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5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
1. 由图象求解析式；2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性；3. 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应
用；4. 相位、初相等概念的理解；5. 三角函数图象变换.
一、单选题
1．（2021·镇原中学高一期末）为得到 的图象，只需要将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【解析】
因为 ，所以为得到 的图象，只需要将 的图象
向右平移 个单位；故选D．
2.（2021·阜新市第二高级中学高一期末）为了得到函数 的图象，可将 的
图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位【答案】A
【解析】
由题意得：
向右平移 个单位即可得到 的图象
故选：A.
3．（2021·山东聊城·高一期末）为了得到函数 的图象，可作如下变换（ ）
A．将y＝cosx的图象上所有点向左平移 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 ，
纵坐标不变而得到
B．将y＝cosx的图象上所有点向右平移 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，
纵坐标不变而得到
C．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移
个单位长度而得到
D．将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移
个单位长度而得到
【答案】A
【解析】
为得到 的图象，可将 的图象上所有点向左平移 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变而得到；
也可以将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平
移 个单位长度而得到.
故选： .
4.（2021·应城市第一高级中学高一月考）已知函数 的最小正周期为
，将该函数的图象向左平移 个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于直线 对称
【答案】A
【解析】
由题意 ，平移得函数式为 ，其为偶函数，∴
，由于 ，∴ ．
，
， ．∴ 是对称中心．
故选：A.
2 1
f(x)2sin 3x
5.（2021·四川高考模拟（文））将函数 3 的图象向右平移 2 个周期后得到的函数
gx gx
为 ，则 的图象的一条对称轴可以是（ ）
5 5
x x x x
A． 18 B． 6 C． 9 D． 3
【答案】A
【解析】
f(x)2sin 3x 2 2 1
3
的周期为 3 ，图象向右平移 2
个周期后得到的函数为gx
，则
2 k 5
gx2sin 3 x 2sin 3x 3x k x
3 3 3 ，由 3 2 ， kZ ，得 3 18 ，
5
x
kZ，取k 0，得 18 为其中一条对称轴.
故选A.
6．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考（文））函数
的部分图像如图所示，为了得到 的图
像，只需将函数 的图像（ ）A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】B
【解析】
由图可知 ，∵ ，
∴ ，解得： ，可得 ，
将 代入得： ，
∵ ，
∴ ， ，
故可将函数 的图像向左平移 个单位长度得到 的图像.
故选：B.
7.（2021·四川省南充高级中学高三月考（文））已知函数 的最小
正周期为 ，将其图象向右平移 个单位后得函数 的图象，则函数 的图象
（ ）A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】D
【解析】
由题意得 ，故 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴选项A,B不正确．
又 ，
，
∴选项C,不正确，选项D正确．选D．
8．（2021·河南濮阳·高一期末（文））函数 的部分图
象如图所示，则下列叙述正确的是( )A．函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上是单调递增的
D．函数 图象的对称中心为
【答案】D
【解析】
由图象可知A＝2，f（0）＝1，
∵f（0）＝2sinφ＝1，且 ，
∴ ，
∴f（x）＝2sin（ωx ），
∵f（ ）＝0且为单调递减时的零点，
∴ ，k∈Z，
∴ ，k∈Z，由图象知 ，
∴ω ，
又∵ω＞0，
∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x ），
∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移 个单位得，
∴A错，
令2x ，k∈Z，对称轴为x ，则B错，
令2x ,则x ，则C错，
令2x kπ，k∈Z，则x＝ ，则D对，
故选：D．
9．（2021·上海静安·高一期末）对于函数 ，下列命题：
①函数 对任意 都有 .
②函数 图像关于点 对称.
③函数 图像可看作是把 的图像向右平移 个单位而得到.④函数 图像可看作是把 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍
（纵坐标不变）而得到.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
对①，因为 ， ，
所以 为函数 的对称轴，
即对任意 都有 ，故①正确.
对②， ，
所以 为函数 的对称中心，故②正确；
对③， 的图像向右平移 个单位得到
，故③错误；
对④， 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），
得到 ，故④正确.
