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3.2.2双曲线的简单几何性质 (2)-A基础练
一、选择题
1．（2020·河南太康高二月考）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线 ，即 ，所以 ，由离心率为 ，所以
，解得 ，所以双曲线 ，则渐近线方程为
，故选：D.
2．（2020·珠海市斗门区第一中学高二月考）直线 与双曲线 的交
点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】A
【解析】由题意，双曲线 ，可得其渐近线方程为 ，因为直线
与双曲线的一条渐近线 平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选：A.
3．（2020·全国高二课时练）若直线 与双曲线 的左、右两支各有一个
交点，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当直线 与双曲线 的渐近线 平行时， ，
此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示：
因为直线 与双曲线 的左、右两支各有一个交点，
所以 的取值范围为 ，故选：D.
4．（2020·湖南株洲二中高二月考）已知双曲线 的左右焦点分别是 、 ，过 的直
线 与双曲线相交于 、 两点，则满足 的直线 有( )
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】C
【解析】双曲线 ，过 的直线 垂直于 轴时， ；
双曲线两个顶点的距离为 ， 满足 的直线 有 条，
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C
5．（多选题）（2020·辽宁凌源·高二期末）已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 ， ，则下列表述正确的有（ ）
A． B．
C．双曲线 的离心率为
D．在平面直角坐标系 中，双曲线 的焦点在 轴上
【答案】CD
【解析】因为双曲线 的两条渐近线方程分别为 ， ，所以 ，所以 ，
故AB不正确；所以双曲线 的离心率 ；在平面直角坐标系中，双曲线 的焦
点在 轴上.故CD正确 .故选：CD.
6．（多选题）（2020·湖南益阳高二月考）已知双曲线 过点 ，则下列结论正
确的是（ ）
A．C的焦距为4 B．C的离心率为
C．C的渐近线方程为 D．直线 与C有两个公共点
【答案】AC
【解析】由双曲线 过点 ，可得 ，则双曲线 的标准方程为：
；
所以 ，因为椭圆C的焦距为 ，所以选项A正确；因为椭圆C的离心率为 ，所以选项B不正确；因为椭圆C的渐近线方程为 ，所以
选项C正确；将直线 与双曲线 联立消 可得： ，
，所以直线 与双曲线C没有公共点，所以选项D
不正确；故选：AC.
二、填空题
7.（2020·宁夏石嘴山高二月考）已知双曲线 （ ）的离心率为 ，则该双曲线
的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】依题意有 ，即 ，解得 ，所以渐近线的方程为
.
8．（2020·安徽宣城高二期末）设双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，直线 与双
曲线的其中一条渐近线交于点P，则 的面积是________.
【答案】
【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为： ，焦点 ， ，
则直线 与双曲线的渐近线交于点 ， ，不妨设 ，
则 .9．（2020·黑龙江大庆实验中学月考）如图，在梯形 中，已知 ， ，
双曲线过 三点，且以 为焦点，则双曲线的离心率为_____________.
【答案】
【解析】设双曲线的方程为 ，由双曲线是以 为焦点，
， ，把 代入 ，
可得 ，即 ，又 ， ，
设 ， ， ， ，
解得 ， ，可得 ，
代入双曲线的方程可得 ，即 ，解得 ，所以 .
10.（2020·西南大学附中高二月考）斜率存在的直线 点 且与双曲线 ： 有且只
有一个公共点，则直线 斜率为_____________.
【答案】 或
【解析】由题意，设直线 的方程为 ，代入双曲线方程化简可得 ，
当 即 时， 只有一解，满足直线 与双曲线有且只有一个公共
点；当 时，令 ，解得 ，此时方程有两个相等实数根，
满足直线 与双曲线有且只有一个公共点；所以 或 .
三、解答题
11.（2020·全国高二课时练习）由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔
赴某海域执行护航任务，对商船进行护航。某日，甲舰在乙舰正东方向 处，丙舰在乙舰北偏
西 方向，相距 处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因
此 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 ，若甲舰赶赴救援，行进的
方向角应是多少？
【解析】设 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线 为 轴，线
段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系，则点 在线段 的垂直平分线上，
又易知 ，线段 的中点 ，
∴直线 的方程为 ①
又 ，
∴点 在以 焦点的双曲线的右支上，
∴双曲线方程为 ②
联立①②，得 点坐标为 ，
，因此甲舰行进的方向角为北偏东 .
12．（2020·四川树德中学高二月考）已知双曲线 ： 的离心率为 ，点
是双曲线的一个顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线右焦点 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点 ， ，求 ．
【解析】（1）由题可得 ，解得 ， ，所以双曲线的方程为 ；（2）双曲线 的右焦点为
所以经过双曲线右焦点 且倾斜角为30°的直线的方程为 .
联立 得 ．
设 ， ，则 ， ．
所以 .
