文档内容
2024-2025 学年四川省泸县第五中学高一下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
26π
1.cos 的值为( )
3
1 1 √3 √3
A. B. − C. D. −
2 2 2 2
2.sin37∘cos7∘−cos37∘sin7∘=( )
1 1 √2 √2
A. − B. C. − D.
2 2 2 2
3. ⃗ ⃗ ⃗ ( )
AB+BC−DC=
A. ⃗AB B. ⃗DA C. ⃗AD D. ⃗BA
4.在平面直角坐标系 中，角 的终边经过点(3 4)，则 ( )
xOy α ,− sinα=
5 5
4 3 3 4
A. − B. − C. D.
5 5 5 5
5.已知 ⃗ ⃗ ⃗， ⃗ ⃗ ⃗， ⃗ ⃗ ⃗，则( )
AB=a+5b BC=−2a+8b CD=3a−3b
A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线
C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线
6.若 ( π)， ( π) 4，则 ( )
α∈ 0, sin α+ = cosα=
4 4 5
√2 √2 7√2 7√2
A. B. − C. D. −
10 10 10 10
sinθ+cosθ
⃗ ⃗
7.已知向量 a=(cosθ,sinθ) ， b=(2,−1) ，若 ⃗a⊥⃗b，则
sinθ+3cosθ
的值为( )
1 3 4 2
A. B. C. D.
3 5 5 3
8.若 ，则1+sin20 ∘ ( )
tan35 ∘=m =
cos20 ∘
第 页，共 页
1 11+m 1−m 1
A. B. C. D. m
1−m 1+m m
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知α∈(0,π)，sinα+cosα=− ，则下列结论错误的是( )
5
4 7
A. cosα= B. sinα−cosα=
5 5
sinα+cosα 4 sinα−cosα
C. =− D. =−7
tanα 15 3sinα+2cosα
√3 1 3
10.已知函数f (x)= sin4x+ cos4x+ ，则下列说法正确的是( )
4 4 4
A. f (x)的最小正周期为π
B. 在[ π]上的值域为[1 5]
f (x) 0, ,
4 2 4
π
C. 将f (x)的图象向左平移 个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)的图象关于y轴对称
12
D. 若方程 在[ 5π]上恰有一个根，则 的取值范围为( 3]
f (x)+m=0 0, m −1,−
24 4
11.已知 是边长为 的正六边形 内一点 含边界 ，且 ⃗ ⃗ ⃗ ， ，则( )
P 1 ABCDEF ( ) AP=AB+λAF λ∈R
√3
A. ▵PCD的面积恒为 B. 存在λ，使得| P ⃗ C | < | A ⃗ P |
4
C. [1 √3] D. ⃗ ⃗ 的取值范围是
cos∠CPD∈ , [0,√3]
2 2
PC⋅BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.
