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第3单元 函数概念与性质（基础篇）
基础知识讲解
1．分段函数的解析式求法及其图象的作法
【基础知识】
分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上
的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段
函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的
问题．
【技巧方法】
求解函数解析式的几种常用方法
1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也
可用配凑法；
3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要
的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．
2．函数单调性的性质与判断
【基础知识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个
自变量x ，x ，
1 2
当x ＜x 时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x ＞x
1 2 1 2 1 2
时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
1 2若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格
的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【技巧方法】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函
数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个
小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极
值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的
取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
3．复合函数的单调性
【基础知识】
复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调
性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【技巧方法】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
4．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝
﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
【技巧方法】
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于 0 的部分的函数表达式，求它的小于 0 的函数表达式，如奇函数 f
（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣
x2+x
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有
f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【技巧方法】
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数 f
（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
5．函数奇偶性的性质与判断
【基础知识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有f（﹣x）＝﹣f
（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数
f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【技巧方法】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
6.函数解析式的求解及常用方法
【基础知识】
通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
【技巧方法】
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．
7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【基础知识】
1.幂函数定义：
一般地，函数y＝xa（a R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
∈
（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是1；
（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．
8.幂函数的性质【基础知识】
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方
无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
9.五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝ ； （5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x﹣1
y＝
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x [0，+∞）时，增 增 增 x （0，+∞）时，减
∈ ∈x （﹣∞，0]时， x （﹣∞，0）时，减
减
∈ ∈
公共点 （1，1） （1，1）（0，0） （1，1） （1，1） （1，1）
（0，0） （0，0） （0，0）
10.幂函数的奇偶性
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．
（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．
11．函数最值的应用
【基础知识】
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们
常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转
化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．
【技巧方法】
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，
这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题
的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．
12．根据实际问题选择函数类型
【基础知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看
实际问题，是学习函数的重要内容．【技巧方法】
常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞
0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝ （k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函
数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlog x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，
a
函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c
（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析
变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
习题演练
一．选择题（共12小题）
1．若函数 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意，函数 ，
可得 .
故选：B.
2．设函数 为一次函数，且 ，则 （ ）
A．3或1 B．1 C．1或 D． 或1
【答案】B
【解析】
设一次函数 ，
则 ，
，
，
解得 或 ，
或 ，
或 .
故选：B.3．若函数 |在区间 上不是单调函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
,分 三种情况讨论.
当 时， ，所以 ；
当 时， ， 在 上显然单调；
当 时， ，所以 .
综上： 或 .
故选B.
4．若函数 单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
当 时，函数 单调递增
所以 ，解得
当 时， 是单调递增函数，
所以 ，
当 时，一次函数取值要小于或等于指数式的值，
所以 ，
解之得： ，
综上所述：实数a的取值范围是
故选：B
5．定义在 上的奇函数 在 上单调递减，若 ，则满足
的 的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数 为奇函数且在 单调递减，
因为 ，可得 ，
要使不等式 成立，即 成立，
则实数 满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D.
6．若函数 的最小值3，则实数 的值为（ ）
A．5或8 B． 或5 C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】
由题意，①当 时，即 ， ，则当 时，
，解得 或 （舍）；②当 时，即 ， ，则当 时，
，解得 （舍）或 ；③当 时，
即 ， ，此时 ，不满足题意，所以 或 ，故选
D.
7．已知定义在 上的奇函数 ，对任意实数 ，恒有 ，且当
时， ，则 （ ）
A．6 B．3 C．0 D．
【答案】B
【解析】
由题得 ，所以函数的周期为 .
由题得
，
，，
所以 ，
所以
.
故选：B.
8．满足 的实数m的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
幂函数 在 为减函数，且函数值为正，
在 为减函数，且函数值为负，
等价于，或 或 ，
解得 或 或 ，
所以不等式的解集为 .
故选：D.
9．已知函数 是幂函数且是 上的增函数，则 的值为(
)
A．2 B．－1 C．－1或2 D．0
【答案】B
【解析】
由题意得 ，
故选：B.
10．已知 ，若 为负数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，.
故选： .
11．若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.12．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，函数 是定义在 上的奇函数，且 ，
可得 ，所以 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，
又由当 时， ，
则 .
