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专题 6.1 分类加法计数原理和分类乘法计数原理
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重点 分类加法计数原理和分类乘法计数原理的应用。
难点 分类加法计数原理和分类乘法计数原理的联系和区别。
例1-1．某中学需从 2021 年某师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同选法的种数
为（ ）。
A、2
B、3
C、5
D、6
【答案】C
【解析】选取的方法可分为两类：
从3名女大学生中选聘1人，有3种选法，
从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，
根据分类加法计数原理，不同的选法的种数有3+2=5，故选C。
例1-2．如图所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有（ ）。
A、4条
B、5条
C、6条
D、9条
【答案】B
【解析】从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条，从下面有2条，
由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有3+2=5条，故选B。
例1-3．甲盒子中有3个不同的红球，乙盒子中有5个不同的白球，某同学要在甲盒或乙盒中摸一个球，则
不同的方法有（ ）。
A、3种
B、5种
C、8种
15
D、 种
【答案】C
【解析】由分类加法计数原理共有3+5=8种不同的方法，故选C。
例1-4．一蚂蚁沿着长方体的棱，从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有（ ）。A、6种
B、9种
C、12种
36
D、 种
【答案】A
C
【解析】从总体上看，蚂蚁从顶点A爬到顶点 1有三类方法，从局部上看每类又需两步完成，
m =1×2=2 m =1×2=2 m =1×2=2
∴第一类 1 条，第二类 2 条，第三类 3 条，
∴根据加法原理，从顶点A到顶点 C 1最近路线共有M=2+2+2=6条，故选A。
例1-5．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则这5列火车的停车方法
共有（ ）。
A、12种
B、24种
96
C、 种
120
D、 种
【答案】C
【解析】先排第1道，有4种排法，第2、3、4、5道各有4、3、2、1种，
由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1=96
种，故选C。
例1-6．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个知识讲座，则
不同的选择种数是（ ）。
A、5×4
B、5×4×3×2
C、45
54
D、
【答案】C
【解析】5名同学每人都选一个课外知识讲座，则每人都有4种选择，
由分步乘法计数原理知共有4×4×4×4×4=45
种选择，故选C。
例1-7．如图所示，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜
色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案一共有（ ）。
A、3
B、6
C、9
D、12
【答案】B【解析】按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，
m =3 m =2 m =1 m =1
第一步 1 种，第二步 2 种，第三步 3 种，第四步 4 种，
∴根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有M=3×2×1×1=6，故选B。
例1-8．如果x、 y∈N ，且1≤x≤3， x+y<7 ，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是（ ）。
A、4个
B、5个
C、12个
15
D、 个
【答案】D
【解析】利用分类加法计数原理：当x=1时， y=0 、1、2、3、4、5，共有6种可能，
当x=2时， y=0 、1、2、3、4，共有5种可能，
当x=3时， y=0 、1、2、3，共有4种可能，
共有6+5+4=15
种可能，故选D。
例1-9．从集合 {1，2，3，4，5} 中任取2个不同的数，作为方程 Ax+By=0 的系数A、B的值，则形成的不同直
线有（ ）。
10
A、 条
18
B、 条
20
C、 条
25
D、 条
【答案】B
【解析】第一步，取A的值，有5种取法，第二步，取B的值，有4种取法，
又其中当A=1、B=2时与A=2、B=4时是相同的方程，
当A=2、B=1时与A=4、B=2时是相同的方程，
故共有5×4−2=18
条，故选B。
例1-10．某市汽车牌照号码（由4个数字和1个字母组成）可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只
能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复）。某车主第
一个号码（从左到右）只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则
他的车牌号码所有可能的情况有（ ）。
180
A、 种
360
B、 种
720
C、 种
960
D、 种
【答案】D【解析】分五步完成：①取第一个号码，有5种情况，
②取第二个号码，有3种情况，
③取第三个号码，有4种情况，
④取第四个号码，有4种情况，
⑤取第五个号码，有4种情况，
根据分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4=960
种，故选D。
M={1，−2，3} N={−4，5，6，7}
例1-11．已知集合 、集合 ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样
的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）。
A、12个
16
B、 个
17
C、 个
18
D、 个
【答案】C
【解析】第一类：M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，
则在第一、二象限内的点（M任意、N 为正）有3×3=9（个），
第二类：N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，
则在第一、二象限内的点（N 任意、M为正）有4×2=8（个），
由分类加法计数原理，共有9+8=17
（个）点在第一、二象限，故选C。
(a +a )⋅(b +b )⋅(c +c +c )
例1-12． 1 2 1 2 1 2 3 完全展开后的项数为（ ）。
A、9
B、12
18
C、
D、24
【答案】B
【解析】由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3=12
。
例1-13．甲、乙两 人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）。
A、6种
B、12种
C、24种
30
D、 种
【答案】C
【解析】分步完成：首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，
其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，
最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2=24
种，故选C。
例1-14．给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U ~Z，后两个要求用数字
1~9。问最多可以给多少个程序命名？
【解析】先计算首字符的选法。由分类加法计数原理，首字符共有7+6=13
种选法，
再计算可能的不同程序名称。由分步乘法计数原理，最多可以有
13×9×9=1053
个不同的名
称，
1053
即最多可以给 个程序命名。
RNA RNA
例1-15．核糖核酸（ ）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 分子是一个有着数百个甚至数
千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据。总共有4种不同的碱基，分
别用A、C、G、U表示。在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上
RNA 100 RNA
的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类 分子由 个碱基组成，那么能有多少种不同的
分子？
100 100
【解析】 个碱基组成的长链共有 个位置，
从左到右依次在每一个位置中，从A、C、G、U中任选一个填入，
每个位置有4种填充方法，
100 RNA 4100
根据分步乘法计数原理，长度为 的所有可能的不同 分子数目有 个。
例1-16．有不同的红球8个，不同的白球7个。
（1）从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
（2）从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
【解析】（1）由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有8+7=15
种取法。
（2）由分步乘法计数原理得，从中任取两个不同颜色的球共有8×7=56
种取法。
例1-17．电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。
因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符，
需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量
单位，每个字节由8个二进制位构成。问：
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
GB 6763
（2）计算机汉字国标码（ 码）包含了 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，
每个汉字至少要用多少个字节表示？
【解析】（1）用图来表示一个字节，
一个字节共有8位，每位上有2种选择，
根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示
28 =256
个不同的字符；6763
（2）由（1）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 个，
我们就考虑用2个字节能够表示多少个字符，
256 256
前一个字节有 种不同的表示方法，后一个字节也有 种表示方法，
根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示 256×256=65536 个不同的字符，
6763
这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 ，
所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示。
例1-18．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台
了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，
并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现。那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
【解析】将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右。字母组合在左时，
分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：
第1步，从 26 个字母中选1个，放在首位，有 26 种选法，
第2步，从剩下的 25 个字母中选1个，放在第2位，有 25 种选法，
第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法，
第4步，从 10 个数字中选1个，放在第4位，有 10 种选法，
第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法，
第6步，从剩下的8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法，
根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有
26×25×24×10×9×8=11232000
个，
11232000
同理，字母组合在右的牌照也有 个，
∴共能给
11232000+11232000=22464000
辆汽车上牌照。