m
⃗，
⃗n
是平面内两个单位向量，它们的夹角为 60∘，|
m
⃗
−2
⃗
n
|
=
．
13.2cos65 ∘−√3cos35 ∘ ．
=
cos10 ∘−sin10 ∘
第 页，共 页
2 1π
14.已知函数f (x)=|sin2x|+1，将f (x)的图象向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，若关于x的
4
方程 在[ 9π]上有 个实数根， ， ， ， ，则
g(x)=a(a∈R) 0, 5 x ,x x x x (x 0,μ>0) ，求
λ+μ的最小值．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，我们把函数 上满足 其中 表示正整数 的点
y=f (x),x∈D x∈N∗,y∈N∗( N∗ )
P(x,y)称为函数y=f (x)的“正格点”．
π
(1)写出当m= 时，函数f (x)=sinmx,x∈(0,10)图象上的正格点坐标；
2
(2)若函数f (x)=sinmx,x∈R,m∈(1,2)与函数g(x)=lgx的图象有正格点交点，求m的值．
对于 中的 值和函数 ，若当 ( 5]时，不等式 √2 恒成立，求实数
(3) (2) m f (x)=sinmx x∈ 0, log x> f (x) a
9 a 2
的取值范围．
第 页，共 页
4 1参考答案
1.B
2.B
3.C
4.A
5.A
6.C
7.B
8.C
9.ACD
10.BC
11.AC
12.√3
√2
13.−
2
14.5π
15.解：(1)因为 |
e
⃗|
=1
， |
e
⃗|
=√3
，
e
⃗ 与
e
⃗ 的夹角为 5π ，
1 2 1 2 6
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 5π √3 3
所以e ⋅e =|e |⋅|e |cos =1×√3×(− )=− ；
1 2 1 2 6 2 2
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 3
(2)因为a•b=(e +2e )•(−3e )=−3e 2−6e •e =−3−6×(− )=6，
1 2 1 1 2 1 2
⃗ √ ⃗ ⃗ √⃗ ⃗ ⃗ ⃗ √ 3 ，
|a|= (e +2e ) 2= e 2+4e •e +4e 2= 1+4(− )+4×3=√7
1 2 1 1 2 2 2
⃗ ⃗ ，
|b|=|−3e |=3
1
⃗ ⃗
⟨⃗ ⃗⟩ a•b 6 2√7
所以cos a,b = = = ．
⃗ ⃗ 3×√7 7
|a|•|b|
3
⃗ ⃗ −
⃗在⃗方向上的投影向量为⃗ e •e ⃗ 2 ⃗ 1 ⃗，
(3)e e c= 1 2 •e = e =− e
1 2 ⃗ 2 3 2 2 2
|e |2
2
第 页，共 页
5 1所以| ⃗ ⃗| √ ⃗ 1 ⃗ √ ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ √ 3 3 √ 3 3 ，
λe −c = (λe + e ) 2= λ2e 2+λe •e + e 2= λ2− λ+ = (λ− ) 2+
1 1 2 2 1 1 2 4 2 2 4 4 16
当λ= 3 时， | ⃗ ⃗| 的最小值为 √3 ．
λe −c (λ∈R)
4 1 4
16.解： (1) 函数 f (x)=2sinxcosx+2√3cos2x−√3=sin2x+√3cos2x=2sin ( 2x+ π)，
3
π π 3π π 7π
∴当2kπ+ ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z时，解得：kπ+ ≤x≤ +kπ，k∈Z，
2 3 2 12 12
因此，函数 的单调减区间为[ π 7π ] ．
f (x) kπ+ , +kπ (k∈Z)
12 12
将函数 的图象向右平移π个单位，可得 ( π)的图象，
(2) y=f (x) y=2sin 2x−
4 6
再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的1倍，横坐标不变，得到函数 ( π)的图象，
y=g(x)=sin 2x−
2 6
由 1，即 ( π) 1，得π π 5π ， ，
g(x)≥ sin 2x− ≥ +2kπ≤2x− ≤ +2kπ k∈Z
2 6 2 6 6 6
解得π π ， 令 ，可得 [π π]，
+kπ≤x≤ +kπ k∈Z k=0 x∈ ,
6 2 6 2
令 ，可得 [ 5π π]，
k=−1 x∈ − ,−
6 2
又 [ π π]，所以 [π π]，
x∈ − , x∈ ,
