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格致课堂
绝密★启用前
2019-2020学年度第二学期期中考试试卷（提升卷）
考试时间：120分钟；考试总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单选题（每题5分，总分60分.）
1．已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 （ ）
a，b∈R i a-i 2+bi (a-bi) 2=
A．3+4i B．3-4i C．5-4i D．5+4i
【答案】B
【解析】依题意得 ，所以 .
a=2,b=1 (2-i) 2=3-4i
2．已知平面向量 ,则向量 ( )
A．平行于第一､三象限的角平分线 B．平行于y轴
C．平行于第二､四象限的角平分线 D．平行于x轴
【答案】B
【解析】由题：平面向量 ,
则向量 ，所以平行于y轴.
故选：B
3．若复数 （i为虚数单位），则 为（ ）
A． B．120° C．240° D．210°
【答案】C
【解析】由 ，得复数z对应的点在第三象限，格致课堂
且 ，
所以 .
故选：C.
4．在△ABC中，角 对边分别为 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正弦定理 ， ，故选
C．
5．已知 ， 是不共线的非零向量，则下列各式中 与 不共线的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】选项A中， ，则 与 共线.不符合题意，排除选项A.
选项B中， ，则 与 共线. 不符合题意，排除选项B.
选项C中， ，则 与 共线. 不符合题意，排除选项C.
选项D中，假设 与 共线，则 ， 为实数，则 ，
∴格致课堂
∴ ，这样的 不存在，因此假设不成立，所以 与 不共线.符合题意.
故选：D
6．已知平面向量 ， 夹角为 ，且 ， ，则 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知： ，
则： ，
且： ，
设所求向量的夹角为 ，
有： ，则 与 的夹角是 .
本题选择A选项.
7．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大
到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根
据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈ ，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，格致课堂
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
8．设 为虚数单位， ，则实数
A．2 B．1
C．0 D．−1
【答案】C
【解析】由 ，得 ，所以 ，故选C．
9．在 中， ,其面积 ，则 夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设| 与 的夹角为
.
故选B．
c
10．在 ABC 中,内角 B,C 对的边分别为 b, c .若C 2B ,则b的取值范围为（ ）
1
( ,1)
A． [2,2] B． 2 C． (0,2) D． (1,2)格致课堂
【答案】D
【解析】由正弦定理得 ,又由题意知 ,则 ,即
.故选D.
11．在 中， 是 的重心，且 ，其中 ， ， 分别是角 ， ，
的对边，则 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【解析】在 中， 是 的重心，根据三角形重心性质有 ，
由题： ，所以 ，
由余弦定理得 ，
在 中，
故选：A
12．已知点 是边长为2的正方形 所在平面内一点，若 ，则 的最大值是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ，得 ，即
点 在以点 为圆心，1为半径的圆周上运动，所以 的最大值为 ，
故选:C.格致课堂
第II卷（非选择题)
二、填空题（每题5分，总分20分.）
13．已知三点 ， ， 共线，则x为________.
7
【答案】
2
【解析】设 ，
所以
所以 ，
所以 ， ，所以 .
14．不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为________.
【答案】
【解析】由垂直可知 =0,即 , , ,又因为
,所以 .填 （或 ）.
15． _______________.
【答案】
【解析】
=格致课堂
故答案为： .
16．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
若 的面积为 ，则当 的值最小时 的周长为____________．
【答案】
【解析】由 及正弦定理可得 ，
所以由余弦定理的推论可得 ，因为 ，所以 ．
因为 的面积为 ，所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，
此时 ， ，所以△ABC是等边三角形，故 的值最小时△ABC的周长为 ．
三、解答题（17题10分，18-22题各12分，总分70分.）
17．已知向量 与 的夹角为60°，| |=1，| |=2格致课堂
（1）求（2 ﹣ ）• ；
（2）求：|2 + |．
【答案】（1）1；
（2） ．
【解析】（1）
（2） = ．
18．已知复数 （其中 是虚数单位， ）.
（1）若复数 是纯虚数，求 的值；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）
，
若复数 是纯虚数，则 ，所以 .
（2）由（1）得 ， ，
，
因为 是开口向上的抛物线，有最小值 ；格致课堂
所以 .
19．如图，在 中， ，点E，F分别是 ， 的中点．设 ， ．
（1）用 表 ， ．
（2）如果 ， ， ， 有什么关系？用向量方法证明你的结论．
【答案】（1） ， ；（2） ，证明见解析
【解析】（1） ；
．
（2） ，证明如下：设 ，则 ， ．
．
∴ ，∴ ．
20．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 ， （其中 为原点）.已知点格致课堂
对应的复数 ，求 和 分别对应的复数 .
【答案】 ， .
【解析】根据题意画出草图，如图所示.
由复数运算的几何意义知
，
.
21．在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，且 .
（1）若 ，求 ；
（2） ， ，求 的面积.格致课堂
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）根据余弦定理及 ，得 ，
，即 ， .
， ， ，即 ， ；
（2） ， ， ，
，则 ， ，即 ，
， 的面积 .
22．在海岸A处，发现北偏东 方向，距离A为 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西
方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以 n mile / h的速度追截走私船，此时，走私船
正以10 n mile / h的速度从B处向北偏东 方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并
求出所需时间．(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)格致课堂
【答案】缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需 小时
【解析】
设缉私艇追上走私船需t小时，
则BD=10 t n mile CD= t n mile
∵∠BAC=45°+75°=120°
∴在△ABC中，由余弦定理得
即
由正弦定理得
∴ ∠ABC=45°，
∴BC为东西走向
∴∠CBD=120°
在△BCD中，由正弦定理得
∴ ∠BCD=30°，∴ ∠BDC=30°
∴
即
∴ （小时）
答：缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需 小时.格致课堂
