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专题 2.1 等式与不等式性质
知识点 ① 等式性质
1．如果a＝b，那么b＝a．
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c．
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c．
4．如果a＝b，那么ac＝bc．
5．如果a＝b，c≠0，那么＝．
知识点 ② 不等式性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b⇔b<a ⇔
2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆
3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆
a>b，c>0⇒ac>bc
4 可乘性 c的符号
a>b，c<0⇒ac<bc
5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正
7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正
知识点 ③ 两个实数比较大小的方法
{a b 0 a b {a b 0 a b
− > ⇔ > ¿ − = ⇔ = ¿¿¿¿
1．作差法：
a a
{ {
>
1
⇔
a
>
b(a∈R，b
>
0)
¿ =
1
⇔
a
=
b(a∈R，b
≠
0)
¿¿¿¿
b b
2．作商法：
知识点 ④ 常用结论
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0⇒＜；
(2)a＜0＜b⇒＜；
(3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：(1)＜；＞(b－m＞0)；(2)＞；＜(b－m＞0)．一、单选题
1．已知 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【来源】四川省乐山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】对于A，当 时不成立；
对于B，当 时，显然不成立；
对于C，当 时不成立；
对于D，因为 ，所以有 ，即 成立.
故选：D．
2．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】A
【解析】对于选项A，∵ ，∴ ，又 ， 成立，故A正确；
对于选项B，当 ， 时，结论明显错误，故B错误
对于选项C，当 时， ，所以结论错误，故C错误
对于选项D，当 时， ，所以结论错误，故D错误
故选：A
3．下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D【解析】对于A，若 ，由 可得： ，A错误；
对于B，若 ，则 ，此时 未必成立，B错误；
对于C，当 时， ，C错误；
对于D，当 时，由不等式性质知： ，D正确.
故选：D.
4．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】第07讲 不等式的基本性质-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课
（苏教版2019必修第一册）
【答案】D
【解析】解：因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 的取值范围是 ，
故选：D.
5．如果 ，且 ，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【来源】山西省运城市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】对于A，若 ， ，满足 ，但 不成立，错误；
对于B，若 ，则 ，错误；
对于C，若 ， ，满足 ，但 不成立，错误；
对于D，由指数函数的单调性知，正确.
故选：D.
6．若 ，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 且 ，则 D．若 ，则
【来源】新疆巴音州轮台县三校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题
【答案】D
【解析】对A，取 ，则有 ，A错；
对B，取 ，则有 ，B错；
对C，取 ，则有 ，C错；
对D，若 ，则 正确；
故选：D
7．设a＞b＞1，y ，则y，y，y 的大小关系是（ ）
1 1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1
【来源】专题2.1 等式性质与不等式性质（4类必考点）
【答案】C
【解析】解：由a＞b＞1，有y﹣y 0，即y＞
1 2 1
y，
2
由a＞b＞1，有y﹣y 0，即y＞y，
2 3 2 3
所以y＞y＞y，
1 2 3
故选：C.
8．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 <
【来源】四川省成都市金牛区2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文科）试题
【答案】C
【解析】对于A，若 ，则 ，所以A错误，
对于B，若 ，则 ，所以B错误，对于C，因为 ，所以由不等式的性质可得 ，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以D错误，
故选：C
9．若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题
【答案】B
【解析】对于A，若 ，则 ，所以A错误，
对于B，因为 ，所以 ，所以B正确，
对于C，因为 ，所以 ，所以C错误，
对于D，若 ，则 ，所以D错误，
故选：B
10．对任意实数 ，命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 .
④若 ，则 ，
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【来源】四川省自贡市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文）试题
【答案】C
【解析】对于①，若 ， ，则 ，①错；
对于②，若 ，则 ，②错；
对于③，若 ，则 ，由不等式的基本性质可得 ，③对；
对于④，若 ，则 ，则 ，④对
故选：C
11．若 ，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．【来源】第05讲 等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课
（人教版2019必修第一册）
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ， ， ， ，
又 ，所以 ，所以 成立，
，所以 ，
，所以 ，
取 可得 ， ， ，所以 不成立，
故选：D.
12．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 .
故选：B
13．已知 ，则下述一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】山东省青岛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】解：因为 ，
所以 ， ，故AB错误；
，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，故C正确；
对于D，若 时，
则 ，故D错误.
故选：C.
14．下列说法中，错误的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【来源】广东省广州市越秀区2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】对A，取 ，所以 ，故错误；
对B，由 ， ，所以 ，故正确；
对C, ，
由 ， ，所以 ，所以 ，故正确；
对D，由 ，所以 ，又 ，所以
故选：A
15．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的取值范围是
【来源】山西省吕梁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】当 时， 不成立，A错误．因为 ，所以 ，
，B正确，C错误．当 ， 时， ，当且仅当 时，等号成立，而 ，D错误．
故选：B
16．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的假命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【解析】对于A：若 ，则 ，所以 ，故A正确；
对于B：若 ， ，则 ，化为 ，可得 ，故B
正确；
对于C：若 ，所以 ， ，则 ，故 ，故C
错误；
对于D：若 ， ，则 ，所以 ，所以 ， ，故D
正确；
故选：C
