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2024-2025 学年四川省成都市石室中学高一下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−2,0,1,sin1,3},B={x|−20,− <φ<0 的部分图象，则( )
2
A. 函数f (x)的最小正周期为π
B. 函数f (x)的在(−1,2)上单调递增
C. 若∃x∈[−π,0]使得m>f (x)恒成立，则m>−√3
D. 在 上存在最大值，不存在最小值，则 取值范围是[2π 8π)
y=f (x) [0,m) m ,
3 3
11.已知函数f (x)=−msinx+cos2x，则( )
A. 当m=−1时，函数y=f (x)在区间(0,2027π)上恰有3040个零点
B. 当m<−1时，函数y=f (x)在区间(0,2027π)上恰有2026个零点
C. 当m>1时，函数y=f (x)在区间(0,nπ)上恰有2168个零点，则正整数n的值是2168
D. 当−10,0<φ< f (1)=−√3
2 2
1
y=f (x)的图像与函数y= (−20190,ω>0,t≥0)，
则A=28，b=30，
所以ℎ(t)=28sin(ωt+φ)+30(ω>0)，
2π π
依题意T=24min，所以T= =24，即ω= (rad/min)
ω 12
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7 1当t=0时，ℎ(0)=28sinφ+30=30，所以φ=0，
π
所以ℎ(t)=28sin t+30(t≥0)．
12
π
(2)(i)当1号座舱与地面的距离为16米时即 ℎ(t)=16，即28sin t+30=16，
12
π 1
所以sin t=− ，
12 2
π
又因为0≤t≤24，所以0≤ t≤2π，
12
π 7π π 11π
所以 t= 或 t= ，解得t=14或t=22分，
12 6 12 6
所以当t=14或t=22分时，1号座舱与地面的距离为16米．
π
(ii)依题意可知1号座舱与地面的距离
ℎ
与时间t的函数关系 ℎ(t)的解析式为ℎ(t)=28sin t+30(t≥0)，
12
π
4号座舱与地面的距离
ℎ
与时间t的函数关系ℎ (t)的解析式为ℎ (t)=28sin (t+6)+30(t≥0)，
4 4 12
所以： | π [ π ]|
H=| ℎ(t)−ℎ (t)|= (28sin t+30)− 28sin (t+6)+30
4 12 12
| π π | | π π π | | π π | | π π |
= 28sin t−28sin (t+6) = 28sin t−28sin( t+ ) = 28sin t−28cos t =28√2 sin( t− )
12 12 12 12 2 12 12 12 4
π π π
当 t− = +kπ,k∈Z时，即t=9+12k(k∈Z)，H =28√2
12 4 2 max
所以当t=9或t=21时，H取得最大值28√2．
18.解：(1)过点P作OA的垂线，垂足为D，在Rt▵PDO中，|PD|=sinα,|OD|=cosα,
|PD| sinα
在Rt▵PDC中，|PD|=|CD|tanθ,则|CD|= = ,
tanθ √3
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8 1sinα
所以|OC|=|OD|−|CD|=cosα− ，
√3
所以 ( sinα) 1 sin2α ．
S =f (α)=|OC||PD|= cosα− sinα= sin2α− (0<α<θ)
四 边 形OCPQ √3 2 √3
π
(2)由题意可得0<α< ，
3
由 知： 1 sin2α( π)
(1) f (α)= sin2α− 0<α<
2 √3 3
1 √3
故平行四边形OCPQ的面积f (α)= sin2α− sin2α,
2 3
1 √3 1−cos2α 1 √3 √3
= sin2α− × = sin2α+ cos2α−
2 3 2 2 6 6
√3 ( π) √3
= sin 2α+ − ,
3 6 6
π π π 5π
由于0<α< ，故 <2α+ < ，
3 6 6 6
π π π √3
故当2α+ = 时，即α= 时，f (α)取得最大值为 ,
6 2 6 6
(3) 设 g(α)=√3 [ f (α)+ √3] =sin ( 2α+ π)，则 g(x)=sin ( 2x+ π) = 4 ,
6 6 6 5
