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专题 6.3 二项式定理
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重点 二项式定理的相关公式。
难点 二项式定理的应用。
1
(√x+ ) 8
2√x
例1-1． 的展开式中常数项为（ ）。
35
16
A、
35
8
B、
35
4
C、
105
D、
【答案】B
1 1
T =Ck ⋅(√x) 8−k ⋅( ) k =( ) k ⋅Ck ⋅x4−k
【解析】 k+1 8 2√x 2 6 ，令4−k=0，则k=4，
1 35
T =( ) 4 ⋅C4 =
5 2 6 8
∴ ，故选B。
(1+x) 7 x2
例1-2． 的展开式中 的系数是（ ）。
A、21
28
B、
35
C、
D、42
【答案】A
【解析】
T
3
=C
7
2 ⋅15 ⋅x2 =21x2
，∴
x2
的系数为21，故选A。
例1-3．设a∈Z，且0≤a<13
，若
512021
+a
能被
13
整除，则a=（ ）。
A、0
B、1
C、11
D、12
【答案】D
【解析】∵
51=52−1， (52−1) 2021 =C
2
0
021
⋅522021 −C
2
1
021
⋅522020 +¿⋅¿−C
2
2
0
0
2
2
1
0 ⋅521 +1
，又∵ 52 能被 13 整除，∴只需1+a能被 13 整除，0≤a<13 ，∴a=12 ，故选D。
1
(x2 +2)( −1) 5
例1-4．
x2
的展开式的常数项是（ ）。
A、−3
B、−2
C、2
D、3
【答案】D
1
【解析】第一个因式取
x2 ，第二个因式取x2
，得
1×C
5
1 ×(−1) 4 =5
，
第一个因式取2，第二个因式取
(−1) 5
，得
2×(−1) 5 =−2
，
∴展开式的常数项是5−2=3，故选D。
1
(2x2
− )
5
x
例1-5．在 的二项展开式中，x的系数为（ ）。
A、−40
B、−10
10
C、
40
D、
【答案】A
1
T =Ck ⋅(2x2 ) 5−k ⋅(− ) k =(−1) k ⋅Ck ⋅25−k ⋅x10−3k
【解析】
k+1 5 x 5
，令
10−3k=1，k=3，
∴
T
4
=(−1) 3 ⋅C
5
3 ⋅22 ⋅x=−40x ，∴x的系数为−40
，故选A。
(x+y) 2m (x+y) 2m+1
例1-6．设m为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为a， 展开式的二项式系数的
最大值为b。若 13a=7b，则m=（ ）。
A、5
B、6
C、7
D、8
【答案】B
(2m)!
【解析】 (x+y) 2m 展开式的二项式系数的最大值为 a=C 2 m m = m!m! ，
(2m+1)!
b=Cm
=
(x+y) 2m+1
展开式的二项式系数的最大值为
2m+1 (m+1)!m!
