文档内容
数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，只需将答题卡交回，试卷由考生自行保管.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. 若集合 𝐴={𝑥∣(𝑥+1)(𝑥−2)<0},𝐵 ={𝑥∣ln𝑥>0} ，则 𝐴 𝐵 = （ ）
A. {𝑥|−1<𝑥<1} B. {𝑥|1<𝑥<2} C. {𝑥|−1<𝑥<2} D. {𝑥|−2<𝑥<1}
𝜋 4𝜋 1
2. 已知命题 𝑝 ∶∀𝑥∈[− , ],sin𝑥⩽ ，则命题 𝑝 的否定为 （ ）
6 3 2
𝜋 4𝜋 1 𝜋 4𝜋 1
A. ∀𝑥∈[− , ],sin𝑥> B. ∃𝑥∈[− , ],sin𝑥⩽
6 3 2 6 3 2
𝜋 4𝜋 1 𝜋 4𝜋 1
C. ∃𝑥∈[− , ],sin𝑥> D. ∀𝑥∈(−∞,− ) ( ,+∞),sin𝑥<
6 3 2 6 3 2
3. 在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，以 𝑂 为坐标原点，𝑂𝑥 为始边，终边在直线 𝑦 =𝑥 上的角 𝛼 的集合为
（ ）
𝜋 𝜋
A. {𝛼∣𝛼=2𝑘𝜋+ ,𝑘 ∈𝑍} B. {𝛼∣𝛼=𝑘𝜋− ,𝑘 ∈𝑍}
4 4
𝜋 𝑘𝜋 𝜋
C. {𝛼∣𝛼=𝑘𝜋+ ,𝑘 ∈𝑍} D. {𝛼∣𝛼= + ,𝑘 ∈𝑍}
4 2 4
1 1
4. 已知 𝑎=ln ,𝑏 =sin ,𝑐 =2−1 2 ，则 𝑎,𝑏,𝑐 的大小关系为 （ ）
2 2
A. 𝑎<𝑏 <𝑐 B. 𝑎<𝑐 <𝑏 C. 𝑏 <𝑎<𝑐 D. 𝑏 <𝑐 <𝑎
5. 声音的强弱通常用声强级 𝐷(dB) 和声强 𝐼(W/m2) 来描述，二者的数量关系为 𝐷=𝑚lg𝐼+𝑛（𝑚,𝑛
为常数）．一般人能感觉到的最低声强为 10−12 W/m2 ，此时声强级为 0 dB ；能承受的最高声强为
1W/m2 ，此时声强级为 120 dB ．若某人说话声音的声强级为 60 dB ，则他说话声音的声强为
（ ）
A. 10−6𝑊/𝑚2 B. 10−7𝑊/𝑚2 C. 10−8𝑊/𝑚2 D. 10−9𝑊/𝑚2
数学试题第1页（共4页）1
6. 已知 sin(25∘−𝛼)= ，且 −270∘ <𝛼<−90∘ ，则 sin(65∘+𝛼) 的值为 （ ）
5
√ √
1 1 2 6 2 6
A. B. − C. D. −
5 5 5 5
2+𝑥
7. 函数 𝑓(𝑥)=ln| | 的图象大致为 （ ）
2−𝑥
𝑦 𝑦
3 3
2 2
1 1
A. 𝑥 B. 𝑥
−4 −2 2 4 −4 −2 2 4
−1 −1
−2 −2
−3 −3
𝑦 𝑦
3 3
2 2
1 1
C. 𝑥 D. 𝑥
−4 −2 2 4 −4 −2 2 4
−1 −1
−2 −2
−3 −3
8. 已知定义在 (0,+∞) 上的 𝑓(𝑥) 是单调函数，且对任意 𝑥 ∈ (0,+∞) 恒有 𝑓(𝑓(𝑥)+log 𝑥) = 3, 则
1
2
函数 𝑓(𝑥) 的零点为 （ ）
1 1
A. 4 B. 2 C. D.
2 4
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每个小题给出的四个选项中，有多个项是符合
题目要求的. 全部选对的得 6 分，部分答对给部分分，有错选得 0 分.
9. 已知 𝑥>0,𝑦 >0 ，且 𝑥+𝑦−𝑥𝑦 =0 ，则下列说法正确的是 （ ）
A. 𝑥𝑦 最小值为 4 B. 𝑥+𝑦 最大值为 4 C. 𝑥2+𝑦2 最小值为 8 D. 𝑥+4𝑦 最小值为 16
10. 已知 𝑓(𝑥) 是定义在 R 上的函数，满足 𝑓(𝑥+2)=𝑓(−𝑥) ，且 𝑓(𝑥+2) 为奇函数，则下列说法一定
正确的是 （ ）
A. 𝑓(2026)=0 B. 函数 𝑓(𝑥) 的一个周期为 4
C. 函数 𝑓(𝑥) 的图象关于直线 𝑥=0 对称 D. 函数 𝑓(𝑥) 的图象关于点 (0,0) 中心对称
11. 已知函数 𝑓 (𝑥)=cos2𝑘𝑥−sin2𝑘𝑥,𝑔 (𝑥)=cos2𝑘𝑥+sin2𝑘𝑥,𝑘 ∈N∗, 则 （ ）
𝑘 𝑘
𝜋 𝜋
A. 函数 𝑓 (𝑥) 在 [0, ] 上单调递减 B. 函数 𝑔 (𝑥) 的最小正周期为
1 2 2 2
1 𝜋
C. 函数 𝑔 (𝑥) 的值域为 [ ,1] D. 函数 𝑓 (𝑥) 的图象关于 𝑥= 对称
3 4 4 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知幂函数 𝑓(𝑥)=(𝑚−3)𝑥𝑚 的图象过点 𝑀(2,𝑎) ，则 𝑎= ____.