故选：C
10．（2021·辽宁辽阳·高一期末）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 得到函数 的图象，若 在 上的最大值为 ，则 的取值个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象．
再将横坐标缩短为原来的 得到函数 的图象，
， 上， ， ，
当 ，即 时，则 ，求得 ．
当 ，即 时，由题意可得 ，
作出函数 与 的图象如图：
由图可知，此时函数 与 的图象有唯一交点，则 有唯一解．
综上， 的取值个数为2．
故选：B．
二、多选题11．（2021·广东高一期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+ ）﹣cos（ωx+ ）（0＜ω＜6）的图象
关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
因为 ，
由 ， ，
因为 ，所以 ， ，
由题意可得 ， ，得 ， ，
因为 ，所以 或 .
故选：BC.
12.（2021·江苏南京·高三开学考试）将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数
的图象，则（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点( ，0)对称
C．函数 在区间( ， )上单调递增D．函数 在区间(0， )上有两个零点
【答案】ACD
【解析】
可得 ，当 ， ，故A正确；
当 ， ，故B错误；
当 ( ， )， ( ，0)，故C正确；
当 (0， )， ( ， )，故D正确．
故选：ACD．
13.（2021·山东高三其他）函数 的部分图像如图所示，将
函数 的图像向左平移 个单位长度后得到 的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 的最小正周期为
C．函数 的图像的对称轴为直线D．函数 的单调递增区间为
【答案】BD
【解析】
由图象可知
， ，
∴ ，则 .
将点 的坐标代入 中，整理得 ，
∴ ，即 . ，∴ ，
∴ .
∵将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，
∴ .
∴ 既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
∴ 的最小正周期 ，故B正确.
令 ，解得
.则函数 图像的对称轴为直线 .故C错误；
由 ，可得 ，∴函数 的单调递增区间为 .故D正确.
故选：BD.
14．（2021·营口市第二高级中学高一期末）已知函数 ，则（ ）
A．函数 在区间 上为增函数
B．直线 是函数 图像的一条对称轴
C．函数 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位得到
D．对任意 ，恒有
【答案】ABD
【解析】
.
当 时， ，函数 为增函数，故A中说法正确；
令 ， ，得 ， ，
显然直线 是函数 图像的一条对称轴，故B中说法正确；
函数 的图像向右平移 个单位得到函数
的图像，故C中说法错误；，故D中说法正确.
故选：ABD.
三、填空题
15．（2021·苏州市相城区陆慕高级中学高三期中）已知函数 的图象上每个点向左平移
个单位长度得到函数 的图象，则 的值为_______.
【答案】
【解析】
把函数 的图象上每个点向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
，
则 ，
故答案为： ．
16.（2021·江苏南通·高三其他）已知函数 的最小正周期是 ，
若将该函数的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式 ________.【答案】
【解析】
因为函数 的最小正周期是 ，
所以
函数的图象向右平移 个单位长度后得到 ，
因为 关于原点对称，
所以
因此
故答案为：
17.（2021·河南开封·高一期末）已知函数 ，给出下列四个结
论：
①函数 是最小正周期为 的奇函数；
②直线 是函数 的一条对称轴；
③点 是函数 的一个对称中心；④函数 的单调递减区间为
其中正确的结论是_________（填序号）.
【答案】②.
【解析】
，
， ，函数 是最小正周期为 ，
但不是奇函数，故①不正确；
当 时， ，故②正确；
当 ， ，所以 ，
函数 的一个对称中心为 ，故③不正确；
由 ，
解得 ，故④不正确；
故答案为：②
18.（2021·上海高三专题练习）要得到函数 的图像，需把函数 的图像至少向
_______平移_______个单位.【答案】右
【解析】
由于函数y＝sin（2x ）＝sin2（x ），故要得到函数y＝sin（2x ）的图象，
可以将函数y＝sin2x的图象沿x轴向右平移 个单位即可.
