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专题 7.1 条件概率与全概率公式
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重点 条件概率的公式及其应用。
难点 全概率公式的应用。
例1-1．同时抛掷一个红骰子和一个蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A，
“两个骰子的点数之积为奇数”为事件B，则 P(B|A)= （ ）。
1
A、6
1
4
B、
1
3
C、
1
2
D、
【答案】D
1 1 1 1
P(A)= P(AB)= × =
【解析】 2 ，若A、B同时发生，则蓝色骰子向上点数为偶数，则 2 2 4 ，
P(AB) 1
P(B|A)= =
∴
P(A) 2
，故选D。
例1-2．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性
别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 P(B|A)= （ ）。
1
3
A、
4
7
B、
2
3
C、
3
4
D、
【答案】A
C2 +C2 3 C2 1 P(AB) 1
P(A)= 4 3 = P(AB)= 3 = P(B|A)= =
【解析】由已知得
C
7
2 7
、
C
7
2 7
，则
P(A) 3
，故选A。
4 2
15 15
例1-3．某市气象台统计，2022年3月1日该市市区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的1
概率为 10 ，设事件A为下雨，事件B为刮风，则 P(A|B)= （ ）。
2
5
A、
3
8
B、
1
2
C、
3
4
D、
【答案】D
4 2 1
P(A)= P(B)= P(AB)=
15 15 10
【解析】由题意可知 、 、 ，
P(AB) 3
P(A|B)= =
利用条件概率的计算公式可得：
P(B) 4
，故选D。
例1-4．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，
记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则 P(A|B)= （ ）。
2
9
A、
3
8
B、
3
4
C、
8
9
D、
【答案】A
【解析】事件AB：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，
A3
∴其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为 3，
事件B：甲选羽毛球，∴其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为
33
，
A3
3
P(AB) 44 2
P(A|B)= = =
P(B) 33 9
∴
44
，故选A。
A={至少有一枚骰子6点向上} B={两枚骰子都是6点向上}
例1-5．两枚均匀的骰子一起投掷，记事件 ，
P(B|A)=
则 （ ）。1
6
A、
1
11
B、
1
12
C、
1
36
D、
【答案】B
5 5 11
1− × =
【解析】至少有一枚骰子6点向上的概率为 6 6 36 ，两枚骰子都是6点向上的概率为
1 1 1
× =
6 6 36
，
1
36 1
=
11 11
故至少有一枚骰子6点向上的条件下，另一枚骰子也是6点向上的概率是36 ，故选B。
例1-6．为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体防伪能力，保持人民币系列化，中国人民银
行发行了 2019 年版第五套人民币 50 元、 20 元、 10 元、1元纸币和1元、5角、1角硬币，同时升级了原
有的验钞机现从混有4张假钞的 10 张 50 元钞票中任取两张，其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的
概率是（ ）。
1
6
A、
1
5
B、
1
3
C、
2
D、5
【答案】B
【解析】设事件A表示“两张都是假钞”，事件B表示“两张中至少有一张是假钞”，
2
P(AB) 15 1
P(AB)=
C2
4 = 6 = 2 P(B)=
C1
4
⋅C1
6
+C2
4 = 2
P(A|B)=
P(B)
=
2
=
5
则 C 1 2 0 45 15 ， C 1 2 0 3 ，∴ 3 ，
1
∴所求概率为5，故选B。
例1-7．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个。每次从该箱中取1个球 （有放回，每球取到的机会均等），共取三次。设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次
P(B|A)=
取到的球颜色都相同”，则 （ ）。
1
6
A、
1
3
B、
2
3
C、
3
4
D、
【答案】B
3C1 ⋅C1 ⋅C1 3(C1 ⋅C1 ⋅C1 +C1 ⋅C1 ⋅C1
)
P(AB)= 2 2 2 P(A)= 2 2 4 2 2 2
C1 ⋅C1 ⋅C1 C1 ⋅C1 ⋅C1
【解析】由题意 6 6 6 ， 6 6 6 ，
P(AB) 1
P(B|A)= =
则
P(A) 3
，故选B。
例1-8．一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中
不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S。在已知S为偶数的情况下，S能被3整除的概率为（
）。
1
4
A、
1
3
B、
5
12
C、
2
3
D、
【答案】B
【解析】记“S能被3整除”为事件A，“S为偶数”为事件B，
事件AB包括的基本事件有 {1，5} 、 {2，4} ，
事件B包括的基本事件的个数为
C
3
2 +C
3
2 =6
，
2 6 P(AB) 1
