位后将与 的图象重合．
【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
【答案】ACD
【解析】
，
对于A，若 ， 满足 ，则
成立，故A正确；
对于B，由 ，得： ，即
在区间 上单调递增，故B错误；
对于C，因为 ，所以函数 的图象关于点 成中
心对称，故C正确；
对于D，将函数 的图象向左平移 个单位后得到
，其图象与 的
图象重合，故D正确．
故选：ACD
试卷第17页，共3页
学科网（北京）股份有限公司三、解答题
26．求下列各式的值
(1)
(2)
(3)
(4)
【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】(1)0；(2) ；(3) ；(4) .
【解析】(1) .
(2)
.
(3) .
(4) .
27．已知 ，其中 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值.
【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A组）
试卷第18页，共3页
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) (2)
【解析】(1)由 可得 ，因为 ，故 ，进
而
(2) ，故 ；
28．已知角 为锐角， ，且满足 ，
(1)证明： ；
(2)求 .
【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)证明：因为 ，
所以 ，
因为 为锐角且函数 在 上单调递增，所以
(2)由 ，结合角 为锐角，解得 ， ，
因为 ，且
试卷第19页，共3页
学科网（北京）股份有限公司所以 .
又 ，
所以
29．已知 ， 为锐角， ， ．
(1)求 的值；
(2)求角 ．
【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】(1) (2)
【解析】(1)因为 ，所以 ，又
所以
所以
(2)因为 ， 为锐角，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ．
试卷第20页，共3页
学科网（北京）股份有限公司又 为锐角， ，所以 ，
故
，
因为 为锐角，所以 ．
30．已知
(1)求 的值；
(2)若 都是锐角， ，求 的值.
【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解： ，
.
(2)因为 都是锐角,所以 ， ，
，
31．已知 是方程 的两根，求下列各式的值：
(1)
试卷第21页，共3页
学科网（北京）股份有限公司(2) ；
(3) .
【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数
学试题
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）由题意可知：
（2）
（3）
试卷第22页，共3页
学科网（北京）股份有限公司试卷第23页，共3页
学科网（北京）股份有限公司