，
又
13a=7b，解得m=6，故选B。2
(x2
− )
5
例1-7．
x3
展开式中的常数项为（ ）。
A、−80
B、−40
40
C、
80
D、
【答案】C
【解析】 T k+1 =C 8 k ⋅(−2) k ⋅x10−5k ，当k=2时，得常数项为 40 ，故选C。
1
(3x+ ) n
x√x n∈N
例1-8．使 （ +）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）。
A、4
B、5
C、6
D、7
【答案】B
5 5
n− k n− k=0
【解析】 T k+1 =C n k3n−kx 2 ，当 2 时得常数项，当k取最小值时n取最小值为5，故选B。
(1+x) 8 ⋅(1+y) 4 x2 ⋅y2
例1-9． 的展开式中 的系数是（ ）。
56
A、
84
B、
C、112
168
D、
【答案】D
(1+x) 8 x2 C2 (1+y) 4 y2 C2
【解析】 的展开式中 的系数是 8， 的展开式中 的系数是 4，
(1+x) 8 ⋅(1+y) 4 x2 ⋅y2
则根据多项式乘法法则可得 的展开式中 的系数为：
C2 ⋅C2 =28×6=168
8 4 ，故选D。
例1-10．若
(2x−1) 2022 =a
0
+a
1
⋅x+a
2
⋅x2 +¿⋅¿+a
2022
⋅x2022
（x∈R），则
1 a a a
2 3 2022
+ + +¿⋅¿+ =
2 22 ×a 23 ×a 22022 ×a
1 1 1 （ ）。
1
−
2022
A、
1
−
4044
B、1
4044
C、
1
2022
D、
【答案】B
1 a a a
x= a + 1 + 2 +¿⋅¿+ 2022 =0
【解析】令 2 ，则 0 2 22 22022 ，令x=0，则 a 0 =−1 ，
a⋅x=C2021 ⋅(2x) 1 ⋅(−1) 2021 =−4044x a =−4044
又 1 2022 ，∴ 1 ，
1 a a a 1 1 a a a 1
2 3 2022 2 3 2022
+ + +¿⋅¿+ = + ( + +¿⋅¿+ )=−
2 22 ×a 23 ×a 22022 ×a 2 a 22 23 22022 4044
∴ 1 1 1 1 ，
故选B。
a
(x+ ) 8
例1-11．若 √
3
x 的展开式中
x4
的系数为7，则实数a= 。
1
2
【答案】
4 4 1
【解析】 T k+1 =C 8 k ⋅ak ⋅x
8−
3
k
，令
8−
3
k=4
，得k=3，∴ C3 8 ⋅a3 =7 ，解得
a=
2 。
1 1
(x+ ) n
例1-12．若
x 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中x2
的系数为 。
56
【答案】
【解析】
C2
n
=C6
n，∴n=8，
T
k+1
=C
8
k ⋅x8−2k
，令8−2k=−2，得k=5，
1
T 6 =C5 8 ⋅( x ) 2 C5 =56
∴ ，系数为 8 。
(x−1) 2021 =a +a⋅x+a⋅x2 +¿⋅¿+a ⋅x2021 a +a =
例1-13．设 0 1 2 2021 ，则 1010 1011 。
【答案】0
1011 1012 a +a =0
【解析】第 项和第 项二项式系数最大，从而这两项的系数互为相反数，即 1010 1011 。
(2x−1) 5 +(x+2) 4 =a +a⋅x+a⋅x2 +a ⋅x3 +a ⋅x4 +a⋅x5 |a |+|a |+|a |=
例1-14．设 0 1 2 3 4 5 ，则 0 2 4
。
110
【答案】
a =(−1) 5 +24 =15 a =C3 ⋅22 ⋅(−1) 3 +C2 ⋅22 =−16 a =C1 ⋅24 ⋅(−1) 1 +C0 ⋅20 =−79
【解析】 0 ， 2 5 4 ， 4 5 4 ，
|a |+|a |+|a |=15+16+79=110
则 0 2 4 。
2
(√x+ ) n
例1-15．已知 √ 3 x 的展开式的前三项系数的和为 129 ，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？
如果没，请说明理由。3n−5k
【解析】 T k+1 =C n k ⋅2k ⋅x 6 ，则 C0 n +C1 n ⋅2+C2 n ⋅22 =129 ，解得n=8，
