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专题 7.2 离散型随机变量及其分布列
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重点 离散型随机变量的概念
难点 分布列的概念
[多选]例1-1．下列叙述中，是随机变量的有（ ）。
A、某工厂加工的零件，实际尺寸与规定尺寸之差
B、标准状态下，水沸腾的温度
C、某大桥一天经过的车辆数
D、向平面上投掷一点，此点坐标
【答案】ACD
【解析】标准状态下，水沸腾的温度为 ，为常数，其他均为变量，故选ACD。
例1-2．下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ）。
A、某人早晨在车站等出租车的时间
B、将一颗均匀硬币掷十次，出现正面或反面的次数
C、连续不断的射击，首次命中目标所需要的次数
D、袋中有 个黑球 个红球，任取 个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【解析】A选项是随机变量，但不能一一列出，不是离散型，
B选项掷硬币不是正面就是反面，次数之和为十，是常量，
D选项事件发生的可能性不是随机变量，
故选C。
例1-3．如果 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是（ ）。
A、 取每一个可能值的概率是非负实数
B、 取所有可能值的概率和为
C、 取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和
D、 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
【答案】D
【解析】根据离散型随机变量的分布列的性质，每一个变量对应的概率都非负，
所有变量对应的概率之和是 ，每一个变量对应的事件是互斥事件，
取某两个可能值的慨率等于分别取其中每个值的概率之和，
得到A、B、C三个说法都正确，故选D。
例1-4．下列 个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是（ ）。
A、B、
C、
D、
【答案】C
【解析】根据离散型随机变量的分布列的性质检验即可。
例1-5．已知离散型随机变量 的分布列如下，则常数 为（ ）。
A、
B、
C、 或
D、
【答案】A
【解析】由随机变量的分布列知， 、 且 ，∴ ，故选A。
例1-6．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为 ，则“ ”表
示的实验结果是（ ）。
A、第一枚 点，第二枚 点
B、第一枚 点，第二枚 点
C、第一枚 点，第二枚 点
D、第一枚 点，第二枚 点
【答案】C
【解析】∵一枚骰子的点数可以是 、 、 、 、 、 六种结果之一，
由已知得 ，也就是说“ ”就是“ ”，
∴“ ”表示第一枚为 点，第二枚为 点，故选C。
例1-7．随机变量 的所有等可能取值为 、 、 、…、 ，若 ，则 的值为（ ）。
A、
B、C、
D、
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，而 ， ，故选
D。
例1-8．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为 ，那么 表示的随机试验结果是（ ）。
A、两颗都是 点
B、两颗都是 点
C、一颗是 点，另一颗是 点
D、一颗是 点，另一颗是 点，或者两颗都是 点
【答案】D
【解析】由于抛掷一颗骰子，可能出现的点数是 、 、 、 、 、 这 种情况之一，
而 表示抛掷两颗骰子所得点数之和，∴ ，
表示的随机试验结果是：一颗是 点，另一颗是 点，或者两颗都是 点，故选D。
例1-9．设 是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为 的概率分布列的一组数是（ ）。
A、 ， ， ，
B、 ， ， ，
C、 ， （ 为实数）
D、 ， ，…， ， （ 且 ）
【答案】C
【解析】显然A、B满足分布列的两个性质，
对于D，有 ，又 、 ，
且 ，
∴它也满足分布列性质，
C中，由于 为实数，不妨取 ，显然 不满足概率的非负性，
故选C。
例1-10．一个人有 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意的进行试开，若试开过的钥匙放在一边，
试开次数 为随机变量，则 （ ）。
A、
B、C、
D、
【答案】A
【解析】事件 表示前 次没打开，第 次打开了，
∴ ，故选A。
例1-11．抛掷两枚骰子一次，设 为第一枚骰子与第二枚骰子的点数之差，则它的所有可能取值为（ ）。
A、 ，
B、 ，
C、 ，
D、 ，
【答案】D
【解析】抛掷一枚骰子出现的最小点数为 ，最大点数为 ，∴ ， ，故选D。
例1-12．某电子管正品率为 ，次品率为 ，现对该批电子管进行测试，设第 ξ次首次测到正品，则
（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】 表示第 次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，
则其概率是 ，故选B。
例1-13．袋中有大小相同的红球 个，白球 个，从袋中每次任取一球（不放回），直到取出球是白球为
止，取球次数是一个随机变量，这个随机变量的值域为 。
【答案】
【解析】最少取一次，最多将 个红球取完，第 次取得白球。
例1-14．设随机变量 的分布列为 ， 或 ，则 。
【答案】【解析】由题意， ，且 ，解得 。
例1-15．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。
（1）一袋中装有 只同样大小的白球，编号为 、 、 、 、 。现从该袋内随机取出 只球，被取出的
球的最大号码数 ；
（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数 。
【解析】（1） 可取 、 、 ，
，表示取出的 个球的编号为： 、 、 ，
，表示取出的 个球的编号为： 、 、 或 、 、 或 、 、 ，
，表示取出的 个球的编号为：
、 、 或 、 、 或 、 、 或 、 、 或 、 、 或 、 、 ；
（2） 可取 、 、 、…、 ， ，表示被呼叫 次，其中 、 、 、…。
