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专题 6.2 排列与组合
姓名： 班级：
排列的定义与应用；
重点
组合的定义与应用。
难点 排列与组合的联系和区别。
一、排列
例1-1．某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（ ）。
A5
A、 5种
B、25
种
53
C、 种
55
D、 种
【答案】A
A5
【解析】其不同的轮映方法相当于将5所大学的全排列，即 5，故选A。
例1-2．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表
的不同排法共有（ ）。
A、6种
B、9种
18
C、 种
D、24种
【答案】C
A1 A3 A1 ⋅A3 =3×3×2×1=18
【解析】先排体育有 3种，再排其他的三科有 3种，共有 3 3 （种），故选C。
例1-3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，
程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ）。
34
A、 种
48
B、 种
96
C、 种
D、144种
【答案】C
【解析】B和C捆绑看成一个元素，则有5个元素，
A1
A特殊，先排A，有 2种排法，
A4
还剩下4个元素全排，有 4种排法，A2
B和C捆绑的内部排列有 2种排法，
A1 ⋅A4 ⋅A2 =2×4×3×2×1×2×1=96
∴共有 2 4 2 种不同的编排方法，故选C。
例1-4．若
S=A
1
1 +A
2
2 +A
3
3 +¿⋅¿+A
1
1
0
0
0
0
，则S的个位数字是（ ）。
A、0
B、3
C、5
D、8
【答案】B
An
【解析】∵当n≥5时， n的个位数是0，∴S的个位数取决于前四个排列数，
又∵
A
1
1 +A
2
2 +A
3
3 +A
4
4 =1+2+6+24=33
，∴S的个位数字是3，故选B。
例1-5．若
n∈N +，且n<20
，则
(27−n)⋅(28−n)⋅¿⋅(34−n)=
（ ）。
A7
A、 27
A8
B、 27
A8
C、 34−n
A27−n
D、 34−n
【答案】C
A8 =(34−n)⋅(33−n)⋅¿⋅(27−n)=(27−n)⋅(28−n)⋅¿⋅(34−n)
【解析】 34−n ，故选C。
例1-6．有4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的
分配方法有（ ）。
A、24种
48
B、 种
256
C、 种
576
D、 种
【答案】D
A4
【解析】司机、售票员各有 4种安排方法，
A4 ⋅A4 =576
由分步乘法计数原理知共有 4 4 种不同的安排方法，故选D。
例1-7．6名运动员参加 800 米跑，如没有同时到达终点的选手，则甲比乙先到达终点的情况有（ ）。
48
A、 种
256
B、 种
360
C、 种720
D、 种
【答案】C
【解析】甲比乙先到达终点，则甲必须在乙前面，用有序除序法，
A
6
6
=
6×5×4×3×2×1
=360
A2 2×1
2 种，故选C。
例1-8．有5名男生、4名女生，全体排成一行，甲不在中间也不在两端，则不同的排法有（ ）。
40320
A、 种
120960
B、 种
241920
C、 种
357840
D、 种
【答案】C
A1 A8 A1 ⋅A8 =241920
【解析】正向元素分析法：先排甲有 6种，再排其余人有 8种，∴共有 6 8 （种）排法，
A3 A6
正向位置分析法：中间和两端的位置（甲不能选）共有 8种，其他位置（包括甲）共有 6
种，
A3 ⋅A6 =241920
∴共有 8 6 （种）排法，
A9 A1 ⋅A8
反向元素分析法：先全排有 9种，甲在中间或在两端有 3 8种，
A9 −A1 ⋅A8 =241920
∴共有 9 3 8 （种）排法，
A9 A1 A1
等机会法：先全排有 9种，甲有 9种排法（等可能），甲不在中间或在两端有 6种；
A1
A9 × 6 =241920
9 A1
∴共有 9 （种）排法，
故选C。
例1-9．有5名男生、5名女生，全体排成一行，男生之间互不相邻，女生之间也互不相邻，则不同的排法
有（ ）。
14400
A、 种
28800
B、 种
86400
C、 种
172800
D、 种
【答案】B
A5 ⋅A5
【解析】第一种情况：男生打头，则为男女男女男女男女男女，用男生当板，有 5 5种，
A5 ⋅A5
第二种情况：女生打头，则为女男女男女男女男女男，用女生当板，有 5 5种，
A5 ⋅A5 +A5 ⋅A5 =2⋅A5 ⋅A5 =28800
故共有 5 5 5 5 5 5 （种）排法，故选B。
例1-10．安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是（ ）。
180
A、
240
B、
360
C、
480
D、
【答案】D
A6 A3
【解析】不同的排法种数先全排列有 6，甲、乙、丙的顺序有 3，
乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有：甲乙丙、甲丙乙、乙丙甲、丙乙甲，4种顺
序，
4
A6 × =480
6 A3
则不同排法的种数共有 3 种，故选D。
二、组合
例2-1．从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须既有男生又有女生，
则不同选法的种数为（ ）。
25
A、
28
B、
31
C、
34
D、
【答案】D
【解析】从7名同学选出4名同学共有
C
7
4 =35
种情况，其中，选出的4人都是男生时，有1种情况，
因女生有3人，故不会全是女生，∴4人中，即有男生又有女生的选法种数为 35−1=34 ，
故选D。
x∈N Cx−1 +C2x−3
[多选]例2-2．设 +，则 2x−3 x+1 的值为（ ）。
A、4
B、7
C、9
D、11
【答案】ABD
{2x−3≥x−1¿¿¿¿
【解析】由题意可得： ，解得2≤x≤4，∵
x∈N
+，∴x=2或3或4；
