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3.3.2 抛物线的简单几何性质（2） -B提高练
一、选择题
1．（2020·江西宜春高二期中）已知点A ，抛物线C： 的焦点F．射线FA与抛物线
C相交于点M，与其准线相交于点N，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），定点A（2，0），∴抛物线C的准线方程为y=-1.
设准线与y轴的交点P，则FM：MN=FP：FN，又F（0，1），A（2，0），∴直线FA为：
x+2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N（4，-1）， ， = .
2．（2020·辽宁大连高二月考）已知点P是抛物线 上的一个动点，则点P到点A（0，2）
的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，设 在抛物线准线的投影为 ，抛物线的焦点为 ，则 ，根据抛物线
的定义可知点 到该抛物线的准线的距离为 ,则点 到点 的距离与点 到该抛物
线准线的距离之和 ，故选A.
3.已知拋物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,且16≤|AB|≤24,O为坐标原点,
1 1
+
记直线OA,OB的斜率分别为k,k,则 的取值范围是( )
1 2 k k
1 2
A.[-2,-√2]∪[√2,2] B.[-√2,-1]∪[1,√2] C.[-2,-1]∪[1,2] D.[-√2,√2]【答案】B
p
【解析】对于一般的抛物线方程y2=2px,设过焦点的直线方程为x=my+ ,
2
与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,设A(
y2
),B(
y2
),故y+y =2pm,
1 ,y 2 ,y 1 2
2p 1 2p 2
则 1 1
y2
1
y2
1 2pm=m=1,
+ = 1 · + 2 · =
k k 2p y 2p y 2p k
1 2 1 2
其中 k 为直线 AB 的斜率,设 AB 所在直线的倾斜角为 θ,由抛物线的焦点弦公式可知|AB|=
1 [1 ]
2p 8 [1 1] 1 ∈ ,1 ( 1 1 ) 2
= ∈ [16,24], 则 sin2θ∈ , ,tan2θ= -1= 1 2 , 故 +
sin2θ sin2θ 3 2 cos2θ -1 k k
sin2θ 1 2
∈[1,2],
1 1
所以 + 的取值范围是[-√2,-1]∪[1,√2].
k k
1 2
4．（2020·河南洛阳高二月考）已知抛物线y2=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,
|NF| 4
则 - 的最小值为( )
9 |MF|
2 2 1 1
A. B.- C.- D.
3 3 3 3
【答案】D
【解析】抛物线y2=16x的焦点为F,则F(4,0),当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4,
由{y2=16x,可得M(4,8),N(4,-8),∴|MF|=|NF|=8,∴|NF| 4 7 .
- =
x=4, 9 |MF| 18
当直线l的斜率存在时,设过点F的直线l的方程为y=k(x-4),不妨设M(x,y),N(x,y),
1 1 2 2
由{ y2=16x, 消y可得k2x-(16+8k2)x+16k2=0,∴x+x =8+16,xx=16,
1 2 1 2
y=k(x-4), k2
p p
∴|MF|=x + =x +4,|NF|=x + =x +4,
1 1 2 2
2 2
16
16+
1 1 x +x +8 k2 1
∴ + = 1 2 = = .∴
|MF| |NF| 4(x +x )+x x +16 64 4
1 2 1 2 32+ +16+16
k2|NF| 4 |NF| 4 √|NF| 4 1
- = + -1≥2 · -1= ,
9 |MF| 9 |NF| 9 |NF| 3
|NF| 4 1
当且仅当|NF|=6时取等号.故 - 的最小值为 .
9 |MF| 3
5．（多选题）（2020·江苏如皋高二月考）已知抛物线 的焦点为 ， ，
是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若 ， ， 三点共线，则
C．若直线 与 的斜率之积为 ，则直线 过点
D．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为2
【答案】BCD
【解析】由抛物线 ，可得 ，则焦点 坐标为 ，故A错误；设直线 的方程
为 ，联立方程组 ，可得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故B正确；
设直线 的方程为 ，联立方程组 ，可得 ，所以
，所以 ，
因为直线 与 的斜率之积为 ，即 ，可得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即直线过点 ，故C正确；
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，
所以 的中点到 轴的距离：
，当且仅当 时等号成立，
所以 的中点到 轴的距离的最小值为2，故D正确，综上所述，正确命题为BCD.
