2024-2025 学年四川省成都市石室中学高一下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−2,0,1,sin1,3},B={x|−2<x<2}，则A∩B=( )
A. {−2,0,1} B. {0,1} C. {0,1,sin1} D. {−2,0,1,sin1}
2.若 ( π π)，“ ”是“ ”的 条件
α,β∈ − , sinα=sinβ cosα=cosβ ( )
2 2
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 即不充分又不必要
3.函数 sinx 在区间 内的大致图象是下列图中的( )
f(x)=
[−π,π]
√1−sin2x
A. B.
C. D.
4.要得到函数 ( π)的图象，只需将函数 的图象( )
y=sin x+ y=cosx
3
π π
A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
6 12
π π
C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
6 12
5.已知 (π ) 2，则 ( π) ( )
sin −α = cos 2α+ =
3 3 3
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1 11 1 4√5 4√5
A. − B. C. − D.
9 9 9 9
⃗ 1 ⃗
6.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，AE= AC，则( )
4
⃗ 3 ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1 ⃗ 3 ⃗
A. DE= DA− DC B. DE= DA+ DC
4 4 4 4
⃗ 3 ⃗ 1 ⃗ ⃗ 3 ⃗ 1 ⃗
C. BE= BO+ BC D. BE= BO− BC
2 2 2 2
2√3 2√6
7.已知cosα−cosβ= ，sinα−sinβ= ，则cos(α−β)=( )
5 5
24 24 7 7
A. B. − C. D. −
25 25 25 25
8.
f (x)
满足：
∀x ,x ∈(0,1)
都有 x
2
f (x
1
)−x
1
f (x
2
)
<0
，
a=2sin7∘sin83∘
，
b=
2tan8∘ ，
1 2 x −x 1+tan28∘
1 2
5π f (a) f (b) f (c)
c=2cos2 −1，则 ， ， 的大小顺序为( )
24 a b c
f (a) f (b) f (c) f (a) f (c) f (b)
A. < < B. < <
a b c a c b
f (b) f (c) f (a) f (c) f (a) f (b)
C. < < D. < <
b c a c a b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B. |⃗
a
|
−
|⃗
b
|
=
|⃗
a+
⃗
b
|是 ⃗a ， ⃗b 共线的充分不必要条件
C. 若|⃗ ⃗| |⃗ ⃗|，则⃗ ⃗
a+b = a−b a⋅b=0
D. 若 ⃗a//⃗b ，⃗
b//
⃗
c
，则 ⃗a//⃗c
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2 1( π )
10.已知如图是函数f (x)=2cos(ωx+φ)， ω>0,− <φ<0 的部分图象，则( )
2
A. 函数f (x)的最小正周期为π
B. 函数f (x)的在(−1,2)上单调递增
C. 若∃x∈[−π,0]使得m>f (x)恒成立，则m>−√3
D. 在 上存在最大值，不存在最小值，则 取值范围是[2π 8π)
y=f (x) [0,m) m ,
3 3
11.已知函数f (x)=−msinx+cos2x，则( )
A. 当m=−1时，函数y=f (x)在区间(0,2027π)上恰有3040个零点
B. 当m<−1时，函数y=f (x)在区间(0,2027π)上恰有2026个零点
C. 当m>1时，函数y=f (x)在区间(0,nπ)上恰有2168个零点，则正整数n的值是2168
D. 当−1<m<1时，函数y=f (x)在区间(0,2027π)上恰有4054个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若等边三角形 的边长为 ，则 ⃗ ⃗
ABC 4 ;
AB⋅BC=
π π 3 7√2
13.已知− <α< ，0<β<π，sinα= ，cosβ=− ，则α−β= ．
2 2 5 10
