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专题 5.4 三角函数图像与性质
y=sinx,x∈R
1.正弦函数 的性质.
(1).定义域: .
(2).值域: .
(3).周期性: 周期函数，周期是 ,最小正周期为 .
(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.
(5).单调性:增区间：
减区间：
(6).对称性: 对称轴： ， 对称中心：
y=cosx,x∈R
2.余弦函数 的性质.
(1).定义域: .
(2).值域:
(3).周期性: 周期函数，周期是 ，最小正周期为 .
(4).奇偶性: 偶函数，其图象关于 轴对称.
(5).单调性: 减区间：
增区间：
(6).对称性: 对称轴： ， 对称中心：
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学科网（北京）股份有限公司3.正切函数y=tanx的图象与性质.
(1).定义域: .
(2).值域:
(3).周期性: 周期函数，周期是 ，最小正周期为 .
(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.
(5).单调性: 增函数， 为增区间.
(6).对称性: 对称中心：
4.正弦型函数y=Asin(ωx+ϕ),A>0,x∈R的性质.
(1).定义域: .
(2).值域:
(3).周期性: 周期函数，周期是 .
(4).奇偶性: 当 时为奇函数；当 时为偶函数.
(5).单调性: 当 时：令 ，求解增区间.
令 ，求解减区间.
当 时：注意单调区间的转化 .
(6).对称性: 对称轴：令 ，求解对称轴方程，对称轴处取最值.
对称中心：令 ，求解对称中心坐标.
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学科网（北京）股份有限公司5.余弦型函数y=Acos(ωx+ϕ),A>0,x∈R的性质.
(1).定义域: .
(2).值域:
(3).周期性: 周期函数，周期是 .
(4).奇偶性: 当 时为偶函数；当 时为奇函数.
(5).单调性: 当 时：令 ，求解减区间.
令 ，求解增区间.
当 时：注意单调区间的转化 .
(6).对称性: 对称轴：令 ，求解对称轴方程，对称轴处取最值.
对称中心：令 ，求解对称中心坐标.
一、单选题
1．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 ，对称中心为
B． 的最小正周期为 ，对称中心为
C． 的最小正周期为 ，对称中心为
D． 的最小正周期为 ，对称中心为
【来源】陕西省榆林市第十中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题
【答案】D
【解析】因为函数 ，
所以 的最小正周期为 ，对称中心为 ，故选：D
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学科网（北京）股份有限公司2．用“五点法”作函数 在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
令 ，得 .∴该点坐标为 .故选A
3．若函数 在区间 内没有最值，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【来源】江西省新余市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】：函数 的单调区间为 ，
由 ，
得 ．
函数 在区间 内没有最值，
函数 在区间 内单调， ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 由 ，得 ．
当 时，得 ，
当 时，得 ，又 ，故 ，
综上得 的取值范围是 故选A
4．已知函数 在区间 内单调递减，则实数ω的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【来源】山东省济宁市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】：依题意 ，即 ，又 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
要使函数在 内单调递减，所以 ，解得 ，
即 ；故选：B
5．已知 是 上的奇函数，若 的图象关于直线
对称，且 在区间 内是单调函数，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【来源】5.4 三角函数的图像与性质
【答案】A
【解析】因为 是 上的奇函数，则 ，
所以， ，
因为 的图象关于直线 对称，则 ，可得 ，
当 时， ，
因为函数 在区间 内是单调函数，则 ，解得 ，
所以， ， ，故 ，因此， .故选：A.
6．函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】安徽省合肥市第六中学、第八中学、168中学等校2021-2022学年高一上学期期末
联考数学试题
【答案】A
【解析】设 ,因为 ，所以 ，
因为正切函数 在 上为单调递增函数，且 ,
所以 ．
∴函数 的值域为 ，
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司7．已知 且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】陕西省渭南市韩城市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】：因为 在 上单调递增，
当 时 ，则 即 ，解得 ，所以
，
当 时 ，则 即 ，解得 ，所以
，当 时 ，此时 无意义，故舍去，
综上可得 .故选：B
8．已知函数 在 上单调递增，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，则 ，解得
，
当 时， ，结合选项可知，只有B选项符合.故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司9．函数 的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解 得， ，
时， ； 时， ； 时， ，
是 的一个单调递减区间．
故选：B．
10．已知函数 在 上有且只有4个零点，则 取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【来源】辽宁省沈阳市第三十一中学、丹东二中2021-2022学年高一下学期期中考试数学
试题
【答案】B
【解析】由题意， ， ，∴ ，解得
．故选：B．
11．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】河南省濮阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】令 ，则 ，故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司12．函数 的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】A
【解析】 ，要求函数 的单调减区间，即求函
数 的单调增区间.
