文档内容
公众号：黑洞视角
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写
清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求）
1．若复数 为纯虚数，其中i为虚数单位，则 （ ）
A． B． C．3 D．
2．若命题“ ， ”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．某食品公司共有A，B，C三条生产线，产量占比为3：2：5，为检查新一批次食品添加剂使用量是否合格，
用分层随机抽样方法进行调查现从这3000件食品中抽检5%，则不同的抽样方法共有（ ）
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
4．若点 在圆O： 外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 为等差数列 的前n项和， 且 ，则 （ ）
A．2600 B．2480 C．1660 D．1460
6．已知平面向 ， ， ， ， ， ，若 ，则 的最大值为（公众号：黑洞视角
）
A．8 B． C． D．
7．网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包
装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这
对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为 的纸箱．要求纸箱底面
必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶而必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价
格大约为1元/ ，则一个纸箱的成本最低约为（参号数据： ， ）
A．0.32元． B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元
8．在空间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面、已知菱形ABCD的边长为2， ，P在
菱形ABCD的内部及边界上运动，空间中的点Q满足 ，则点Q轨迹所围成的几何体的体积为
（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目婴水，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
10．如图，角 ， 的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M
为线段AB的中点．N为 的中点，则下列说法中正确的是（ ）公众号：黑洞视角
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若 的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
11．p为椭圆 上一点， 为 的左、右焦点，延长 ， 交 于A，B两
点、在 中，记 ， ，若 ，则下列说法中正确
的是（ ）
A． 面积的最大值为
B． 的离心率为
C．若 与 的内切圆半径之比为3：1，则 的斜率为
D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共IS分）
12．在 的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
13．我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数 ，则它的焦点坐标为______．
14．如图，正五角星是一种蕴含美感的图形，在正五角星中可以找到很多对线段，它们的长度关系都符合黄
金分割比，我们可以把正五角星看成五个顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成的图形，已知正五边
形的边长 ，则该正五角星的边长AB长为______．公众号：黑洞视角
四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
近两年来，自行车的市场占有率在不断提升，随着人们的健康意识不断增强，骑自行车不仅仅是人们出行的
交通方式，也渐渐成为一种新颖的运动，越来越多的人加入了骑行一族．在某地区随机调查了100位自行车
骑行者的年龄分布情况，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
（1）数据显示，该地区年龄在 岁内的人口占比为12%，该地区自行车骑行率约为13%，从该地区任
选一人，已知此人年龄在 内，求此人是自行车骑行者的概率；
（2）对这100位自行车骑行者进行统计，骑行频率 次/周的共有70人，其中年龄在40岁以下的占80%．
请完成以下 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，判断骑行频率与年龄是否有关联．
年龄
骑行频率 年龄 合计
岁 岁
次/周
次/周
合计
附： ，其中 ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．（本小题满分15分）
如图，在平行六面体 中， ， ， ，公众号：黑洞视角
，点P满足 ．
（1）证明：O，P， 三点共线；
（2）求直线 与平面PAB所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
已知 ，其中 为自然对数底数．
（1）讨论 的单调性；
（2）已知 有极值，求 的所有极值之和的最大值．
18．（本小题满分17分）
平面上一动点 满足 ．
（1）求P点轨迹 的方程；
（2）已知 ， ，延长PA交 于点Q，求实数m使得 恒成立，并说明：
为定值
19．（本小题满分17分）
材料一：有理数都能表示成 （s， ，且 ，s与t互质）的形式，进而有理数集可以表示为
材料二：我们知道．当 时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即 ；为提高精确度。可以
用更高次的多项式逼近指数函数．
设 对等式两边求导，公众号：黑洞视角
得
对比各项系数，可得： ， ， ，…， ；
所以 ，取 ，有 ，
代回原式： ．
材料三：对于公比为 的等比数列 ，当 时，数列 的前n项和
阅读上述材料，完成以下两个问题：
（1）证明：无限循环小数3.7为有理数；
（2）用反证法证明：e为无理数（e＝2.7182^为自然对数底数）．