14.已知函数 ( π)的相邻两个对称中心的距离为3，且 ，则函数
f (x)=tan(ωx+φ) ω>0,0<φ< f (1)=−√3
2 2
1
y=f (x)的图像与函数y= (−2019<x<2023且x≠2)的图象所有交点横坐标之和为 ．
x−2
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
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3 1解答下列各题：
证明：tanα+tanβ sin(α+β)．
(1) =
tanα−tanβ sin(α−β)
化简并求值 2cos80∘．
(2) tan70∘−
cos70∘
16.(本小题12分)
如图所示，在▵ABC中，AD是边BC上的中线，E为AD中点，过点E的直线交边AB，AC于M，N两点，
设 ⃗ ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ， 与点 ， 不重合
AD=x AB+ y AC AB=λAM AC=μAN (M,N B C )
(1)求x和y的值；
(2)证明：λ+μ为定值；
1 1
(3)求 + 的最小值，并求此时的λ，μ的值．
λ μ
17.(本小题12分)
某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针
方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T=24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1∼12(可视为
点)，在旋转过程中，座舱与地面的距离ℎ与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1
号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)求1号座舱与地面的距离ℎ与时间t的函数关系ℎ(t)的解析式；
(2)若只考虑前24分钟，
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4 1(i)求1号座舱与地面的距离为16米时t的值；
(ii)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为H米，求H的最大值和当H取得最大值时t的值．
18.(本小题12分)
π
如图，已知扇形AOB半径为1，圆心角为θ= ，P是扇形弧上的动点，记∠AOP=α，
3
(1)请用α来表示平行四边形OCPQ的面积f (α)；
(2)求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值；
设 [ √3]，若 4(π π)，求 ( π)．
(3) g(α)=√3 f (α)+ g(x)= ≤x≤ g x+
6 5 6 3 6
19.(本小题12分)
已知函数 f (x)=sinx⋅sin ( x+ π) + √3 −√3cos2x ，将 f (x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，再
2 2
π
向左平移 个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍．得到函数g(x)的图象．
3
(1)求函数f (x)图象的对称中心，并写出函数g(x)的解析式；
关于 的方程 在[ 3π]内有两个不同的解 ， ；
(2) x g(x)+cosx−a=0 0, θ θ
2 1 2
①求实数a的取值范围；
用 的代数式表示 (θ +θ )的值．
② a cos(θ −θ )+√10sin 1 2
1 2 2
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5 1参考答案
1.C
2.A
3.B
4.A
5.A
6.D
7.C
8.C
9.BC
10.BC
11.ABD
12.−8
3π
13.−
4
14.2696
15.解： 证明：因为sin(α+β) sinαcosβ+cosαsinβ
(1) =
sin(α−β) sinαcosβ−cosαsinβ
sinαcosβ cosαsinβ
+
cosαcosβ cosαcosβ
=
sinαcosβ cosαsinβ
−
cosαcosβ cosαcosβ
tanα+tanβ
= ；
tanα−tanβ
所以tanα+tanβ sin(α+β)
=
tanα−tanβ sin(α−β)
解：因为 2cos80 ∘ sin70 ∘−2cos80 ∘
(2) tan70 ∘− =
cos70 ∘ cos70 ∘