令 ，
所以 .故选：A.
13．已知函数 为偶函数，则 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．0
【来源】浙江省金华第一中学2021-2022学年高一（2-4班）下学期开学检测数学试题
【答案】A
【解析】因函数 为偶函数，则 ，显然 时， ，
即A满足，B，C，D都不满足.故选：A
14．记函数 （ ）的最小正周期为 ．若 ，且
的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【来源】辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】：函数 的最小正周期为 ，
则 ，由 ，得 ， ，
的图像关于点 中心对称， ，
且 ，则 ， ．
， ，取 ，可得 ．
，则 ．故选：D．
15．已知函数 的最大值为4，最小值为0，且该函
数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为 ，直线 是该函数图象的一条对称轴，
则该函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】北京市中国人民大学附属中学 2021-2022学年高一下学期期末数学模拟练习试题
【答案】B
【解析】因为函数 的最大值为4，最小值为0，
所以 ，解得 ，
因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，得 ，所以 ，
因为直线 是该函数图象的一条对称轴，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故选：B
二、多选题
16．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在定义域内是增函数 B． 是奇函数
C． 的最小正周期是 D． 图像的对称中心是
【来源】辽宁省大连市第八中学2021-2022学年高一下学期4月阶段性测试数学试题
【答案】BD
【解析】A错误，∵ 的定义域是 ，其在定
义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性；
B正确， ，易知其是奇函数；
C错误，函数 的最小正周期为 ；
D正确，令 ，解得 ，所以 图像的对称中心是
.
故选：BD.
17．已知 为 上的奇函数，且当 时， ，记 ，
下列结论正确的是（ ）
A． 为奇函数
B．若 的一个零点为 ，且 ，则
C． 在区间 的零点个数为3个
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学科网（北京）股份有限公司D．若 大于1的零点从小到大依次为 ，则
【来源】江西省上饶中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题
【答案】ABD
【解析】因为 ，
所以函数 为奇函数，故A正确；假设 ，即 ， 时，
，
所以当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
当 ， ，则 ，由于 的一个零点为 ，则
，故B正确；
如图：
当 时，令 ， ，则 大于0的零点为 ， ，的交点，
由图可知，函数 在区间 的零点有2个，由于函数 为奇函数，则函数 在
区间 的零点有1个，并且 ，所以函数在区间 的
零点个数为4个，故C错误；
由图可知， 大于1的零点， ， ，所以 ，
而 ，故推出 ，故D正确.
故选：ABD.
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学科网（北京）股份有限公司18．已知函数 ，点 和 是其相邻的两个对称
中心，且在区间 内单调递减，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省榆林市第十中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
【答案】AD
【解析】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为 ，得
.
则由 得 ，即得 .
由 ，且存在单调减区间 ，则可得 ，
∴ .
由 得 ，因 ，可得 或 ，
当 时， ，
由 ，得 ，
则函数 的单调减区间为 ，
令 ，由 ，得函数 在 上单调递减，
所以 满足题意；
当 时， ，
由 ，得 ，
则函数 的单调减区间为 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，由 ，得函数 在 上单调递减，
所以 满足题意；
综上可得： 或 满足题意.故选：AD.
19．设函数 ，若 在 上有且仅有3条对称轴，则
（ ）
A． 在 上有且仅有2个最大值点
B． 在 上有且仅有2个零点
C． 的取值范围是
D． 在 上单调递增
【来源】江西省上饶市六校2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题
【答案】ACD
【解析】∵ ， ，
∴ ，∴ ，
令 ，∴ ，
画出 图象进行分析：
对于A选项：由图象可知： 在 上有且仅有 ， 对应的这2个最大值点，故A
选项正确；
对于B选项：当 ，即 时， 在 有且仅有2个零点；
当 ，即 时， 在 有且仅有3个零点，故B选项不正
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学科网（北京）股份有限公司确；
对于C选项：∵ 在 有且仅有3条对称轴，
∴ ，∴ ，
∴ 的取值范围是 ，故C选项正确；
对于D选项：∵ ， ，∴ ，∴ ，
由C选项可知， ，∴ ，
即 在 上单调递增，故D选项正确.