P(AB)= P(B)= P(A|B)= =
C2 C2 P(B) 3
则 6、 6，则 ，故选B。
例1-9．桌子上放有5张学生的期中考试数学卷，有3张在 130 分以上，2张在 90 分以下，老师为了准确了
130 90
解学生情况，每次任取一张，不放回地取两次，若第一次取到 分以上的一张，则第二次取到 分以下
的一张试卷的概率为 。1
2
【答案】
【解析】记事件A={第一次取到的是 130 分以上试卷}，事件B={第二次取到的是 90 以下试卷}，
事件A发生所包含的基本事件数
n(A)=3×4=12
，
由题意可得事件B发生所包含的基本事件数
n(A∩B)=3×2=6
，
1
P(B|A)=
2
∴ 。
例1-10．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读
者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼。已知某学生通过第
一关的概率为0.8，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5，则该同学两关均通过的概率为
。
【答案】0.4
【解析】设该学生通过第一关为事件A，通过第二关为事件B，
P(B|A)
在通过第一关的前提下通过第二关的概率为 ，
P(AB)
P(B|A)=
∵
P(A)
，∴
P(AB)=P(B|A)⋅P(A)=0.5×0.8=0.4
。
4 3
5 5
例1-11．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 ，乙当选的概率为 ，丙当选的概率为
7
10
。
（1）求恰有一名同学当选的概率；
（2）求至多有两人当选的概率。
4 3 7
P(A)= P(B)= P(C)=
【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A、B、C，则 5 、 5 、 10 ，
（1）∵事件A、B、C为相互独立事件，
∴恰有一名同学当选的概率为：
P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
4 2 3 1 3 3 1 2 7 47
= × × + × × + × × =
5 5 10 5 5 10 5 5 10 250
；
（2）至多有两人当选的概率为：
4 3 7 83
1−P(ABC)=1−P(A)P(B)P(C)=1− × × =
5 5 10 125
。
例1-12． 2020 年1月 15 日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基学科招生改革试点工作的意见》也称
2020
(“强基计划”)《意见》指出： 年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划。强基计划
要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科技尖的学生。据悉，强基计划的校考
由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节。强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校。某考生可能报考甲大学，也可能报考乙大学，已知该考生报考甲大学的概率是0.6，报考乙大学
的概率是0.4，而且报考甲大学通过的概率为0.2，报考乙大学通过的概率为0.7。
（1）求该考生通过测试的概率；
（2）如果该考生通过了测试，那么他报考的是甲大学的概率为多少？
P =0.6×0.2=0.12
【解析】（1）报考甲大学通过的概率 1 ，报考乙大学通过的概率为
P =0.7×0.4=0.28
2 ，
P=P +P =0.4
∴该考生报考通过的概率为 1 2 ；
（2）设该考生报考甲大学为事件A，通过考试为事件B，
P(AB) 0.12
P(A|B)= P(AB)= =0.3
∴
P(B)
，
P(B)=0.4
，
0.4
。
例1-13．根据要求完成下列问题。
（1）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，
已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？
25% 35% 40%
（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 ，二厂生产的占 ，三厂生产的占 ，
又知这三个厂的产品次品率分别为5% 、4% 、2%
，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
【解析】（1）设A表示“某天的空气质量为优良”，设B表示“随后一天的空气质量为优良”，
P(AB)
P(B|A)= =0.75
由题意得
P(A)=0.8
、
P(AB)=0.6
，∴
P(A)
，
∴已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.75
；
A
（2）设事件B为“任取一件为次品”，事件 i为“任取一件为i厂的产品”，i=1、2、3，
A A A A ∪A ∪A =Ω
则 1、 2、 3两两互斥，且 1 2 3 ，
P(B)=P(A )⋅P(B|A )+P(A )⋅P(B|A )+P(A )⋅P(B|A )
由全概率公式得 1 1 2 2 3 3 ，
P(A )=0.25 P(A )=0.35 P(A )=0.4
∵ 1 ， 2 ， 3 ，
P(B|A )=0.05 P(B|A )=0.04 P(B|A )=0.02
1 ， 2 ， 3 ，
P(B)=P(A )⋅P(B|A )+P(A )⋅P(B|A )+P(A )⋅P(B|A )
∴ 1 1 2 2 3 3
=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345
，
∴从这批产品中任取一件是次品的概率是0.0345
。