当x=2时原式值为4，当x=3时原式值为7，当x=4时原式值为11，
∴所求值为4或7或11，故选ABD。
例2-3．在实验员进行一项实验中，先后要实施5个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序C和D实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ）。
15
A、 种
18
B、 种
C、44种
D、24种
【答案】D
C1
【解析】先排程序A，则有 2种排法，
A3A2
再排其他四个程序，则有 3 2种排法，
C1 ⋅A3 ⋅A2 =24
∴实验顺序的编排方法有 2 3 2 ，故选D。
例2-4．小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在
冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、
清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那
么小明选取节气的不同情况的种数是（ ）。
345
A、
465
B、
1620
C、
1860
D、
【答案】B
【解析】根据题意可知，小明可以选取1冬3春、2冬2春、3冬1春，
C1 ⋅C3 +C2 ⋅C2 +C3 ⋅C1 =465
故小明选取节气的不同情况有： 6 6 6 6 6 6 （种），故选B。
例2-5．某公司为了调查产品在A、B、C三个城市的营销情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只
去一个城市每个城市必须有人去，且甲乙不能去同一个城市，则不同的派遣方法有（ ）。
A、6种
18
B、 种
C、24种
30
D、 种
【答案】D
【解析】4人不同组合方案有：
A3 =6
①若甲、乙各自单独为一组，有 3 种，
C1 ⋅A3 =12
②若甲与丙、丁之一为一组，有 2 3 种，
C1 ⋅A3 =12
③若乙与丙、丁之一为一组，有 2 3 种，
30
故不同的派遣方法有 种，故选D。例2-6．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球
比赛。由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、 16 班的8人、 33 班的 10 人按分层抽样构成
一个12人的篮球队。首发阵容有5人组成，要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ）。
270
A、 种
300
B、 种
390
C、 种
720
D、 种
【答案】C
【解析】各个班的人数为5班3人、 16 班4人、 33 班5人，
首发共有1、2、2类型，2、1、2类型，2、2、1类型，
C1 ⋅C2 ⋅C2 +C2 ⋅C1 ⋅C2 +C2 ⋅C2 ⋅C1 =390
所求方案有 3 4 5 3 4 5 3 4 5 种，故选C。
例2-7．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2件次品。从这 100 件产品中任意抽出3件。
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
【解析】（1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出3件的组合数，∴共有 C 1 3 00 =161700
（种）；
C1
（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有 2种，
从 98 件合格品中抽出2件合格品的抽法有
C2
98种，
因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有
C1
2
⋅C2
98
=9506
（种）。
（3）解法1：从 100 件产品抽出的3件中至少有1件是次品，
包括有1件次品和有2件次品两种情况，
在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有
C1
2
⋅C2
98种，
因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有：
C1 ⋅C2 +C2 ⋅C1 =9604
2 98 2 98 （种）。
解法2：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，
也就是从 100 件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，
C3 −C3 =161700−152096=9604
即 100 98 （种）。
例2-8．第22届世界杯足球赛于 2022 年夏季在卡塔尔举办。五大洲共有 32 支球队有幸参加，他们先分成
8个小组循环赛，决出 16 强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级 16 强），这支球队按确定
的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？
【解析】可分为如下几类比赛：（1）小组循环赛：每组有6场，8个小组共有 48 场，
（2）八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成 16 强，
根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场，
（3）四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8强中每两个队比赛一场，可以决出4强，共有4场，
（4）半决赛：根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场，
（5）决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两队比赛1场决出第三、四名共有2场，
8C2 +8+4+2+2=64
综上，共有 4 场。
