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高一上册数学期中模拟卷03
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 ．若 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或1或
【答案】D
【解析】
【分析】
对 进行分类讨论，结合 求得 的值.
【详解】
由题可得 ， ，
当 时， ，满足 ；
当 时， ，则 或 ，即 .
综上所述， 或 .
故选：D.
2．若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对于ABD，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断即可
【详解】
对于A，若 ，则满足 ，此时 ，所以A错误，
对于B，若 ，则满足 ，而当 时，则 ，所以B错误，对于C，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以C正确，
对于D，若 ，则满足 ，而当 时，则 ，所以D错误，
故选：C
3．某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜
园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形､三角形､弓形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形，结合二次函数及基本不等式判断方案1、2，利用特殊情况判断方案3；
【详解】
解：方案1：设 米，则 米，
则菜园面积 ，
当 时，此时菜园最大面积为 ；
方案2：依题意 ，则 ，所以 ，当且仅当 时取
等号，
所以 ，即 当且仅当 ， 时取等号；方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径 米，
此时菜园最大面积 ；
故选：C．
4．幂函数 在区间 上单调递增，则 （ ）
A．27 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数的概念及性质，求得实数 的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】
由题意，令 ，即 ，解得 或 ，
当 时，可得函数 ，此时函数 在 上单调递增，符合题意；
当 时，可得 ，此时函数 在 上单调递减，不符合题意，
即幂函数 ，则 .
故选：A.
5．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A【解析】
【分析】
应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.
【详解】
由 ，又 ，
所以 ，即 ，充分性成立；
当 时，即 ，显然 时成立，必要性不成立.
故“ ”是“ ”的充分非必要条件.
故选：A
6．已知函数 的定义域是R， 为偶函数， ， 成立， ，则
（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
通过已知可判断 是周期为4的函数，利用周期性即可求出.
【详解】
因为 为偶函数，所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，所以 是周期为4的函数，
因为 ， ，所以 .
故选：C.
7．设S是整数集Z的非空子集，如果任意的 ，有 ，则称S关于数的乘法是封闭的.若 、
是Z的两个没有公共元素的非空子集， ．若任意的 ，有 ，同时，任意的
，有 ，则下列结论恒成立的是( )
A． 、 中至少有一个关于乘法是封闭的
B． 、 中至多有一个关于乘法是封闭的
C． 、 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D． 、 中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A
【解析】
【分析】
本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集 、
的并集，如 为奇数集， 为偶数集，或 为负整数集， 为非负整数集进行分析排除即可．
【详解】
若 为奇数集， 为偶数集，满足题意，此时 与 关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若 为负整数集， 为非负整数集，也满足题意，此时只有 关于乘法是封闭的，排除D；
从而可得 、 中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确.
故选：A．
8．若关于x的不等式 的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设可得 ，讨论 的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
【详解】不等式 ，即 ，
当 时，不等式解集为 ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故
；
当 时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为 ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故
；
故实数m的取值范围为 ．
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知集合 ， ，则 为（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得 的值.
【详解】
依题意 ，
当 时， 或 ，
若 ，则 ，符合题意；
若 ，则 ，对于集合 ，不满足集合元素的互异性，所以 不符合.
当 时， 或 ，
若 ，则 ，对于集合 ，不满足集合元素的互异性，所以 不符合.
若 ，则 ，符合题意.
综上所述， 的值为 或 .故选：BC
10．已知 是定义在 上的奇函数， ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
又函数为奇函数可得 ， ，再结合 即可得出答案.
【详解】
解：因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，故A一定成立；
又 ，
所以 ，即 ，故C一定成立；
无法比较 及 的大小关系.
故选：AC.
11．设正实数m、n满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为3 B． 的最大值为1
C． 的最小值为2 D． 的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据基本不等式判断．
【详解】
因为正实数m、n，所以 ，
当且仅当 且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为 ，当且仅当m=n=1时取等号，故 ≤2即
最大值为2，C错误；
，当且仅当 时取等号，此处取得最小值2，
故D正确.
故选：ABD
12．若定义在 上的奇函数 满足 ，在区间 上，有 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 成中心对称
B．函数 的图象关于直线 成轴对称
C．在区间 上， 为减函数
D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据对称性，周期性的定义可得 关于 成轴对称，关于 成中心对称，以 为周期的周期函数，
再由题意可得函数在区间 上单调递增，即可判断；
【详解】解：因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
又 ，即 关于 对称，故B不正确；
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
因为在区间 上，有 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，即 ，
所以 的图象关于点 成中心对称，故A正确；
因为 关于 成轴对称，关于 成中心对称，且在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，故C正确；
因为 ，故D错误；
故选：AC
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数 的单调递增区间是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，再根据 的单调性即可得出.