故答案为：右；
19．（2018·浙江镇海中学）函数 的部分图象如图所示，
则 ________，为了得到 的图象，需将函数 的图象最少向左平移________个
单位长度．
【答案】
【解析】
由图知 ， ，所以 ，所以
把点 代入，得 ，所以
即 ，又 ，所以所以
因为 ，所以要得到函数 的图象需将函数
的图象最少向左平移 个单位长度．
故答案为： ；
20．（2021·江苏常熟中学高一月考）函数 的振幅为______；将函数
的图象右移 个单位长度后，得到函数 的图象，若函数 为偶函数，则 的最小
正值为______.
【答案】
【解析】
，
故振幅为 ；
函数 的图象右移 个单位长度，
，
又函数 为偶函数，
所以 ，
，当 时， 即为 的最小正值.
故答案为： ； .
21．（2021·山东五莲·高三月考）函数 的部分图象如图所示，则
__________；将函数 的图象沿x轴向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，
则 __________.
【答案】
【解析】
根据函数的图象可得 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 .所以 ，
将 的图象沿x轴向右移 个长度单位得函数 的图象，
因为函数 是偶函数，所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ， .
故答案为： ； .
五、解答题
22．（2021·全国高一课时练习）已知函数 .
（1）列表并画出函数 在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（2）将函数 的图象作怎样的变换可得到 的图象？
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）函数 的周期由 ，解得 . 列表如下：
x
0 π 2π
3sin( ) 0 3 0 –3 0
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图. 图象如下.
（2）先把 的图象向右平移 个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的
纵坐标扩大为原来的3倍，得到 的图象.
23．已知函数
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图像；
（2）指出 的周期、振幅、初相、对称轴；
（3）说明此函数图像可由 上的图像经怎样的变换得到.【答案】
【解析】
本试题主要考查了三角函数的图象以及性质的综合运用，并考查了三角函数图形的变换问题．
（1）列表
x
0
y 3 6 3 0 3
(2)周期T＝ ，振幅A＝3，初相 ，
由 ，得 即为对称轴；（3）①由 的图象上各点向左平移 个长度单位，得 的图象；
②由 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得 的图象；
③由 的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），得 的图
象；
④由 的图象上各点向上平移3个长度单位，得 ＋3的图象．
24．（2021·浙江省杭州第二中学高一期末）已知函数 .
（1）画出函数在一个周期上的图像;
（2）将函数 的图像向右平移 个单位，再向下平移1个单位，得到函数 ,求
在 上的值域.
【答案】（1）作图见解析（2）
【解析】
（1）（五点法作图）
0
1 3 1 1（2） ,
则 , ,
所以 ,
从而 在 上的值域为 .
25．（2021·湖南益阳·期中）已知函数 （ ， ）的图象上相邻的
最高点和最低点的距离为 ，且 的图象过点 .
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调递减区间；
（3）求 在区间 上的值域.
【答案】（1） ；（2） （ ）；（3） .
【解析】（1）因为两个相邻最高点和最低点的距离为 ，
可得 ，解得 ，
故 ，即 .
又函数图象过点 ，
故 ，
又 ，解得 ，
故 .
（2）令 ，得 ，
即： 的单调递减区间为 （ ）；
（3）当 时， ，
根据图像可知 ， ，
所以 在区间 上的值域为 .
26．（2021·四川内江·高一期末（理））已知函数 （其中 ， ， ，）的部分图象如图所示， 是图象的最高点， 为图象与 轴的交点， 为坐标原点.若
， ， .
（1）求 的大小；
（2）求函数 的解析式；
（3）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
（1）在 中， ,
;
（2）由（1）知 ，即 ，
，周期 ，
即 ， ，将 代入 ，得 ，
， ，
；
（3） ，
，
， ，
，
.
27．（2021·吉林扶余市第一中学高一期中）已知函数
的部分图象如图所示，点 ， 为图象与 轴的交点， 为最高点，且 为等腰直角三角形．（1）求 的解析式；
（2）求满足不等式 的 的取值集合．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）因为 为 图象的最高点，所以 ．
又 为等腰直角三角形，所以 ．
则函数 的周期为8，由 ， ，可得 ，
所以 ,
由 ，得 ，
则 ， ． ， ，
又 ，所以 ,
所以 ；（2） ，即 ，
则 ， ，
解得 ， ,
所以不等式 的解集为 ．