6. （多选题）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x,y),Q(x,y)两
1 1 2 2
点,点P在l上的射影为P,则下列结论中正确的是( )
1
A.若x+x =6,则|PQ|=8
1 2
B.以PQ为直径的圆与准线l相切
C.设M(0,1),则|PM|+|PP |≥√2
1
D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条
【答案】ABC
【解析】若直线的斜率存在,设y=k(x-1),由{y=k(x-1),得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
y2=4x,
x+x =2k2+4,xx=1.对于 A,若 x+x =6,则 k2=1,故 k=1 或-1,|PQ|=
1 2 1 2 1 2 √1+1√(x +x )2-4x x =√2
k2 1 2 1 2
×4√2=8,故A成立;对于B,取PQ点中点N,N在l上的投影为N',Q在l上的投影为Q',根据抛物线的定
1 1
义,|PP |=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|= (|PP |+|QQ'|)= |PQ|,故B成立;
1 1
2 2
对于C,M(0,1),|PM|+|PP |=|MP|+|PF|≥|MF|=√2,故C成立;对于D,过M(0,1)且与抛物线相切的直线有
1
2条,过M(0,1)且与x轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D不成立.
二、填空题
7．（2020·博兴第三中学高二月考）以抛物线 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆
的方程为______________.
【答案】【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，焦点到准线的距离为 ，
所以圆的圆心为 ，半径为 ，故圆的标准方程为 .
故答案为：
8.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足
⃗MF=3⃗FN,S =√3|MN|,则p的值为 .
△OMN
【答案】8
【解析】不妨设直线MN的斜率k>0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,
过N作NK⊥MG于K,由⃗MF=3⃗FN,得|MF|=3|FN|,∴|MG|=3|NH|,
1 √3
∴|MK|=2|NH|=2|NF|= |MN|,∴|NK|=√|MN|2-|MK|2= |MN|,
2 2
1 √3 √3
由S =S +S = |OF|·|NK|= p|MN|,又S =√3|MN|,∴ p|MN|=√3|MN|,得p=8.
△OMN △OMF △ONF
2 8
△OMN
8
9．（2020·华南师大附中高二月考）已知抛物线 在第一象限内的一点 到抛
物线焦点F的距离为4，若P为抛物线准线上任意一点，则当 的周长最小时，点P到直线
的距离为______.
【答案】
【解析】由已知及抛物线的定义得点A到准线的距离为4，因此有 ，解得 ，故抛物线方程为 ，从而 .当 的周长最小即 的值最小，
设F关于准线的对称点为 ，则 ，连接 ，则 与准线的交点即为使得
的值最小的点P，此时可求得 .又因为 ，所以直线 的方程为
，即 ，故点P到直线 的距离
.
10. （2020·山西师大附中高二月考）抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,
沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行x轴的光线射向抛物线上的
点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,
则抛物线的方程为 .
【答案】y2=3x
【解析】由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F(p ).
,0
2
当直线 PQ 斜率不存在时,易得|PQ|=2p;当直线 PQ 斜率存在时,设 PQ 的方程为 y=k( p)
x-
2
{ ( p)
,P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 ,y 2 ),联立
y=k x-
2
,
得k2( x2-px+
p2
)=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,
4
y2=2px,所以x+x =p+2p,xx=p2 .所以|PQ|=x +x +p=2p( 1 )>2p.综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最
1 2 1 2 1 2 1+
k2 4 k2
短,
又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,∴抛物线方程为y2=3x.
三、解答题
11. （2020·利川市第五中学高二期中）已知动点 在抛物线 上，过点 作 轴的垂线，
垂足为 ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）点 ，过点 且斜率为 的直线交轨迹 于 两点，设直线 的斜率
分别为 ，求 的值.
【解析】（1）设点 ，可得 ，则可得出点 的
坐标为 ，得动点 轨迹 的方程为 .
（2）设过点 的直线方程为 ，
联立方程有 ，可得 ，
则 .
，
.
12.（2020·全国高二专题练）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得 ABC的重心G在x轴上．
△
（1）求p的值及抛物线的准线方程 ；
（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；
（3）当x ∈（1，2）时，求 ABC面积的最大值．
A
△
【解析】（1）点 为抛物线 的焦点，即 ，即 ，
抛物线的方程为 ，准线方程为 ；
（2）证明：设过 的直线方程为 ， ， ， ， ， ， ，
即有 ， ， ，
联立直线 和抛物线 可得 ，
可得 ， ，
则 ，
由 的重心 在 轴上，可得 ，即 ，
即有 ，
当直线 的斜率不存在时，求得 ， ， 的坐标，可得 ．
则直线 与直线 的倾斜角互补；（3）由（2）可得 ， ，
可得 ，解得 ，
由抛物线的定义可得 ，
由 ，即 ，即 ， ，
的坐标为 ， ，
到直线 的距离为 ，
可得 的面积为 ，
由 ，可得 ，
设 ，则 ，
由 ，则 在 递减，
可得 ；
当直线 的斜率不存在时，设 ， ，可得 ，
的面积为 ，
可得 的面积的最大值为2．