故选：ACD.
20．已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 在 上有10个零点，则
B．若 在 上有11条对称轴，则
C．若 ＝ 在 上有12个解，则
D．若 在 上单调递减，则
【来源】云南省保山市2021-2022学年高一下学期期末质量监测数学试题
【答案】ACD
【解析】
【分析】：因为 ，所以 ，
对于A，因为 在 上有10个零点，
所以 ，解得 ，故A正确；
对于B，若 在 上有11条对称轴，
所以 ，解得 ，故B错误；
试卷第15页，共3页
学科网（北京）股份有限公司对于C，若 ＝ 在 上有12个解，又 ，
所以 ，解得 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
若 在 上单调递减，
则 ，解得 ，
又因 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
21．函数 ，对于任意的 ，方程 仅
有一个实数根，则m的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题
【答案】AC
【解析】由 可得： .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为对于任意的 ，方程 仅有一个实数根，
所以 ，解得： .
对照四个选项，只有A、C在 .故选：AC
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学科网（北京）股份有限公司22．已知函数 ，则下列关于 的判断正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于直线 成轴对称 D．图象关于点 成中心对称
【来源】黑龙江省哈尔滨市第一六二中学校2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】ABD
【解析】对于选项A， 时， ，此时 为增函数；
对于选项B， 的最小正周期为 ；
对于选项C，因为 ， ，所以图象不是关于直线 成轴
对称；对于选项D，令 ， ，得 ，令 得 ，所以图象关于
点 成中心对称.故选：ABD.
三、解答题
23．已知
(1)函数 （ ）在区间 上恰有三条对称轴，求 的取值范围．
(2)函数 ，
①当 时，求函数 (x)的零点；
②当 ，恒有 ，求实数 的取值范围．
【来源】宁夏银川唐徕回民中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
【答案】(1)
(2)① 或 ；②
【解析】(1)解：当 时， ，
由函数 （ ）在区间 上恰有三条对称轴，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ；
(2)解：①当 时，令 得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ；
②令 ，则 ，
函数 ，对称轴 ，
当 即 ， ，得 ，
所以 ，
当 即 ，令 ，得 ，
所以 ，
当 即 ，令 ，得 ，
所以 ，
综上：为实数 的取值范围为 ．
24．已知函数 ，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为 ．
(1)求函数的单调区间和对称中心．
(2)若关于 的方程 在 上有实数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】(1)函数 ，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为 ．
周期 ，即 ，那么 ，可得 ．
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ， ，解得 ， ，
可得函数的单调递增区间 ， ，
令 ， ，解得 ， ，
∴可得函数的单调递减区间 ，
令 ，解得 ，可得对称中心为 ；
(2)
方程 在 上有实数解，即 在
上有实数解，
令 ， 上， ，
则 在 上有解， ，
易得 在 上单调递增，且 时， ，所以 ，
所以 范围为 .
25．已知函数 .
(1)请用五点法做出 一个周期内的图像；
(2)若函数 在区间 上有两个零点，请写出 的取值范围，无需说明理由.
【来源】北京市石景山区2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）列表
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学科网（北京）股份有限公司0
0 1 0 0
（2） 的取值范围是 .
26．已知函数 ， ）函数关于 对称.
(1)求 的解析式；
(2)用五点法在下列直角坐标系中画出 在 上的图象；
(3)写出 的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量 的取值集合．
【答案】(1) , (2)详见解析
(3)单调递增区间是 ， ，最小值为 ，取得最小值的 的集合
试卷第20页，共3页
学科网（北京）股份有限公司.
【解析】(1)因为函数关于直线 对称，所以 ，
，因为 ，所以 ，
所以
(2)首先根据“五点法”，列表如下：
(3)令 ，
解得： ， ，
所以函数的单调递增区间是 ， ，
最小值为 令 ，得 ，
函数取得最小值的 的集合 .
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学科网（北京）股份有限公司27．已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)求函数 在区间 上的所有零点之和.
【来源】陕西省西安市蓝田县2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：由 ，解得 .
函数 的单调递增区间为 .
（2）解：由 ，得 ，则 或
. 或 又 ， 或
或 .即函数 在区间 上的所有零点为 ， ， ，故零点之和为
.
试卷第22页，共3页
学科网（北京）股份有限公司
