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专题 3.3 幂函数
1 幂函数的定义
一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
注 (1)注意幂函数中xα的系数是1，底数是变量x，指数α是常数；
2正数的正分数指数幂的意义
(1)正数的正分数指数幂的意义，规定： m
an =√n am (a>0,m,n∈N∗,且n>1)
巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)
m
− 1 1
(2)正数的正分数指数幂的意义：a n = = (a>0,m,n∈N∗,且n>1)
m √n am
an
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3 幂函数图像及其性质
1
(1) 幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x−1的图象．
1
(2) 幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x−1的性质
1
y=x y=x2 y=x3
y=x2
y=x−1
图象
X|X|K]
定 义
R R R [0,+∞) x≠0域
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) x≠0
奇 偶
奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
性
在 (−∞,0]上 递 在 (−∞,0)上 递
单 调 在[0,+∞)
在R上递增 减 在R上递增 减
性 上递增
在(0,+∞)上递增 在(0,+∞)上递减
定点 (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1)
(3)性质
① 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , +∞ )上是增函数．
特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上
凸.
③ α<0时，幂函数的图象在(0 , +∞ )上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋
向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无
限地逼近x轴正半轴．
一、单选题
1．幂函数 在 上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B．3 C． 或3 D．
2．幂函数 在第一象限的图像如图所示，则 的
大小关系是 （ ）A． B． C． D．
3．已知幂函数 与 的部分图像如图所示，直线 ， 与
， 的图像分别交于A，B，C，D四点，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数 在 上单调递减，设 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设 ， ， ， ，则这四个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
8．幂函数 在区间 上单调递增，且 ，则
的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
9．已知函数 是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设 ,若 ,则
A．2 B．4 C．6 D．8
11．函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
12．函数 是幂函数，对任意 ，且 ，满足
，若 ，且 ，则 的值（ ）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
13．已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ，则
A． B． C． D．
14．若幂函数 的图象过点 ，则函数 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．已知幂函数 在 上单调递减，则 ______．
16．已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在 上是减函
数，实数 满足 ，则 的取值范围是_____．
17．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ______．
① ；② ；③任取 ， ， 且
．
18．已知 是奇函数，当 时， ，则 ______．
19．已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，
则满足 的 的取值范围为________.
20．若幂函数 过点 ，则满足不等式 的实数 的取值范
围是______