sin70 ∘−2cos(150 ∘−70 ∘)
=
cos70 ∘
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6 1sin70 ∘−2cos(150 ∘−70 ∘)
=
cos70 ∘
√3cos70 ∘
=
cos70 ∘
=√3
⃗ 1( ⃗ ⃗ ) 1 ⃗ 1 ⃗
16.解：(1)因为AD是边BC上的中线，所以AD= AB+AC = AB+ AC，
2 2 2
1
所以x= y= ；
2
因为 为 中点，所以 ⃗ ⃗ ，
(2) E AD
AD=2AE
⃗ 1 ⃗ 1 ⃗
因为 ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ，AD= AB+ AC，
AB=λAM AC=μAN
2 2
⃗ μ ⃗ λ ⃗ ⃗ λ ⃗ μ ⃗
所以2AE= AM+ AN，即AE= AM+ AN，
2 2 4 4
μ λ
因为M，E，N三点共线，所以 + =1，即μ+λ=4，
4 4
即λ+μ为定值；
(3)由(2)知μ+λ=4，
所以1 1 1 (1 1) 1( λ μ) 1( √ λ μ) ，
+ = (λ+μ) + = 2+ + ≥ 2+2 × =1
λ μ 4 λ μ 4 μ λ 4 μ λ
λ μ
当且仅当 = ，μ+λ=4，即λ=μ=2时，等号成立，
μ λ
1 1
所以 + 的最小值为1，此时λ=μ=2．
λ μ
17.解：(1)设1号座舱与地面的距离ℎ与时间t的函数关系ℎ(t)的解析式为
ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0)，
则A=28，b=30，
所以ℎ(t)=28sin(ωt+φ)+30(ω>0)，
2π π
依题意T=24min，所以T= =24，即ω= (rad/min)
ω 12
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7 1当t=0时，ℎ(0)=28sinφ+30=30，所以φ=0，
π
所以ℎ(t)=28sin t+30(t≥0)．
12
π
(2)(i)当1号座舱与地面的距离为16米时即 ℎ(t)=16，即28sin t+30=16，
12
π 1
所以sin t=− ，
12 2
π
又因为0≤t≤24，所以0≤ t≤2π，
12
π 7π π 11π
所以 t= 或 t= ，解得t=14或t=22分，
12 6 12 6
所以当t=14或t=22分时，1号座舱与地面的距离为16米．
π
(ii)依题意可知1号座舱与地面的距离
ℎ
与时间t的函数关系 ℎ(t)的解析式为ℎ(t)=28sin t+30(t≥0)，
12
π
4号座舱与地面的距离
ℎ
与时间t的函数关系ℎ (t)的解析式为ℎ (t)=28sin (t+6)+30(t≥0)，
4 4 12
所以： | π [ π ]|
H=| ℎ(t)−ℎ (t)|= (28sin t+30)− 28sin (t+6)+30
4 12 12
| π π | | π π π | | π π | | π π |
= 28sin t−28sin (t+6) = 28sin t−28sin( t+ ) = 28sin t−28cos t =28√2 sin( t− )
12 12 12 12 2 12 12 12 4
π π π
当 t− = +kπ,k∈Z时，即t=9+12k(k∈Z)，H =28√2
12 4 2 max
所以当t=9或t=21时，H取得最大值28√2．
18.解：(1)过点P作OA的垂线，垂足为D，在Rt▵PDO中，|PD|=sinα,|OD|=cosα,
|PD| sinα
在Rt▵PDC中，|PD|=|CD|tanθ,则|CD|= = ,
tanθ √3
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8 1sinα
所以|OC|=|OD|−|CD|=cosα− ，
√3
所以 ( sinα) 1 sin2α ．
S =f (α)=|OC||PD|= cosα− sinα= sin2α− (0<α<θ)
四 边 形OCPQ √3 2 √3
π
(2)由题意可得0<α< ，
3
由 知： 1 sin2α( π)
(1) f (α)= sin2α− 0<α<
2 √3 3
1 √3
故平行四边形OCPQ的面积f (α)= sin2α− sin2α,
2 3
1 √3 1−cos2α 1 √3 √3
= sin2α− × = sin2α+ cos2α−
2 3 2 2 6 6
√3 ( π) √3
= sin 2α+ − ,
3 6 6
π π π 5π
由于0<α< ，故 <2α+ < ，
3 6 6 6
π π π √3
故当2α+ = 时，即α= 时，f (α)取得最大值为 ,