6 3 6 3
即当 [ π π]时，不等式 1的解集为[π π]．
x∈ − , g(x)≥ ,
6 3 2 6 3
17.解：(1)
第 页，共 页
6 1如图： 连接CM,CN,BC，
∵∠PCA=2θ，可得∠MCP=θ，
1 1
∠NCQ= ∠BCQ= (2π−∠BCA−∠ACP−∠PCQ)
2 2
1( π π) 2π ，
= 2π− −2θ− = −θ
2 2 6 3
|MP| ⌢ π
在直角三角形MCP中，则 =tanθ，所以|MP|=tanθ，PQ= ，
|CP| 6
2π
tan −tanθ
2π 3 tanθ+√3
|NQ|=tan( −θ)= = ，
3 2π √3tanθ−1
1+tan tanθ
3
π tanθ+√3 4 √3 π
f (θ)=tanθ+ + =tanθ+ + + ，
6 √3tanθ−1 3tanθ−√3 3 6
其中 (π π)，则 √3．
θ∈ , tanθ>
6 2 3
√3 4 2√3 π
(2)f(θ)=tanθ− + + +
3 3tanθ−√3 3 6
√ ( √3) 4 2√3 π π，当且仅当 时取等号．
≥2 tanθ− ⋅ + + =2√3+ tanθ=√3
3 3tanθ−√3 3 6 6
π
故新路总长度的最小值为2√3+ 千米．
6
⃗ 1 ⃗
18.解：(1)因为
3C
⃗
D=D
⃗
B
所以CD= CB，
4
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1 ⃗ 3 ⃗
所以AD=AC+CD=AC+ CB=AC+ (AB−AC)= AB+ AC，
4 4 4 4
第 页，共 页
7 11 3
所以x= ,y= ．
4 4
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗ 2 ⃗ ⃗
(2)由题意可知：GC=AC−AG=AC− AB=− AB+AC，
5 5
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗ (1 ⃗ 3 ⃗ ) 2 ⃗ t 2 ⃗ 3t ⃗ ，
GO=AO−AG=t AD−AG=t AD− AB=t AB+ AC − AB=( − )AB+ AC
5 4 4 5 4 5 4
又因为 三点共线，所以存在实数 使得 ⃗ ⃗ ，
G,O,C k
GO=kGC
t 2 ⃗ 3t ⃗ 2 ⃗ ⃗ 2k ⃗ ⃗
( − )AB+ AC=k(− AB+AC)=− AB+k AC，
4 5 4 5 5
t 2 2k 8
{ − =− {t=
所以 4 5 5 ，解得： 11
,
3t 6
=k k=
4 11
8
所以t= ．
11
1 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗
(3)易知 AE=AB, AF=AC，
λ μ
由(2)知
⃗ 8 ⃗ 8 1 ⃗ 3 ⃗ 2 ⃗ 6 ⃗ 2 1 ⃗ 6 1 ⃗ 2 ⃗ 6 ⃗
AO= AD= ( AB+ AC)= AB+ AC= × AE+ × AF= AE+ AF，
11 11 4 4 11 11 11 λ 11 μ 11λ 11μ
2 6
又因为E,O,F三点共线，所以 + =1，又λ>0,μ>0，
11λ 11μ
所以： 2 6 8 2μ 6λ 8 √ 2μ 6λ 8 √ 12 8+4√3，
λ+μ=( + )(λ+μ)= + + ≥ +2 × = +2 =
11λ 11μ 11 11λ 11μ 11 11λ 11μ 11 112 11
2μ 6λ 6+2√3 2+2√3
当且仅当 = ，即μ= ,λ= 时取等号，
11λ 11μ 11 11
8+4√3
所以λ+μ的最小值为 ．
11
π π
19.解：(1)因为m= ，所以f(x)=sin x，x∈(0,10)，
2 2
所以函数的正格点为(1,1)，(5,1)，(9,1)．
(2)根据题设，可得两个函数大致图象如下，
第 页，共 页
8 1函数f (x)=sinmx，x∈R，与函数g(x)=lgx的图象只有一个“正格点”交点(10,1)．
π 4k+1 9π
∴2kπ+ =10m，则m= π(k∈Z)，又m∈(1,2)，可得m= ．
2 20 20
由 知 9π ， ( 5]，则9π ( π]
(3) (2) f(x)=sin x x∈ 0, ∈ 0, ,
20 9 20 4
所以 9π ( √2]，故√2 ( 1]；
f(x)=sin x∈ 0, f (x)∈ 0,
20 2 2 2
√2 9π
当a>1时，不等式log x> sin x不能恒成立；
a 2 20
5 √2 π 1
当0 sin = ，
a9 2 4 2
5 1 25
由log > =log √a，解得
