文档内容
4.3.2 对数的运算
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
对数的运算性质 1,2,6,10,12
换底公式 3,7
附加条件的对数式求值 4,5
与对数有关的方程问题 8,9,11,13
基础巩固
1.已知log45=a,则log3等于( )
5 5
2 2
(A) (B)
a-1 a+1
a+1 a-1
(C) (D)
2 2
【答案】D
a-1
【解析】因为log45=log(5×9)=log5+log9=1+log32=1+2log3=a,所以log3= .故选D.
5 5 5 5 5 5 5 2
1
2.化简√(log 3)2-4log 3+4+log
2
,得( )
2 2 3
(A)2 (B)2-2log3
2
(C)-2 (D)2log3-2
2
【答案】B
【解析】√(log 3)2-4log 3+4=√(log 3-2)2=2-log3,所以原式=2-log3+log3-1=2-2log3.
2 2 2 2 2 2 2
3.已知lg 2=a,lg 3=b,则log6等于( )
3
a+b a+b a b
(A) (B) (C) (D)
a b a+b a+b
【答案】B
lg6 lg2+lg3 a+b
【解析】log6= = = ,故选B.
3 lg3 lg3 b
lg12
4.如果lg 2=m,lg 3=n,则 等于( )
lg15
2m+n m+2n
(A) (B)
1+m+n 1+m+n2m+n m+2n
(C) (D)
1-m+n 1-m+n
【答案】C
【解析】因为lg 2=m,lg 3=n,
lg12 2lg2+lg3 2m+n 2m+n
所以 = = = .故选C.
lg15 lg3+lg5 n+1-lg2 n+1-m
y
5.若lg x=m,lg y=n,则lg √x-lg( )2的值为( )
10
1 1
(A) m-2n-2 (B) m-2n-1
2 2
1 1
(C) m-2n+1 (D) m-2n+2
2 2
【答案】D
y 1 1
【解析】因为lg x=m,lg y=n,所以lg √x-lg( )2= lg x-2lg y+2= m-2n+2.故选D.
10 2 2
1 1
6.已知3a=5b=A,若 + =2,则A= .
a b
【答案】√15
1 1
【解析】因为3a=5b=A>0,所以a=logA,b=logA.由 + =log3+log5=log15=2,得A2=15,A=√15.
3 5 a b A A A
7.已知log3=t,则log 54= (用t表示).
2 48
1+3t
【答案】
4+t
log 54 1+3log 3 1+3t
2 2
【解析】log3=t,则log 54= = = .
2 48 log 48 4+log 3 4+t
2 2
8.解下列关于x的方程:
(1)lg√x-1=lg(x-1);
(2)log(3-x)+log (3+x)=log(1-x)+log (2x+1).
4 0.25 4 0.25
【答案】(1)x=2 (2)x=0
{√x-1=x-1,
【解析】(1)原方程等价于 解之得x=2.
x-1>0.
经检验x=2是原方程的解,
所以原方程的解为x=2.
(2)原方程可化为3-x 1-x
log(3-x)-log(3+x)=log(1-x)-log(2x+1).即log =log .
4 4 4 4 4 4
3+x 2x+1
3-x 1-x
整理得 = ,解之得x=7或x=0.
x+3 2x+1
当x=7时,3-x<0,不满足真数大于0的条件,故舍去.
x=0满足,所以原方程的解为x=0.
能力提升
9.如果lg x=lg a+3lg b-5lg c,那么( )
3ab
(A)x=a+3b-c (B)x=
5c
ab3
(C)x= (D)x=a+b3-c3
c5
【答案】C
ab3 ab3
【解析】因为lg x=lg a+3lg b-5lg c=lg a+lg b3-lg c5=lg ,所以x= .故选C.
c5 c5
2
10.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R= (lg E-11.4).A地地震级别为9.0级,B地地震级别为
3
8.0级,那么A地地震的能量是B地地震能量的 倍.
【答案】10√10
2 3
【解析】由R= (lg E-11.4),得 R+11.4=lg E,
3 2
故E=1 3 R+11.4.
02
设A地和B地地震能量分别为E,E,
1 2
3
×9+11.4
E
1
102
3
则 = =1 =10√10.
E 3
02
2 102
×8+11.4
即A地地震的能量是B地地震能量的10√10倍.
11.已知a,b,c是△ABC的三边,并且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有等根,试判断△ABC的
形状.
【答案】△ABC是直角三角形
【解析】由题意知Δ=0,
即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,a2 a2
2lg a-lg(c2-b2)=0,lg =0, =1,a2+b2=c2,
c2-b2 c2-b2
故△ABC是直角三角形.
12.求值:
1
(1)2log 2 √2-lg 2-lg 5+√ 3
(
27
)
2 ;
8
7
(2)lg 14-2lg +lg 7-lg 18;
3
lg5·lg8 000+(lg 2√3)2
(3)计算: 1 1 .
lg600- lg36- lg0.01
2 2
4
【答案】(1) (2)0 (3)1
9
1
【解析】(1)2log 2 √2-lg 2-lg 5+√ 3
(
27
)
2
8
1 3 1
=2× -lg 10+( ) 6×(- )
3
2 2
4
=1-1+
9
4
= .
9
7
(2)lg 14-2lg +lg 7-lg 18
3
7
=lg[14÷( )2×7÷18]
3
=lg 1=0.
(3)分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+
lg 2)=3,
分母=(lg 6+2)-lg 6+1=3,
所以原式=1.
素养达成13.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数
Q
v=5log (单位:m/s),其中Q表示燕子的耗氧量.
2
10
(1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?
【答案】(1)燕子静止时的耗氧量是10个单位.
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15 m/s.
【解析】(1)由题意知,当燕子静止时,它的速度v=0,
Q
代入题中所给公式可得0=5log ,解得Q=10.
2
10
故燕子静止时的耗氧量是10个单位.
(2)将耗氧量Q=80代入题中所给公式,得
80
v=5log =5log8=15(m/s).
2 2
10
故当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15 m/s.