由于π π，所以π π 5π，故 ( π) 3，
≤x≤ ≤2x+ ≤ cos 2x+ =−
6 3 2 6 6 6 5
( π) ( π) ( π π) ( π) π ( π) π 3 √3 4 1 4−3√3
g x+ =sin 2x+ =cos2x=cos 2x+ − =cos 2x+ cos +sin 2x+ sin =− × + × =
6 2 6 6 6 6 6 6 5 2 5 2 10
19.解：
(1)f (x)=sinx⋅cosx−√3cos2x+ √3 =−√3× 1+cos2x + 1 sin2x+ √3 = 1 sin2x− √3 cos2x=sin ( 2x− π)
2 2 2 2 2 2 3
π
因为2x− =kπ,k∈Z，
3
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9 1kπ π
解得x= + ,k∈Z，
2 6
所以函数 的对称中心为(π kπ ) ；
f (x) + ,0 ,k∈Z
6 2
将 的图像上所有点的横坐标变为原来的 倍得到 ( π)，
f (x) 2 y=sin x−
3
π
再向左平移 个单位长度得到y=sinx，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，g(x)可得
3
g(x)=3sinx．
(2)① 由(1)可得3sinx+cosx−a=0，
因为关于 的方程 在[ 3π]内有两个不同的解 ， ，
x 3sinx+cosx−a=0 0, θ θ
2 1 2
√10 3√10
即y=a与y=3sinx+cosx=√10sin(x+θ)有两个交点，其中sinθ= ,cosθ= ，
10 10
在 [ 3π]，则 [ 3π ]，有两个交点则 (√10 ) ( 3√10)
x∈ 0, x+θ∈ θ, +θ sin(x+θ)∈ ,1 ∪ −1,−
2 2 10 10
所以 ；
a∈(1,√10)∪(−√10,−3)
② 不妨设θ <θ ，
1 2
则 ， ，或 ， ，，
θ +θ +2θ=π sin(θ +θ )=sin(π−2θ) θ +θ +2θ=3π sin(θ +θ )=sin(3π−2θ)
1 2 1 2 1 2 1 2
当θ +θ +2θ=π时，
1 2
√10 3√10 3
sin(θ +θ )=sin(2θ)=2sinθcosθ=2× × = ，
1 2 10 10 5
4
cos(θ +θ )=−cos2θ=−1+2sin2θ=− ，
1 2 5
因为3sinθ +cosθ =a，3sinθ +cosθ =a，
1 1 2 2
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10 1所以 ， ，
9sin2θ +6sinθ cosθ +cos2θ =a2 9sin2θ +6sinθ cosθ +cos2θ =a2
1 1 1 1 2 2 2 2
两式相加之后可得
2a2=9sin2θ +6sinθ cosθ +cos2θ +9sin2θ +6sinθ cosθ +cos2θ
1 1 1 1 2 2 2 2
=8sin2θ +3sin2θ +8sin2θ +3sin2θ +2
1 1 2 2
1−cos2θ 1−cos2θ
=8× 1+3sin2θ +8× 2+3sin2θ +2
2 1 2 2
，
=10−4(cos2θ +cos2θ )+3(sin2θ +sin2θ )
1 2 1 2
=10−8cos(θ +θ )cos(θ −θ )+6sin(θ +θ )cos(θ −θ )
1 2 1 2 1 2 1 2
=10−cos(θ −θ )[8cos(θ +θ )−6sin(θ +θ )]
1 2 1 2 1 2
[ ( 4) 3]
=10−cos(θ −θ ) 8× − −6×
1 2 5 5
，
=10+10cos(θ −θ )
1 2
a2
所以cos(θ −θ )= −1，
1 2 5
当θ +θ +2θ=π时，
1 2
cos(θ −θ )+√10sin
(θ
1
+θ
2
)
=
a2
−1+√10sin
(π−2θ)
=
a2
−1+√10cosθ=
a2
+2
；
1 2 2 5 2 5 5
当θ +θ +2θ=3π时，
1 2
cos(θ −θ )+√10sin
(θ
1
+θ
2
)
=
a2
−1+√10sin
(3π−2θ)
=
a2
−1−√10cosθ=
a2
−4
；
1 2 2 5 2 5 5
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11 1