【详解】令 ，解得 或 ，所以函数 的定义域为 ，
而函数 的对称轴是 ，
故函数 的单调递增区间是 .
故答案为： .
14．幂函数 的图象与 轴没有交点，则 ___________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义求出 ，在验证，求解即可
【详解】
根据幂函数的定义得 ，
解得 或 ；
当 时， ，图象与 轴有交点，不满足题意；
当 时， ，图象与 轴没有交点，满足题意；
综上， ，
故答案为：
15．某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为 ，墙体
ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共
2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为______________元．
【答案】4880【解析】
【分析】
设 ，则可表示出这个简易工作房总造价为 ，利用基本不等式即可求出.
【详解】
设 ， ，则 ，
则这个简易工作房总造价为 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元.
故答案为：4880.
16．已知命题 ：“ ， ”，命题 ：“ ， ”， 的否定是假命题，
是真命题，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定的全称量词命题和存在量词命题都是真命题分别求出a的取值范围，再求其公共部分即可得解.
【详解】
由 ， 得， ，因 的否定是假命题，则 是真命题，于是得 ，
因 ， ，即方程 有实根，则 ，解得 ，
又 是真命题，则 ，
因此，由 是真命题， 也是真命题，可得 ，
所以实数 的取值范围是 .故答案为：
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤
17．已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}.
(1)若A B，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆∩B＝ ，求实数m的取值范围.
∅
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围；（2）分 与 进行讨论，列出
不等关系，求出实数m的取值范围.
(1)由题意得： ，解得： ，所以实数m的取值范围是 ；
(2)当 时， ，解得： ；
当 时，需要满足 或 ，解得： 或 ，即 ；
综上：实数m的取值范围是 .
18．设 ：实数 满足 ， ．
(1)若 ，且 ， 都为真命题，求 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【解析】【分析】
（1）解不等式确定命题 ，然后求出 中 范围的交集可得；
（2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解．
(1) 时， ， ，即 ，又 ，而 ， 都为真命题，所以
；
(2) ， ，
是 的充分不必要条件，则 且等号不能同时取得，所以 ．
19．已知函数 .
(1)当 时，证明 在区间 上的单调递减；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由 时，得到 ，利用函数单调性的定义，即可证得 在区间 上的单调递减；
（2）由 对 恒成立，转化为 对任意 恒成立，令 ，
结合二次函数的性质，得到 ，得到 ，即可求解.
(1)证明：当 时，函数 ，
设任意的 且 ，
则 ，因为 且 ，可得 ， ，
且 ，即 ，
所以 在 上是减函数．
(2)解：因为 对 恒成立，即 对任意 恒成立，
令 ，
根据二次函数的性质，可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
20．已知集合A的元素全为实数，且满足：若 ，则 ．
(1)若 ，求出A中其他所有元素；
(2) 是不是集合A中的元素？请你设计一个实数 ，再求出A中的元素
【答案】(1)
(2) 不是集合A中的元素；可以取a= ，则A中的元素还有： ， ，
【解析】
【分析】
(1)根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素；
(2)先假设 ，依定义判断即可；取 ，根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素.
(1)由题意可知： ，则 ， ， ， ，
所以A中其他所有元素为 ；
(2)假设 ，则 ，而当 时， 不存在，假设不成立，所以0不是A的元素，
取 ，则 ， ， ， ，
所以当 ，A中的元素是： ， ， ， ；
21．（1）已知 ，求 的最小值；
（2）已知 ，且 ，证明： ．
【答案】（1）8 ；（2）证明见解析 ．
【解析】
【分析】
(1) 可化为 ，再由基本不等式求其最值；(2) 由条件可得
，结合基本不等式完成证明.
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．所以 最小值8．
（2）因为 ， 得 ．
则 ．
所以 成立，当且仅当 ， 时等号成立，
所以 .
22．已知函数f(x)对 x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
∀(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)函数 为奇函数，证明见解析；
(2)函数 为R上的减函数，证明见解析；
(3) ．
【解析】
【分析】
（1）根据题意赋值以及奇函数、偶函数的定义即可证出；
（2）根据单调性的定义即可判断并证明；
（3）先利用赋值法可求出 ，从而原不等式可化为 ，再根据函数的单调性
可得 ，然后通过分离参数求最值即可解出．
(1)因为函数 的定义域为R，
令 ，所以 ，即 ，
令 ，所以 ，即 ，
所以函数 为奇函数．
(2)不妨设 ，所以 ，而 ，所以
， ，即 ，故函数 为R上的减函数．
(3)由（1）可知，函数 为奇函数，而 ，所以 ，故原不等式可等价于
，而函数 为R上的减函数，所以 ，又 ，所以，而 ，当且仅当 时取等号，所以 ，即实数m的取值范围
为 ．