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A A B C D A
【解析】
1．因为 为纯虚数，
所以 且 ，即 故选C．
2．“ ， ”为真命题，当 时， ，则 ，故选D．
3．3000件食品中，A，B，C三条生产线的生产量分别为900件、600件、1500件，
抽检总量为 件，分层随机抽样，
分别从A，B，C三条生产线抽检 ， 、 件，
按照分步乘法计数原理，共有 种方法，故选A．公众号：黑洞视角
4．配方可得，圆 ，点 在圆O外，
所以 ，即 ，解得 或 ，故选A．
5．因为 为等差数列，所以 ，当 时，
，
所以 ， ，所以 ，
公差为6； ，且 也为等差数列，
公差 ，
所以 ，故选B．
6．如图，令 ， ， ，由余弦定理得，
， ，
因为 ，所以 ，
则C点在圆E的优弧AB上运动，
其中 ， ， ， ，
则 ，所以 ，
所以 故选C．
7．该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为a米，侧棱长为h米，公众号：黑洞视角
则纸箱的体积 ，表面积 ，
成本为 ，
则 ，令 ，得 ，
则 ．当 时， ，当 时， ，
当 时，P有最小值，
所以 （元），故选D．
8．Q的轨迹所围成的几何体截面图（过平面ABCD）如图所示，
其中ABEF，ADHG，CDIJ，BCKL区域内的几何体为半圆柱，
高为2，底面半径为1，体积为 ；
AFG，BEL，CKJ，DHI区域内的几何体为球的一部分，球心分别为A，B，C，D，
半径为1， ，
，
，
所以这四个区域的几何体组成一个完整的球，体积为 ；
ABCD区域内的几何体为棱柱，高为2，体积为 ，
所以Q的轨迹所围成的几何体体积为 ，故选A．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）公众号：黑洞视角
题号 9 10 11
答案 ABC BCD ACD
【解析】
9．因为 在 上单调递增，
所以 ，即 移项得 ，故A正确：由基本不等式，
取等， ，故B正确；
，则 ，故C正确；
若 ，则 ， 不一定成立，故D错误，故选ABC．
10．N为为AB的中点，则 ，
，所以N点的坐标为 ，故A错误；
由 ，可得 ，故B正确；
，
又因为 ， ，则 ，
所以 ，故C正确；
有向线段 ， ，
，
所以 ，故D正确，故选BCD．公众号：黑洞视角
11．如图，在 中，
由正弦定理， ，
则 ，即 ，
所以 ， ，
最大值为 ，故A正确，B错误；
由题意可得， 的．斜率不为0，设 ，联立方程
得 ，
恒成立， ， ，
设 与 的内切圆半径分别为 ， ，
因为 ，
，所以 ，即 ，
， ， ，
所以 ，公众号：黑洞视角
即 ， ，所以 ，C正确；
作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A， 在左准线上的投影，
设 ， ， ，
所以 ， ，
则 ，
得 ，同理可得 ，
所以 ，故D正确，故选ACD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 448
【解析】
12． 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，故常数项为 ．
13． ，将函数图象向左平移 个单位，
得到 的图象，即 ，它表示的曲线是以 为焦点的抛物线，
则原函数图象的焦点坐标为 ．
14．如图，在等腰三角形ABC中，公众号：黑洞视角
， ，取 的角平分线交AC于点D，
则 ， ，
则 ，且 ，设 ，
因为 ，即 ，解得 ，则 ，正五角星的边长为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）设A＝“此人年龄在[ 内”，B＝“此人是自行车骑行者”，
则 ．
（2）由频率分布直方图可得，这100位自行车骑行者中，
年龄 岁的共有 （人），
其中骑行频率 次/周的有 （人），
年龄 岁的有26人，骑行频率 次/周的有 （人），
列联表如下：
骑行频率 年龄 合计
岁 岁
18 12 30
次/周
56 14 70
次/周
合计 74 26 100
零假设为 ：骑行频率与年龄之间无关联．
根据列联表中的数据，
得 ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为骑行频率与年龄之间有关联，此推断犯错误公众号：黑洞视角
的概率不大于0.05．
16．（本小题满分15分）
（1）证明： ，所以 ，
而 ，
所以 ，即O，P， 三点共线．
（2）解：连接 ， ， ，所以 ，
， ， ，
由余弦定理得 ，
同理可得， ．
又 为BD的中点， ， ．
， ，即 ．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
由（1）可得，P为线段 三等分点，
所以 ，
， ， ，公众号：黑洞视角
设平面PAB的法向量为 ，
则 可取 ．
设直线 与平面PAB所成角为 ，
则 ，
直线 与平面PAB所成角的正弦值为 ．
17．（本小题满分15分）
解：（1） ，
令 ，解得 或 ．
①当 ，时， ， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
②当 时， ， 在R上单调递增；
③当 时， ， 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）可得，当 时， 无极值，当 时，
有两个极值，分别为 ，
，
，公众号：黑洞视角
令 ， ， ，
，令 ，得 ，
在 上单减，在 ， 上单增，在 上单减，
当 时， ， ，
，即为所求．
18．（本小题满分17分）
解：（1）由题意可得，动点P到定点 的距离比到定点 的距离大2，
由双曲线的定义，P点轨迹是以 ， ）为焦点的双曲线的左支，
设 ，则 ， ， ，
所以 的方程为 ．
（2）如图，不妨设点P在第二象限，
①当 的斜率不存在时，
，令 ，解得 ，则 ，此时 ，
在 中， ， ， ，即；
②当 的斜率存在时，令 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 ，
则 ， ，公众号：黑洞视角
假设 成立，即 ，
则有 ，
即 ．
又 ， ，
又点P的坐标满足 ，即 ，
，
，假设成立，当 时，有 成立．
此时 ，由对称性可知， ，而 ，
为定值．
19．（本小题满分17分）
证明：（1）
，
当 时， ，故 为有理数．
（2）由题可得， ，
取 ，有 ，公众号：黑洞视角
假设e为有理数，不妨令 （ ，且 ，s与t互
质），
等式两边同乘t!得： ，
易得， 为正整数， 也为正整数，则 亦为正整数，
但
，不可能为正整数，矛盾，
所以e为无理数．
