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3.1.2椭圆的简单几何性质（2） -B提高练
一、选择题
1.（2020·江苏省镇江中学开学考试）设椭圆 的左､右焦点分别为 ， ,上
顶点为 ,若 则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，由 可得 ,
所以椭圆方程是： .
2.（2020·安徽省太和中学开学考试）“ ”是“直线 与椭圆 有公共点”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，得直线 过点 ．又点 在椭圆 内部，故
直线 与椭圆 有公共点，而直线 与椭圆 有公共点不一
定 ．所以“ ”是“直线 与椭圆 有公共点”的充分不必要条件．故
选：A．
3.（2020·辽宁大连月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发
射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为 ，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是 ， ，则第54颗导航卫星运行轨道(椭
圆)的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
令地心 为椭圆的右焦点，设标准方程为 ( )，
则地心 的坐标为( ，0)，其中 .由题意，得 ， ，
解得 ， ，所以 .
4.（2020山东泰安一中高二月考）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东
方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定
律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积
守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、
焦距分别为 ， ，下列结论不正确的是( )
A．卫星向径的最小值为
B．卫星向径的最大值为C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
【答案】D
【解析】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离.
根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为 ，卫星向径的最大值为 ，所以A, B正确.
当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时，由 ，可得 越大，椭圆越扁，
所以C正确.卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等.
则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D不正确.故选：D
5．（多选题）设椭圆 的右焦点为F，直线 与椭圆交于A，B两点，
则（ ）
A． 为定值 B． 的周长的取值范围是
C．当 时， 为直角三角形 D．当 时， 的面积为
【答案】ACD
【解析】设椭圆的左焦点为 ，则 ∴ 为定值，A正确；
的周长为 ，因为 为定值6，∴ 的范围是 ，
∴ 的周长的范围是 ，B错误；将 与椭圆方程联立，可解得 ，
，又∵ ，∴ ，
∴ 为直角三角形，C正确；将 与椭圆方程联立，解得 ， ，
∴ ，D正确．故选：ACD6. （多选题）（2020江苏扬州中学月考）已知椭圆 的左、右焦点分别
为 ， 且 ，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B．椭圆 的短轴长可能为2
C．椭圆 的离心率的取值范围为
D．若 ，则椭圆 的长轴长为
【答案】ACD
【解析】A. 因为 ，所以 ，所以
，当 ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆
的短轴长为2，则 ，所以椭圆方程为 ， ，则点 在椭圆外，故
错误；C. 因为点 在椭圆内部，所以 ，又 ，所以 ，所以
，即 ，解得 ，所以 ，
所以 ，所以椭圆 的离心率的取值范围为 ，故正确；D. 若
，则 为线段 的中点，所以 ，所以 ，又 ，即，解得 ，所以 ，所以
椭圆 的长轴长为 ，故正确.故选：ACD
二、填空题
7. （2020·广西南宁高二月考）已知O为坐标原点，点 ， 分别为椭圆 的左、
右焦点，A为椭圆C上的一点，且 ， 与y轴交于点B，则 ________.
【答案】
【解析】因为 ,所以 的长度是椭圆 通径的一半，即 ，因
为 ，所以 是三角形 的中位线，即 .
8． （2020南昌县莲塘第一中学月考）已知 ､ 是椭圆 的左，右焦点，
点 为 上一点， 为坐标原点， 为正三角形，则 的离心率为__________.
【答案】
【解析】如图，因为 为正三角形，所以 ，所以 是直角三角形.
因为 ， ，所以 ，所以
，所以 ，因为 ，所以
，即 ，所以 .
9.（2020·山东泰安实验中学期末）直线 交椭圆 于 两点，若 ，
则 的值为__________．
【答案】12
【解析】解法一：由椭圆 ，则顶点为 ，而直线 也过 ，
所以 为直线与椭圆的一个交点，设 ，
则 = ，解得： ，
所以 或 （不合，舍去），把 代入椭圆方程得： ，故 .
解法二：由 得 ，所以 ，
又 ，
所以 = ，因为 ，所以 ，故 .
10.（2020·河南南阳中学高二月考）过椭圆 右焦点的直线交于 两点， 为 的中点，且 的斜率为 ，则椭圆 的方程为
__________．
【答案】
【解析】设 ，则 ， ， ，
由此可得： ，因为 ， ， ，所
以 .又由题意知， 的右焦点为 ，故 ，因此 ，所以
的方程为： .
三、解答题
11.（2020·贵港市高级中学期中）已知平面内两定点 ，动点 满足
.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）若直线 与曲线C交于不同的两点 、 ，求 ．
【解析】（1）由椭圆的定义知， 点的轨迹为椭圆，其中 ，所以所求动点
的轨迹 的方程为 .
（2）设 ， ，联立直线与椭圆的方程 消 整理得： ，
所以 ， ，
.
12.（2020天津实验中学高二月考）已知椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，
上顶点为 .已知 ( 为原点)
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相
切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
【解析】（1）由题意可得 ， ，设 ，
因为 ，所以 ，
所以椭圆离心率为 ；
（2）由（1）得 ， ，
所以椭圆方程可设为 ，直线 ，
设圆心 ，由 ，消去y整理得 即，
所以 或 ，当 时， ；当 时， ；
又 在 轴上方，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由圆 同时与 轴和直线 相切，可得圆 的半径为2，
所以点 到直线 的距离 ，解得 （负值舍去），
所以 ， ，所以椭圆方程为 .
