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章末检测（四) 指数函数与对数函数 基础卷
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．（2020·全国高一课时练习）若函数 （ 是自变量）是指数函数，则 的取值范围
是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．
【答案】C
【解析】由于函数 （ 是自变量）是指数函数，则 且 ，
解得 且 .故选：C.
2．（2020·全国高一课时练习）已知函数 的图象经过定点P，则点P的坐标是（
）
A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)
【答案】A
【解析】当 ，即 时， ，为常数，
此时 ，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.3．（2020·全国高一课时练习）log ＋log 3等于（ ）
5 5
A．0 B．1 C．－1 D．log
5
【答案】A
【解析】因为 .故选：A.
4．（2020·浙江高一课时练习）函数 的定义域为（ ）
A．（ ，1） B．（ ，∞） C．（1，+∞） D．（ ，1）∪（1，+∞）
【答案】A
【解析】由 解得 ，所以原函数的定义域为 ．故选：A
5．（2020·天津南开高二学业考试）已知 ， ， ，则 的大小关系
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， .故选: .
6．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得函数 定义域为 ，
函数 或 ）的增区间为 ，
函数 在定义域内是减函数， 在定义域内是减函数，
由复合函数的单调性得 的单调递增区间为 .故选A
7．（2019·浙江高一期中）函数 与 ，其中 ，且 ，它们的大致图象在同
一直角坐标系中有可能是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 单调递增，所以排除AC选项；
当 时， 与 轴交点纵坐标大于1，函数 单调递增，B选项错误；
当 时， 与 轴交点纵坐标大于0小于1，函数 单调递减；D选项正确.
故选D
8．（2018·四川高三其他（理））中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流
密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为： ．若普通列车的声强
1
级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
【答案】B
【解析】由题意， ， ，
则 ，即 ，
所以 ，即普通列车的声强是高速列车声强的 倍.故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．（2019·全国高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】对于选项A,因为 ，而 ，即A错误；
对于选项B，因为 ，即B错误；对于选项C， ，即C正确；
对于选项D， ，即D正确，
故选：CD．
10．（2019·九龙坡�重庆市育才中学高一期中）(多选)若函数 ( ,且 )的图
像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为函数 ( ,且 )的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图
像如图所示:
由图像可知函数为增函数，所以 .当 时， ，故选AD.
11．（2020·海南高三其他）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD【解析】由 ， ，得 ， ，则
， ，
，
故正确的有： 故选： .
12．（2019·山东滕州市第一中学新校高一月考）已知函数 图像经过点
(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若 ，则 D．若 ，则 .
【答案】ACD
【解析】由题 ,故 .
对A,函数为增函数正确.
对B, 不为偶函数.
对C,当 时, 成立.
对D,因为 往上凸,故若 ，则 成立.
故选：ACD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．（2020·安徽蚌埠�高三其他（文））已知函数 ，则
_______.
【答案】
【解析】 ．故答案为：－1
14．（2020·全国高一课时练习）函数f(x)＝x3－ 的零点有______个．
【答案】1
【解析】函数 的零点个数等价于 解的个数等价于函数
与函数 的交点个数;画出函数 与函数 ：
由图知函数 与函数 有1个交点.故函数 有1个零点.故答
案为：1.15．（2020·全国高一课时练习）函数 的值域为__________________．
【答案】
【解析】函数定义域为R， ，函数是增函数，所以 值域为
16．（2020·台州市书生中学高二期末）设函数 则 _______；
若方程 有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是_______．
【答案】 或
【解析】（1） ， ；
（2）方程 有且仅有1个实数根，即 与 的图象有1个交点，
当 时， ， ，
画出函数 的图象，由图可知当 与 只有1个交点时， 或故答案为： ； 或
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）（2020·全国高一课时练习）设 ，且 ，求证：
【解析】设 ， ，则 ， ， .
因为 ，所以 ，
即 .
所以 ，即 .
18．（本小题满分12分）（2020·浙江高一课时练习）已知函数 ，满足
.（1）求常数 的值.
（2）解关于 的不等式 .
【解析】（1）由 ，得 ，解得 .
（2）由（1）得 .
由 得，当 时， ，
解得 ；
当 时， ，解得 .
综上，不等式 的解集为 .
19．（本小题满分12分）（2019·陕西临渭�高一期末）已知函数 .
（1）判断并证明函数 的奇偶性；
（2）判断并证明 在其定义域上的单调性.
【解析】（1） 的定义域为实数集 ，，
所以 是奇函数；
（2） ，设 ，
，
，
所以 在实数集 上增函数.
20．（本小题满分12分）（2020·北京房山�高一期末）已知函数 ，其中
且 .
（1）求函数 的定义域；
（2）求函数 的零点；
（3）比较 与 的大小.
【解析】（1）由 ，得 ，
所以函数 的定义域为 ；
（2）令 ，即 ，则 ，所以 ，
所以函数 的零点为2；
（3） ，
，
当 时，函数 是增函数，所以 ，即
当 时，函数 是减函数，所以 ，即
21．（本小题满分12分）（2019·天水市第一中学高一期中）候鸟每年都要随季节的变化而进行大
规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关
系为v＝a＋blog (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗
3
氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
【解析】解:(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故
有a＋blog ＝0，
3
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog ＝1，
3
整理得a＋2b＝1.解方程组 得 ,
(2)由(1)知，v＝－1＋log .所以要使飞行速度不低于2 m/s，
3
则有v≥2，即－1＋log ≥2，即log ≥3，解得Q≥270,
3 3
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
22．（本小题满分12分）（2020·浙江高三专题练习）已知函数f(x)=x2−x＋k，且log f(a)=2，
2
f(log a)=k，a＞0，且a≠1.
2
（1）求a，k的值；
（2）当x为何值时，f(log x)有最小值？求出该最小值．
a
【解析】
（1）因为 ，所以 ，
又a＞0，且a≠1，所以 .
（2）f(logx)=f(log x)=(log x)2−log x＋2=(log x− )2＋ .
a 2 2 2 2
所以当log x= ，即 时，f(logx)有最小值 .
2 a
