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格致课堂
绝密★启用前
2019-2020学年度第二学期期中考试试卷（提升卷）
考试时间：120分钟；考试总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单选题（每题5分，总分60分.）
1．已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 （ ）
a，b∈R i a-i 2+bi (a-bi) 2=
A．3+4i B．3-4i C．5-4i D．5+4i
2．已知平面向量 ,则向量 ( )
A．平行于第一､三象限的角平分线 B．平行于y轴
C．平行于第二､四象限的角平分线 D．平行于x轴
3．若复数 （i为虚数单位），则 为（ ）
A． B．120° C．240° D．210°
4．在△ABC中，角 对边分别为 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， 是不共线的非零向量，则下列各式中 与 不共线的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，格致课堂
6．已知平面向量 ， 夹角为 ，且 ， ，则 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
7．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大
到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根
据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．设 为虚数单位， ，则实数
A．2 B．1
C．0 D．−1
9．在 中， ,其面积 ，则 夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
c
10．在 ABC 中,内角 B,C 对的边分别为 b, c .若C 2B ,则b的取值范围为（ ）
1
( ,1)
A． [2,2] B． 2 C． (0,2) D． (1,2)
11．在 中， 是 的重心，且 ，其中 ， ， 分别是角 ， ，
的对边，则 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
12．已知点 是边长为2的正方形 所在平面内一点，若 ，则 的最大值是（
）格致课堂
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
二、填空题（每题5分，总分20分.）
13．已知三点 ， ， 共线，则x为________.
14．不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为________.
15． _______________.
16．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
若 的面积为 ，则当 的值最小时 的周长为____________．
三、解答题（17题10分，18-22题各12分，总分70分.）
17．已知向量 与 的夹角为60°，| |=1，| |=2
（1）求（2 ﹣ ）• ；
（2）求：|2 + |．
18．已知复数 （其中 是虚数单位， ）.
（1）若复数 是纯虚数，求 的值；
（2）求 的取值范围.格致课堂
19．如图，在 中， ，点E，F分别是 ， 的中点．设 ， ．
（1）用 表 ， ．
（2）如果 ， ， ， 有什么关系？用向量方法证明你的结论．
20．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 ， （其中 为原点）.已知点
对应的复数 ，求 和 分别对应的复数 .
21．在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，且 .
（1）若 ，求 ；
（2） ， ，求 的面积.
22．在海岸A处，发现北偏东 方向，距离A为 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西
方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以 n mile / h的速度追截走私船，此时，走私船格致课堂
正以10 n mile / h的速度从B处向北偏东 方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并
求出所需时间．(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)