13. (log 3+log 3)(log 2+log 2)=____.
4 8 3 9
𝑥,𝑥⩾𝑦 4 1
14. 设 max{𝑥,𝑦} = { ．若正数 𝑚,𝑛 满足 + = 1，那么 max{𝑚,2𝑚𝑛} 的最小值为
𝑦,𝑥<𝑦 𝑚 2𝑛+1
____.
数学试题第2页（共4页）四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
√
𝜋 3
已知函数 𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑) (其中 |𝜑|< ),𝑓(0)= .
2 2
（1） 求 𝑓(𝑥) 的最小正周期和对称轴方程；
𝜋
（2） 设函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥− ) ，求 𝑔(𝑥) 的单调递增区间.
6
16.（15 分）
𝜋
已知函数 𝑓(𝑥)=2𝑥2−4𝑥+1,𝑔(𝑥)=𝐴sin(𝑥− )(𝐴>0) ．
6
𝜋
（1） 当 𝑥∈[0, ] 时，求 𝑦 =𝑓(sin𝑥) 的最大值；
2
（2） 已知集合 𝑀 = {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑓(𝑥),0 ⩽ 𝑥 ⩽ 3} ，集合 𝑁 = {𝑦 ∣ 𝑦 = 𝑔(𝑥),0 < 𝑥 < 𝜋} ，且满足
𝑀 𝑁 =𝑁 ，求实数 𝐴 的取值范围．
17.（15 分）
√
学校知辛堂旁有一个矩形水池 𝐴𝐵𝐶𝐷 ，如图所示，𝐴𝐵 = 70 米，𝐵𝐶 = 35 3 米. 为了便于同学们
观赏水池中的锦鲤，学校计划在水池内铺设三条栈道 𝑂𝐸,𝐸𝐹 和 𝑂𝐹. 考虑到整体规划，要求 𝑂 是边 𝐴𝐵
的中点，点 𝐸，𝐹 分别在边 𝐵𝐶，𝐴𝐷 上（均含端点），且 ∠𝐸𝑂𝐹 =90∘. 设 ∠𝐵𝑂𝐸 =𝑥.
𝐷 𝐶
𝐸
𝐹
90∘
𝑥
𝐴 𝑂 𝐵
（1） 求 𝑥 的取值范围；
35
（2） 求证：|𝐸𝐹|= ；
sin𝑥cos𝑥
（3） 由于锦鲤在 18 0C~25 0C 的水温环境下，食欲旺盛，游动活跃，入冬后，学校决定在三条栈道
的底部安装加温带. 经核算，三条栈道安装加温带的费用为每米 50 元. 试问如何设计才能使费
用最低？并求出最低费用．
数学试题第3页（共4页）18.（17 分）
10𝑥−10−𝑥 10𝑥+10−𝑥
已知函数 𝑓(𝑥)= ,𝑔(𝑥)= ．
2 2
（1） 求 [𝑔(𝑥)]2−[𝑓(𝑥)]2 的值；
𝑓(𝑥)
（2） 已知 𝐹(𝑥)= .
𝑔(𝑥)
1判断并证明 𝐹(𝑥) 的奇偶性和单调性；
1
2设 𝑥 为 ℎ(𝑥) = sin𝜋𝑥 的零点，且满足 𝐹 (|𝑥 |)+𝐹 (ℎ(𝑥 + )−7) < 0 ，求满足条件
0 0 0 2
的 𝑥 的个数．
0
19.（17 分）
对于函数 𝑦 =𝑓(𝑥) ，若满足 ∀𝑥∈(𝑎,𝑏),𝑓(𝑥)>𝑥 ，则称 𝑓(𝑥) 在区间 (𝑎,𝑏) 上有 𝑀 性质.
𝜋
（1） 函数 𝑦 = −𝑥2+2𝑥 在区间 (0,1) 上 ____𝑀 性质, 函数 𝑦 = sin𝑥 在区间 (0, ) 上 ____𝑀
2
性质；（空格处填“有”或“没有”，无需说明理由）
（2） 若函数 𝑦 =ln(𝑒2𝑥+𝑘)−ln(𝑘+1) 在 (0,1) 上有 𝑀 性质，求实数 𝑘 的取值范围；
（3） 已知函数 𝑓(𝑥)=−𝑥2+2𝑥.
1判断 𝑦 =𝑓(𝑓(𝑓(𝑥))) 在 (0,1) 上是否有 𝑀 性质，并说明理由．
𝑥, 𝑥∈𝐴
2设集合 𝐴,𝐵 满足 𝐴 𝐵 = (0,1) ，定义函数 𝑔(𝑥) = { 是定义域为 (0,1)
𝑓(𝑥), 𝑥∈𝐵
1 1 2026
的单调增函数. 若 ∈𝐵 ，请判断 1−( ) 是否也属于 𝐵 ，并说明理由．
2 2
数学试题第4页（共4页）