故选：C.
二．填空题（共6小题）
13．函数 ，则 ______．
【答案】1
【解析】根据题意， ，则 ；
故答案为1．
14．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若对于任意 都有
，且 ，则不等式 的解集为________.
【答案】
【解析】
即为 ，设函数 ，
则 ，所以 在 上单调递
减，
又因为 ，所以 ，不等式 可化为 ，
即 ，所以 ，故解集为 .
故答案为： .
15．已知函数 ，函数 ，则函数 的最小值是
_______.【答案】0
【解析】
解：当 时， 为单调增函数，则 ；
当 时， 为单调减函数，所以 ，
所以函数 的最小值是0.
故答案为:0.
16．已知奇函数 在定义域 上递减，且 ，则实数 的
取值范围是______.
【答案】
【解析】
由于 是定义在 上单调递减的奇函数，
所以由 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .17．已知函数 ，则不等式 的解
集是______.
【答案】
【解析】
，故 为奇函数，且单调递减，
则令 ，故 为奇函数且单调递减，故
等价于
，即 ，即
，解得
故答案为
18．已知函数 满足 ，函数 ，若函数
与 的图象共有12个交点，记作 ，则
的值为______.
【答案】72
【解析】因为 ，所以 关于点 成中心对称，又因为
，所以 也关于点 成中心对
称，所以 与 的图象的交点也关于点 成中心对称，不妨认为
，所以有 ，所以
.
三．解析题（共6小题）
19．已知定义在 上的函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ,(2) .
【解析】
（1）当 时， ；当 时， ,由 可知：
，即 ，所以有 ，因为 ，解得 ，
故 ；
（2）当 时， ，即 ，
因为 ，故 ，
因为 ，所以 ，则m的取值范围是 .
20．根据下列条件，求f(x)的解析式.
（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
（3） .
【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）
【解析】
（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得∴a＝1，b＝3
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
（2）设x＋1＝t，则x＝t－1
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
（3）解 ，将原式中的x与 互换，得 .
于是得关于f(x)的方程组
解得 .
21．已知定义在 上的函数 对任意实数 都满足 ，且
，当 时， .
（1）证明： 在 上是减函数；
（2）解不等式
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）因为任意实数 都满足 ，
令 ，则 ，∵ ，∴
当 时，则 ，∴ ，∵ ，∴
，
即 时， 恒成立，
设任意的 ，且 ，则 ，
∴ ，
即 在 上是减函数，
（2） ，
，
由（1）知 在 上为减函数，
得： ，故不等式的解集为 .
22．已知定义域为R的函数 是奇函数.
（1）求b的值；（2）判断函数 的单调性；
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求k的取值范围.
【答案】（1）1；（2）减函数；（3） .
【解析】
（1）因为 是奇函数，所以 ，
即 ，∴
（2）由（1）知 ，
设 则
因为函数 在R上是增函数且 ，∴
又 ，∴ 即
∴ 在 上为减函数.
（3）因 是奇函数，从而不等式：
等价于 ，因 为减函数，由上式推得：
.即对一切 有： ，从而判别式 .
23．已知幂函数 为偶函数，且在区间 上是单调增函数
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 ，其中 .若函数 仅在
处有极值，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1） 在区间 上是单调增函数，
即 又
而 时， 不是偶函数， 时， 是偶函数，
．
（2） 显然 不是方程 的根.
为使 仅在 处有极值，必须 恒成立，
即有 ，解不等式，得 .这时， 是唯一极值． ．
24．已知函数 ．
（1）若 时， ，求 的值；
（2）若 时，函数 的定义域与值域均为 ，求所有 值．
【答案】（1） （2） ，
【解析】
（1）因为 ,所以
所以 ,
所以 或 ,
因为 ,所以 ．
（2） 当 时, 在 上单调递减,
因为函数 的定义域与值域均为 ,
所以 ,两式相减得 不合,舍去．
当 时, 在 上单调递增,因为函数 的定义域与值域均为 ,
所以 ,无实数解.
当 时,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增．
因为函数 的定义域与值域均为 ,
所以 , ．
综合所述, , ．