6 2 6 6
(3) 设 g(α)=√3 [ f (α)+ √3] =sin ( 2α+ π)，则 g(x)=sin ( 2x+ π) = 4 ,
6 6 6 5
由于π π，所以π π 5π，故 ( π) 3，
≤x≤ ≤2x+ ≤ cos 2x+ =−
6 3 2 6 6 6 5
( π) ( π) ( π π) ( π) π ( π) π 3 √3 4 1 4−3√3
g x+ =sin 2x+ =cos2x=cos 2x+ − =cos 2x+ cos +sin 2x+ sin =− × + × =
6 2 6 6 6 6 6 6 5 2 5 2 10
19.解：
(1)f (x)=sinx⋅cosx−√3cos2x+ √3 =−√3× 1+cos2x + 1 sin2x+ √3 = 1 sin2x− √3 cos2x=sin ( 2x− π)
2 2 2 2 2 2 3
π
因为2x− =kπ,k∈Z，
3
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9 1kπ π
解得x= + ,k∈Z，
2 6
所以函数 的对称中心为(π kπ ) ；
f (x) + ,0 ,k∈Z
6 2
将 的图像上所有点的横坐标变为原来的 倍得到 ( π)，
f (x) 2 y=sin x−
3
π
再向左平移 个单位长度得到y=sinx，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，g(x)可得
3
g(x)=3sinx．
(2)① 由(1)可得3sinx+cosx−a=0，
因为关于 的方程 在[ 3π]内有两个不同的解 ， ，
x 3sinx+cosx−a=0 0, θ θ
2 1 2
√10 3√10
即y=a与y=3sinx+cosx=√10sin(x+θ)有两个交点，其中sinθ= ,cosθ= ，
10 10
在 [ 3π]，则 [ 3π ]，有两个交点则 (√10 ) ( 3√10)
x∈ 0, x+θ∈ θ, +θ sin(x+θ)∈ ,1 ∪ −1,−
2 2 10 10
所以 ；
a∈(1,√10)∪(−√10,−3)
② 不妨设θ <θ ，
1 2
则 ， ，或 ， ，，
θ +θ +2θ=π sin(θ +θ )=sin(π−2θ) θ +θ +2θ=3π sin(θ +θ )=sin(3π−2θ)
1 2 1 2 1 2 1 2
当θ +θ +2θ=π时，
1 2
√10 3√10 3
sin(θ +θ )=sin(2θ)=2sinθcosθ=2× × = ，
1 2 10 10 5
4
cos(θ +θ )=−cos2θ=−1+2sin2θ=− ，
1 2 5
因为3sinθ +cosθ =a，3sinθ +cosθ =a，
1 1 2 2
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10 1所以 ， ，
9sin2θ +6sinθ cosθ +cos2θ =a2 9sin2θ +6sinθ cosθ +cos2θ =a2
1 1 1 1 2 2 2 2
两式相加之后可得
2a2=9sin2θ +6sinθ cosθ +cos2θ +9sin2θ +6sinθ cosθ +cos2θ
1 1 1 1 2 2 2 2
=8sin2θ +3sin2θ +8sin2θ +3sin2θ +2
1 1 2 2
1−cos2θ 1−cos2θ
=8× 1+3sin2θ +8× 2+3sin2θ +2
2 1 2 2
，
=10−4(cos2θ +cos2θ )+3(sin2θ +sin2θ )
1 2 1 2
=10−8cos(θ +θ )cos(θ −θ )+6sin(θ +θ )cos(θ −θ )
1 2 1 2 1 2 1 2
=10−cos(θ −θ )[8cos(θ +θ )−6sin(θ +θ )]
1 2 1 2 1 2
[ ( 4) 3]
=10−cos(θ −θ ) 8× − −6×
1 2 5 5
，
=10+10cos(θ −θ )
1 2
a2
所以cos(θ −θ )= −1，
1 2 5
当θ +θ +2θ=π时，
1 2
cos(θ −θ )+√10sin
(θ
1
+θ
2
)
=
a2
−1+√10sin
(π−2θ)
=
a2
−1+√10cosθ=
a2
+2
；
1 2 2 5 2 5 5
当θ +θ +2θ=3π时，
1 2
cos(θ −θ )+√10sin
(θ
1
+θ
2
)
=
a2
−1+√10sin
(3π−2θ)
=
a2
−1−√10cosθ=
a2
−4
；
1 2 2 5 2 5 5
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11 1