24−5k 24−5k
=0
∴ T k+1 =C 8 k ⋅2k ⋅x 6 ，且0≤k≤8，则 6 无整数解，∴不存在常数项，
24−5k 5k 24−5k
=4− ∈Z
又 6 6 ，当k=0或6时 6 ，即存在有理项，
1792
T =26 ⋅C6 ⋅x−1 =
T =x4 7 8 x
有理项为 1 、 。
例1-16．设
(1−2x) 2021 =a
0
+a
1
⋅x+a
2
⋅x2 +¿⋅¿+a
2021
⋅x2021
（x∈R）。
a +a +a +¿⋅¿+a
（1）求 0 1 2 2021的值；
a +a +a +¿⋅¿+a
（2）求 1 3 5 2021的值；
|a |+|a |+|a |+¿⋅¿+|a |
（3）求 0 1 2 2021 的值。
【解析】（1）令x=1，得
a
0
+a
1
+a
2
+¿⋅¿+a
2021
=(−1) 2021 =−1
；
（2）令x=−1，得
a
0
−a
1
+a
2
−¿⋅¿−a
2021
=32021
，
2(a +a +a +¿⋅¿+a )=−1−32021
又由（1）可知： 1 3 5 2021 ，
1+32021
a +a +a +¿⋅¿+a =−
1 3 5 2021 2
∴ ；
（3）
T
r+1
=C
2
r
021
⋅(−1) r ⋅2r ⋅(x) r
，∴
a
2k+1
<0
，
a
2k
>0
，（k∈N），
|a |+|a |+|a |+¿⋅¿+|a |=a −a +a −¿⋅¿−a =32021
∴由（2）可知： 0 1 2 2021 0 1 2 2021 。
1
例1-17．设a>0，若(1+a⋅x2
)
n
的展开式中含
x2
项的系数等于含x项的系数的9倍，且展开式中第3项等
于
135x，求a的值。
r
【解析】通项公式为 T r+1 =Cr n ⋅ar ⋅(x) 2 ，若含 x2 项，则r=4，此时的系数为 C n 4 ⋅a4 ，
若含x项，则r=2，此时的系数为
C2
n
⋅a2
，
C4 ⋅a4 =9C2 ⋅a2 C4 ⋅a2 =9C2 T =135x C2 ⋅a2 =135
根据题意有 n n ，即 n n①，又 3 ，即有 n ②，
C4 9C2
n n
=
C2 135
由①②两式相除得 n ，
5
n=
结合组合数公式整理可得 3n2 −23n+30=0 ，解得n=6或 3 （舍），
将n=6代入②中得 15a2 =135 ，∴ a2 =9 ，∵a>0，则a=3。
f(x)=(1+2x) m +(1+4x) n n∈N 36 x2
例1-18．已知 （m、 +）的展开式中含x项的系数为 ，求展开式中含
项的系数最小值。(1+2x) m +(1+4x) n C1 ⋅2x+C1 ⋅4x=(2C1 +4C1 )⋅x
【解析】 展开式中含x的项为 m n m n ，
∴
2C1
m
+4C1
n
=36 ，即m+2n=18
，
(1+2x) m +(1+4x) n
展开式中含
x2
项的系数为：
t=C2
m
⋅22 +C2
n
⋅42 =2m2 −2m+8n2 −8n ，∵m+2n=18 ，∴m=18−2n，
37 153
t=2(18−2n) 2 −2(18−2n)+8n2 −8n=16n2 −148n+612=16(n2 − n+ )
4 4
∴ ，
37
n=
∴当 8 时t取最小值，但 n∈N +，∴n=5时t即 x2 项的系数最小值为 272 。
1 1
例1-19．设(5x2 −x3 ) n 的展开式各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M−N=992 。
x2
（1）判断该展开式中有无 项?若有，求出它的系数；若没有，说明理由；
（2）求此展开式中有理项的项数。
【解析】（1）令x=1，得M=4n
，
N=2n ，由M−N=992
得
4n −2n =992
，即
(2n −32)(2n +31)=0
，
1 1 15−r
故 2n =32 ，n=5， T r+1 =C 5 r ⋅(5x2 ) 5−r ⋅(−x3 ) r =(−1) r ⋅C 5 r ⋅55−r ⋅x 6 ，
15−r
由题意令 6
=2
，解得r=3，故含 x2 项存在，它的系数为 (−1) 3 ⋅C 5 3 ⋅55−3 =−250 ；
{
15 −r
∈Z
¿
{0≤r≤5¿¿¿¿
6
（2）展开式中的有理项应满足 ，则r只能取3，即展开式中只有一项有理项。
